Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы и математическое моделирование в психологии. Учебно-методическое пособие
.pdf
1.3. ПЕРВИЧНЫЕ ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ
0
2
4
6
8
10
Случайные величины можно охарактеризовать мерами центральной тенденции и мерами разброса.
МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ
Мера центральной тенденции – это число, характеризую-
щее выборку по уровню выраженности измеренного признака.
Существуют три способа определения «центральной тен-
денции», каждому из которых соответствует своя мера: мода,
медиана и выборочное среднее.
1. Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение.
Моде, или модальному интервалу признака, соответствует
наибольший подъем (вершина) графика распределения частот.
Если график распределения частот имеет одну вершину, то такое распределение называется унимодальным (рис. 4).
Рис. 4. Унимодальное распределение
Например, в ряду значений 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 модой является 9, так как 9 встречается чаще любого другого числа.
Если два соседних значения встречаются с одинаковой частотой максимальное количество раз, то за моду принимается их
среднее арифметическое.
11
Например, в ряду значений 10, 7, 6, 7, 6 модой является 6, 5.
0
2
4
6
8
10
В ряду значений 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, модой является 3, 5.
Если все значения в выборке встречаются одинаково часто,
принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды. Например, 5, 5, 6, 6, 7, 7.
Если два не соседних значения встречаются максимальное
количество раз, то говорят о существовании двух мод, а распределение называют бимодальным. В этом случае выделяют
большую и меньшую моду.
Рис. 5. Бимодальное распределение
2. Медиана (Mе) – это такое значение признака, которое де-
лит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше
медианы, а другая – больше.
Первым шагом при определении медианы является упорядочивание (ранжирование) всех значений по возрастанию или
убыванию. Далее медиана определяется следующим образом:
если данные содержат нечетное число значений, напри-
мер: 8, 9, 10, 13, 15, то медиана есть центральное значение, то
есть Mе = 10;
если данные содержат четное число значений, например:
5, 8, 9, 11, то медиана есть точка, лежащая посередине между
двумя центральными значениями, то есть Ме = (8+9)/2 = 8,5.
12
3. Среднее (выборочное среднее, среднее арифметическое)
n
xxxx
n
x
х
n
n
i
i
...
3211
x
i
(х) – определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений.
где
– значение измеренного признака, n – количество из-
мерений.
Каждая мера центральной тенденции обладает характеристиками, которые делают ее ценной в определенных условиях.
Для номинативных данных, разумеется, единственной подходящей мерой центральной тенденции является мода, или модальная категория – та градация номинативной переменной, которая встречается наиболее часто.
Для порядковых и метрических переменных, распределение
которых унимодальное и симметричное, мода, медиана и среднее совпадают. Чем больше отклонение от симметричности, тем
больше расхождение между значениями этих мер центральной
тенденции. По этому расхождению можно судить о том, насколько симметрично или асимметрично распределение.
Наиболее очевидной и часто используемой мерой центральной тенденции является среднее значение. Но его использование
ограничивается тем, что на величину среднего влияет каждое
отдельное значение. Среднее значение весьма чувствительно
к «выбросам» – экстремально малым или большим значениям
переменной. На величину моды и медианы величина каждого
отдельного значения не влияет.
Например, если 9 человек имеют месячный доход от 5000 до
6000 рублей, со средним 5600 рублей, а доход десятого составляет
15000 рублей, то средний доход для этих 10 человек составит
6540 рублей. Эта цифра не позволяет судить о всей группе, и в качестве меры центральной тенденции следовало бы избрать медиану
или моду.
13
Меры центральной тенденции чаще всего используются для
сравнения групп по уровню выраженности признака. Если исследователь при этом сомневается, какую меру использовать, то
можно дать простые советы.
Выборочные средние можно сравнивать, если выполняются
следующие условия:
группы достаточно большие, чтобы судить о форме рас-
пределения;
распределения симметричны;
отсутствуют «выбросы».
Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то следует ограничиться модой и медианой.
МЕРЫ РАЗБРОСА
1. Размах (разброс) – это просто разность максимального
и минимального значений.
Р=Х
max-Xmin
Это неустойчивая мера изменчивости, на которую влияют
любые «выбросы».
Может быть так, что у двух выборочных рядов и средние,
и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов
будет различный. Например, даны две выборки:
X: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50; X=30, Р=40.
Y: 10, 28, 28, 30, 30, 30, 32, 32, 50; Y=30, Р=40.
Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.
2. Межквартильный размах
Квантиль – это точка на числовой оси измеренного призна-
ка, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений
на две группы с известным соотношением их численности.
Одним из квантилей является медиана. Кроме медианы часто используются процентили и квартили.
Процентили – это 99 точек значений признака (Р1, ..., Р99),
которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности. Определение
14
конкретного значения процентиля аналогично определению ме-
1
)(...)()()(
1
)(
22
3
2
2
2
1
2
n
xxxxxxxx
n
xx
D
n
i
x
i
дианы. Например, при определении 10-го процентиля, Р10, сначала все значения признака упорядочиваются по возрастанию.
Затем отсчитывается 10% испытуемых, имеющих наименьшую
выраженность признака. Р
будет соответствовать тому значе-
10
нию признака, который отделяет эти 10% испытуемых от остальных 90%.
Квартили – это 3 точки значения признака (P25, P50, P75), ко-
торые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль
соответствует 25-му процентилю, второй – 50-му процентилю
или медиане, третий квартиль соответствует 75-му процентилю.
Межквартильный размах – это разность между первым
и третьим квартилем.
Процентили и квартили используются для определения частоты встречаемости тех или иных значений (или интервалов)
измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных
испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного
множества наблюдений.
Последние две меры изменчивости находят свое применение для описания вариации в порядковых данных.
3. Дисперсия (D) – мера изменчивости для метрических
данных (мера рассеивания случайной величины).
,
где
– значение измеренного признака, х– среднее значе-
ние, n – количество измерений.
Теоретическая (генеральная) дисперсия – мера изменчивости бесконечного числа измерений (в генеральной совокупности, популяции в целом).
Эмпирическая (выборочная) дисперсия – для реально измеренного множества значений признака.
15
Алгоритм вычисления дисперсии:
№
хi
)( xx
i
2
)( xx
i
1 4 4-3=1
1
2 2 2-3=-1
1
3 4 4-3=1
1
4 1 1-3=-2
4
5 5 5-3=2
4
6 2 2-3=-1
1
=18
(
i
xx
)2=12
х
=3
D=12/5=2,4
1
)(
2
n
xx
D
i
1. Вычисляется среднее по выборке.
2. Для каждого элемента выборки вычисляется его отклоне-
ние от среднего.
3. Каждый полученный элемент возводят в квадрат.
4. Находится сумма этих квадратов.
5. Эта сумма делится на n-1.
Например, n=6, х=18/6=3, D=12/5=2,4 (табл. 1).
Таблица 1
Пример расчета дисперсии
4. Стандартное отклонение (сигма, ) – положительное
значение квадратного корня из дисперсии.
На практике чаще используется именно стандартное отклонение, а не дисперсия. Это связано с тем, что сигма выражает
изменчивость в исходных единицах измерения признака, а дисперсия – в квадратах исходных единиц.
σ =
.
16
Контрольные вопросы:
0
2
4
6
8
10
12345
6
девушки
юноши
1. Определение случайной величины. Примеры случайных
величин в психологии.
2. Распределение случайной величины: определения, при-
меры.
3. Меры центральной тенденции случайной величины:
среднее, мода, медиана. Специфика различных мер центральной
тенденции.
4. Меры разброса случайной величины: дисперсия, стан-
дартное отклонение, квантили.
5. Способы проверки нормальности распределения на осно-
вании параметров распределения и гистограмм.
Практические задания для самостоятельной работы
по теме «Основные понятия
математической статистики»
Задание №1.
По результатам измерения тревожности у юношей и девушек были построены сглаженные графики распределения частот
(рис. 6).Определите по графику: а) как различаются средние
б) как различаются дисперсии?
Рис. 6. Уровень тревожности у девушек и юношей
17
Задание №2.
Вычислите дисперсии для двух групп: группа А: 3, 2, 2, 1;
группа В: 6, 5, 5, 4.
Задание №3.
а. Найти медиану выборки: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.
б. Найти медиану выборки: 20, 9, 13, 1, 4,11.
Задание №4.
Дана выборка:3, 2, 3, 4, 4, 3, 4, 1, 4, 2.
Рассчитайте для данной выборки основные параметры:
среднее, моду, медиану, дисперсию, стандартное отклонение,
асимметрию, эксцесс.
Задание №5.
При проведении исследования индивидуальных особенностей памяти были получены следующие результаты (в баллах):
18; 17; 16; 15; 14; 13; 17; 13; 14; 15; 16; 17; 12; 17; 16; 15; 14; 15;
12: 12; 14; 15; 17; 17; 11; 15; 14; 13; 18; 15; 12; 13; 19; 15; 14; 13;
14; 11; 17; 13; 14; 15; 16; 17; 13; 19; 18; 17; 17; 16; 11; 14; 15; 11;
12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 13; 19; 16; 12; 14; 16; 15; 16; 15; 16;
17; 16; 15; 14; 13; 14; 15; 16; 17; 16; 18; 19; 18; 11; 16; 15; 16; 13;
18; 17; 15; 14; 13; 18; 15; 19; 17; 16.
Посчитать среднее арифметическое полученных результатов, определить моду, медиану, размах данных, дисперсию,
стандартное отклонение.
Задание №6.
Проверить, является ли следующее распределение нормальным. Применить для проверки 2 любых способа.
17; 14; 15; 12; 13; 11; 18; 14; 12; 18; 15; 14; 17; 16; 18; 17; 13;
16; 18; 16; 15; 13; 19; 11; 14; 17; 13; 12; 17; 17; 16; 13; 11; 14; 18;
12; 15; 18; 17; 13; 16; 15; 16; 17; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 19; 16;
18; 16; 15; 14; 17; 16; 17; 14; 12; 15; 18; 16; 14; 15; 17; 11; 17; 14;
16; 15; 17; 14; 17; 13; 16; 18; 15; 19; 15; 17; 14; 15; 17; 19; 18; 17;
16; 15; 13; 11; 15; 13; 17; 16; 13; 18; 11.
18
ГЛАВА 2
х
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Основные понятия: научная гипотеза, статистическая гипоте-
за, нулевая и альтернативная статистические гипотезы, направленные и ненаправленные гипотезы, ошибки 1 и 2 рода, статистические
критерии, параметрические критерии, непараметрические критерии,
уровень статистической значимости.
Обычно исследование проводится для проверки гипотезы,
которая является следствием теоретических представлений.
Например, исходя из теории социального научения, исследователь может предположить, что демонстрация сцен насилия
по телевидению ведет к повышению агрессивности подростков.
Это предположение можно проверить с использованием научного подхода.
Предположение, которое проверяется с применением научного метода, будем называть научной гипотезой.
Применение научного метода для проверки гипотезы предполагает определенную последовательность действий исследователя. Исследование начинается с операционализации абстрактных категорий – определения операций, при помощи которых соответствующие этим категориям явления (агрессивность,
внешний вид и т.д.) могут быть измерены. Затем исследователь
организует выборку и проводит соответствующие измерения.
Результаты измерения преобразуют с использованием описательных статистик к виду, допускающему статистическую проверку научной гипотезы.
Например, изучая влияние на агрессивность подростков демонстрации сцен насилия, исследователь измерил агрессивность
на двух выборках, различающихся частотой и длительностью
просмотра телепередач со сценами насилия. Далее он вычислил
средние значения агрессивности для этих выборок:
19
=6,3 –
1
для тех, кто чаще смотрит такие телепередачи, и
х
Нулевая гипотеза (Н0)
Гипотеза о сходстве в выраженности какого-либо статистического
параметра
Альтернативная гипотеза (Н1)
Гипотеза о различии в выраженности
какого-либо статистического пара-
метра
=5,9 – для
2
другой выборки. Какой вывод в отношении гипотезы можно
сделать на основе такого различия? Будут ли подобные различия
наблюдаться в генеральной совокупности?
Исследователь действительно обнаружил различие между
выборками, свидетельствующее о справедливости его гипотезы.
Однако смысл статистической проверки не в том, «различаются
ли результаты двух выборок...», а в том, насколько вероятно, что
существует различие между всей совокупностью одних и других
подростков, которые могли попасть в выборку.
Очевидный способ проверки надежности обнаруженной
в исследовании связи – это многократное проведение аналогичного исследования на разных выборках. Однако это и трудоемко, и не всегда возможно. Но можно сформулировать вопрос подругому. Если в генеральной совокупности связи нет, то какова
вероятность случайного получения данного результата исследования? Иначе говоря, какова вероятность, что полученный результат является случайным, а на самом деле связи в генеральной совокупности нет? Вопрос, сформулированный таким образом, позволяет получить ответ с использованием методов статистики. Соответствующее проверяемое утверждение – об отсутствии связи – называется статистической гипотезой [15].
2.1. ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ
Построение математической модели предполагает количественное описания предмета исследования, формулирование
статистической гипотезы и ее проверки.
Статистическая гипотеза – это экспериментальная гипотеза, сформулированная в терминах математической статистики.
Выделяют основную (нулевую) и альтернативную статистические гипотезы.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]