Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы поддержки принятия решений. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
Лекция № 6. Игры со смешанными стратегиями
Если матричная игра имеет седловую точку, то игра решается в чистых
стратегиях, причем V = = . Вне зависимости от количества ходов, сде-
ланных в игре, P1 и P2 всегда придерживаются своих стратегий, поскольку
эти стратегии являются оптимальными. Данные стратегии называют чистыми стратегиями игры. Однако в большинстве случаев игра не содержит
седловой точки, одновременно удовлетворяющей обе стороны.
Теорема 1. Если нижняя цена игры меньше верхней, то матричная игра
не имеет решения в чистых стратегиях.
Следствие: наличие седловой точки зависит только от вида платежной
матрицы.
Сокращение порядка платежной матрицы
Каждый из игроков может иметь большое количество стратегий. Поэтому размерность игры принято обозначать m * n, где m – количество стра-
тегий P1; n – количество стратегий P2. При решении конфликтной ситуации
всегда стараются уменьшить количество имеющихся стратегий. Для этого
исследуется доминирование одних стратегий над другими.
Теорема 2. Доминируемые строки и столбцы, над которыми есть доминирующие, могут быть изъяты из платежной матрицы без изменения положения седловой точки.
Правило 1. Если в некоторой строке платежной матрицы все элементы
больше или равны соответствующим элементам другой строки, то исходная
строка доминирует и ее называют доминант-строкой.
Правило 2. Если в некотором столбце все элементы меньше или равны
элементам другого столбца, то исходный столбец доминирует и его называют доминант-столбцом.
Любую седловую точку можно получить из решения матричного урав-
нения: = * A * Например,
A =
;
P1 = (1; 0; 0) P2 =
;
= 2.
32
Аналогичным образом можно представить любой элемент платежной
матрицы в виде представленного его произведения. В этом случае X и Y – это
стратегии P1 и P2, при которых достигается искомый выигрыш игрока P1.
Исходя из уравнения
= * A *
, величину дохода можно пред-
ставить в виде функции (i, j) =
для P1 , которую называют платежной.
Для игрока P2 данная функция аналогична: (i, j) = –
.
До сих пор предполагалось, что игра имеет один ход. Решая игру в чистых стратегиях с большим числом ходов, игроки принимают каждый раз
одни и те же стратегии, а потому суммарный выигрыш P1 будет равен:
где N – число ходов, V – цена игры.
(i, j) =
*
=
= .
Средний выигрыш в такой игре всегда равен цене игры.
Рассматривая аналогичным образом уже в смешанных стратегиях, правомочно решение в виде произведения матриц:
Однако в этом случае стратегия игрока P1:
X = (,
),
где ,
– это количество выбора каждой из стратегий первый иг-
роком; а для P2:
Y =
,
где
– это число выбора каждой из стратегий вторым игроком,
если P1 и P2 делают одинаковой количество ходов, то средний выигрыш P1:
(i, j) =
* X * A *
;
, =
= N.
33
Лекция № 7. Основные теоремы и утверждения теории игр
Для любой матричной игры с нулевой суммой и с заданной платежной
матрицей A можно найти оптимальное решение (, в смешанных или
чистых стратегиях, причем цена игры определяется как:
V =
или V =
Примечание 1. Теорема Джона фон Неймана утверждает, что решение
есть всегда, но другое дело, что, если нет решения в чистых стратегиях, то
его можно найти в смешанных стратегиях.
Примечание 2. Оптимизм, вселяемый этой теоремой, несколько убавляется при ее практическом применении, так как теорема не дает инструмента нахождения оптимального решения и цены игры (так называемая неконструктивная теорема).
Закономерности матричных игр
Для определения способов и методов решения игр с нулевой суммой
доказано большое число теорем, которые раскрывают сущность теоремы
Джона фон Неймана. Поскольку они направлены на решение лишь отдельных частных случаев, то их принято называть утверждениями.
Утверждение 1. Линейное преобразование платежных матриц не от-
ражается на выборе оптимальных стратегий.
Из курса высшей математики известно, что любую матрицу можно
умножить на число, при этом каждый элемент вновь полученной матрицы
представляется в виде произведения этого числа на соответствующий элемент исходной матрицы. Известна также операция сложения матриц, которая выполняется только в случае их одинаковой размерности.
Таким образом, если исходную матрицу A умножить на некоторое
число или прибавить к ней матрицу такой же размерности, получим матрицу
B. Для этой матрицы B стратегии (, также являются оптимальными.
Если матрица B получена при преобразовании матрицы A по следую-
щему правилу: B = * A + G, где – число, то цена игры платежной мат-
рицы B будет равна: =*+ G.
Примечание 1. При использовании указанных преобразований появля-
ется возможность уйти от отрицательных элементов в матрице A.
Примечание 2. Если игроки находятся в равных условиях, то при решении конфликтной ситуации каждый из них может как выиграть, так и проиграть, а потому платежная матрица A любой реальной игры содержит как
положительные, так и отрицательные элементы.
Примечание 3. Антагонистическая игра предполагает участие сразу нескольких игроков. Если рассматривать возможность участия в игре третьего
игрока, то с его стороны всегда возникает заинтересованность в справедли-
34
вом ведении игры первыми двумя игроками. Поэтому он разрабатывает линейные преобразования матрицы A таким образом, чтобы было проще проконтролировать выполнение принципа справедливой игры. В качестве такого игрока может выступать общество, народный фронт, судебная власть.
Утверждение 2. Чистые стратегии включаются в условия оптимально-
сти смешанных стратегий матричных игр. Данное утверждение говорит
о том, что если (, – оптимальные стратегии P1 и P2, то для них выпол-
няется равенство: V =
* A *
. Тогда любое изменение стратегии пер-
вым либо вторым игроком ведет к снижению цены игры:
V X * A *
V
* A * Y.
Утверждение 3. В матичных играх условие оптимальности смешан-
ных стратегий можно распространять на случай чистых стратегий.
Примечание: утверждения 2 и 3 взаимообратны.
Утверждение 4. Ограничение условий выбора оптимальных стратегий
взаимосвязано между собой.
Утверждение 5. Кососимметричная платежная матрица предопреде-
ляет справедливую игру. Под кососимметричной понимается матрица, у ко-
торой все элементы главной диагонали равны 0, а = –
.
Для решения конфликтной ситуации между игроками P1 и P2 необходимо учесть выбор их стратегии. В случае решения игры в чистых стратегиях было выяснено, что каждый из игроков будет придерживаться на каждом шаге одной и той же стратегии, поскольку они для них являются оптимальными. При этом средний выигрыш на каждом шаге P1, как и проигрыш
P2, будут одинаковы. В смешанных стратегиях на каждом шаге игроки выбирают разные стратегии, а потому выигрыш P1 будет меняться. Средний
выигрыш будет определяться ценой игры, выраженной в виде:
=
, * A *
,
где N – общее число ходов.
Пример. Игра задана платежной матрицей:
A =
Проверить решение игры в чистых стратегиях. Если такого решения
не существует, то при выборе смешанных стратегий P1 и P2, определить
цену игры, причем P1 выбирает первую стратегию – 4 раза, вторую стратегию – 4 раза, третью стратегию – 2 раза; а P2 первую – 1 раз, вторую – 4 раза,
третью – 2 раза, четвертую – 2 раза, пятую – 1 раз.
35
Решение. Определяем нижнюю цену игры:
=
(–2, –3, –4) = –2.
Определим верхнюю цену игры:
=
(6, 8, 7, 4, 5) = 4.
Итак, цена игры находится в интервале
:
–2V4.
Седловой точки нет, поэтому игра находит решение в смешанных стратегиях:
= 4, = 4, = 2 = 1, = 4, = 2, = 2,
= 1, N = 10;
P1 = (4, 4, 2) => X(
,
;
P2 = (1, 4, 2, 2, 1) => Y
Средний доход за один ход:
= X * A * Y =
,
*
*
= 2,42.
Решение игры 2 * 2
Игру, в которой у каждого игрока имеется лишь две стратегии, называют игрой 2 на 2. Данная постановка задачи не несет никакого прикладного
значения в связи с малым количеством стратегий. Однако принципы ее решения распространяются на игры гораздо большей размерности. В основу
поиска смешанных стратегий игроков P1 и P2 положена теорема. Поскольку
ее формулировка распространяется лишь на ограниченный класс задач, то
рассмотрим ее в виде утверждения.
Утверждение 6. Скаляризация позволяет снизить трудоемкость вы-
числительной процедуры поиска оптимальных стратегий.
Данное утверждение предполагает представление платежной матрицы
в блочном виде либо в виде матрицы-столбца – при поиске оптимальной
стратегии P1, либо в виде матрицы-строки – для поиска оптимальной стратегии P2. В первом случае каждый блок платежной матрицы представляет
собой отдельно взятую стратегию P1, то есть матрицу-строку доходов в зависимости от сложившихся условий. Во втором случае каждый блок есть
36
матрица-столбец, представляющий стратегию P2. Поскольку выбор стратегий P1 сводится к максиминной стратегии, а P2 – к минимаксной, то цена
игры в смешанных стратегиях сводится к поиску:
V =
либо V =
.
Поскольку оптимальная стратегия единственна, то цену игры можно
определять как по первой, так и по второй формуле. В случае игры 2 * 2
платежная матрица A имеет вид:
A =
.
Соответствующие формулы утверждения 6 принимают вид:
V =
и
V =
.
Нахождение V для игры 2 * 2 может быть представлено как в аналитическом, так и графическом виде.
Пример. Платежная матрица A имеет вид:
A =
.
Определим возможность ее решения в чистых стратегиях:
=
(3, 2) = 3;
=
(5, 6) = 5.
Седловая точка отсутствует, 3V.
Воспользуемся для поиска смешанных стратегий утверждением 6.
Тогда оптимальная стратегия P1 представляется в виде:
=(, ), тогда V =
.
Проводя умножение матриц, имеем:
= 5+ 2 = 3+ 6
,
где представляют собой вероятности выбора стратегий P1. А по-
тому: +=1 =>
.
Подставим в уравнения:
= 5+ 2( = 3+ 2; = 3
+ 6
3
+ 6.
Поскольку смешанные стратегии предполагают возможность исполь-
зования всех имеющихся стратегий, то
.
При этом 3+2 = –3+ 6
=
=
.
Подставим в любое или
, получим: V =
= 4.
В данном случае: V = 4, а
= (
.
37
Дадим графическую интерпретацию данного решения:
Линии
Аргументы
= 0
= 1
2
5
6
3
Рассмотрим оптимальную стратегию P2:
V =
=
Выполняя умножение матриц, получим:
=
= 5 = 2 .
Выразив через , получим:
,
5+ 3( = 2
+ 3,
= 2+ 6( ) = –4
+ 6,
2+ 3 = –4 + 6,
,
.
Линии
Аргументы
= 0
= 1
3
5
6
2
38
Лекция № 8. Решение игр,
заданных платежной матрицей 2 * n и m * 2
Рассмотренные алгоритмы для решения задач размерности 2 * 2 распространяются и на случай платежных матриц большей размерности. Данный алгоритм реализуют в случаях, когда у одного из игроков имеется две
стратегии, а у второго стратегий в наличии может быть любое количество.
В этом случае утверждение 6 из теоремы Джона фон Неймана позволяет решить игры размерностью 2 * n и m * 2 как графически, так и аналитически.
Рассмотрим графическую интерпретацию игры в случае, когда платежная матрица размерностью 2 * n.
Первоначально определяются стратегии игрока P1. Также используется
максиминная стратегия, которая алгебраически представляется в виде:
V =
.
Поскольку матрица A =
,
а смешанная стратегия P1: X = (
, то произведение этих матриц:
X * A =
.
Обозначив каждый из элементов полученной матрицы за ,
,
имеем n-выражений, которые в плоскости стратегий P1 представляются
в виде прямых, количество которых равно n (рис. 6).
Рис. 6. Графическое изображение игры,
заданной платежной матрицей размерностью 2 * n
В соответствии с максиминной стратегией необходимо найти наимень-
шие цены игры. Для этого выстраиваем вертикальные прямые и получаем
39
для каждой из них n-точек пересечения. По каждой совокупности из n-точек
выбираем минимальное значение. Из всех полученных минимум выбираем
максимум. Данная точка и соответствует оптимальной цене игры. Отсюда
получаем стратегию (
).
Следуя тому же алгоритму, используя минимаксную стратегию невозможно для P2 найти смешанную стратегию, поскольку произведение A * Y
позволяет найти и
, зависящее не от двух параметров, а сразу от n.
Выходом из сложившейся ситуации является предположение о том, что
P2 будет выбирать не все n-стратегии, а лишь две из них, которые соответствуют столбцам матрицы A под номерами k и s. Данные параметры соответствуют тем прямым, которые при пересечении дают оптимальную цену
игры. Следовательно, геометрическая интерпретация выбора стратегии
P2 схематично будет иметь вид, как показано на рисунке 7.
Рис. 7. Графическое изображение выбора стратегии
Минимаксная стратегия говорит о том, что в каждой паре точек необходимо найти:
V =
.
При решении игры размерности m * 2 в графическом виде алгоритм
сохраняется, но первоначально решение игры сводится к поиску смешанной
стратегии P2. В плоскости P2 выстраивается множество прямых
,
. А затем согласно минимаксной стратегии определяется цена
игры и вид смешанной стратегии P2. Две прямые, которые при пересечении
дают цену игры, обозначаются за
. Их построение в плоскости P1 поз-
воляет найти смешанную стратегию P1.
Пример. Решим игру 2 * n
A =
.
Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:
=
(1, –6) = 1;
40
=
(2, 5, 4, 7, 4) = 2;
1V 2.
P1:
*
= (2
.
Из условия = 1 следует
.
Отсюда искомые уравнения прямых:
= 2–3 +5 ;
;
= 4 = 10 ;
;
= –3 .
Линии
Аргументы
= 0
= 1
–3
2
0
5
–6
4
1
7
4
1
Рис. 8. Графический метод решения игры,
заданной платёжной матрицей размерностью 2 * n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]