Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы поддержки принятия решений. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Минимаксный критерий Сэвиджа. Этот критерий нацелен на минимизацию риска в любых условиях, тогда оптимальным будет решение
с наименьшим максимальным риском среди всех вариантов.
Критерий минимаксного риска Сэвиджа. При его использовании до-
стигается наименьшее значение максимального риска:
,
где риск
определяется выражением:
,
где
– максимально возможный выигрыш.
Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, представляет крайний пессимизм, однако здесь пессимизм проявляется в минимизации максимальных
потерь по сравнению с потенциально достижимыми в данных условиях.
Критерий Гурвица. Альфа-критерий решения Гурвица предполагает
определение индекса решения d для каждой стратегии, который представляет собой средневзвешенное его экстремальных отдач. В качестве весов
выступают коэффициент оптимизма р, применимый к максимальной отдаче
М, и его дополнение 1-р, которое применимо к минимальной отдаче m. Сто-
имость каждой стратегии, таким образом, равна:
.
Стратегия с самой высокой стоимостью di выбирается в качестве оптимальной.
Коэффициент оптимизма располагается в диапазоне от 0 до 1, что обеспечивает возможность лицу, принимающему решение, выражать свое субъективное отношение к риску с той или иной степенью оптимизма.
Если лицо, принимающее решение, совершенно пессимистично, то оно
может решить, что р = 0. Результат будет тот же, что и при использовании
критерия максимина.
Если лицо, принимающее решение, – неисправимый оптимист, то оно
может решить, что р = 1. Результат будет таким же, что и при критерии
максимакса. В соответствии с этим критерием, если требуется остановиться
между линией поведения «рассчитывай на худшее» и линией поведения
«рассчитывай на лучшее», то оптимальным решением будет то, для которого окажется максимальным показатель G. Этот критерий рекомендует при
выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться ни
крайним пессимизмом (всегда «рассчитывай на худшее»), ни оптимизмом
(«все будет наилучшим образом»). Рекомендуется некое среднее решение.
Этот критерий имеет вид:
, если aij – выигрыш;
, если aij – потери;
где р – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала
между 0 и 1.
Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.
22
Лекция № 3. Условия частичной неопределенности
Условия частичной неопределенности предполагают, что, исходя
из проанализированных сегментов рынка и внешних воздействий на него,
определена степень возможного появления рассматриваемых ситуаций. При
этом ряд распределения случайной величины дохода Q задает вероятности
появления выделенных событий, влияющих на реализацию проекта.
Q:
ij
q
1i
q
2i
q
3i
q
ik
q
j
p
1
p
2
p
3
p
k
p
Вероятность
i
p
– это и есть вероятность появления каждой отдельной
ситуации на рынке. Часть ситуаций имеет преобладающее значение. В этих
случаях лицо, принимающее решение, может воспользоваться одним из четырех правил выбора наиболее оптимальной стратегии.
1. Правило оптимизации среднего ожидаемого дохода. В данном случае
рассматривается средневзвешенная арифметическая величина:
взариф
= M
=
Q =
где i – номер принимаемого решения; j – номер ситуации.
Например, Q =
Q:
ij
q
1i
q
2i
q
3i
q
4i
q
j
p
2
1
6
1
6
1
6
1
= 5 *
+ 2 *
+ 8 *
+ 4 *
=
= 2 *
+ 3 *
+ 4 *
+ 12 *
=
= 8 *
+ 5 *
+ 3 *
+ 10 *
=
Q = max
=
=> 3 решение.
2. Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Основу состав-
ляет матрица рисков. Аналогичным образом определяются средние ожида-
емые риски
при принятии i-решения:
R =
.
= 3 *
+ 6 *
+ 0 *
+ 4 *
=
23
= 10 *
+ 9 *
+ 8 *
+ 0 *
=
= 2 *
+ 5 *
+ 7 *
+ 0 *
=
R = min
=
=> 3 решение.
3. Правило рассматривает риск как среднеквадратическое отклонение
от среднего ожидаемого дохода:
R =;
=
;
=
.
4. Байесовский подход как проверка одной из гипотез принятия решений.
Данное правило принятия решения рассматривает вероятностный подход исследования случайных событий. Из теории вероятностей известны формулы,
позволяющие связать условные и безусловные вероятности появления событий.
Основной формулой классической теории является полная формула вероятности, которая представляется в виде:
P(B) =
),
где i изменяется от 1 до n.
В данном случае в качестве основного события выступает событие B,
появление которого зависит от появления целой группы других событий
,
. Эти события между собой образуют полную группу событий,
то есть такую совокупность, которая учитывает все возможные исходы
опыта, а потому сумма их вероятностей равна 1:
= 1.
Эти события часто называют гипотезами появления основного события
B. Производной из формулы полной вероятности является формула гипотез:
P(
/B) =
.
В общем виде:
P(
/B) =
.
В честь автора эту формулу часто называют формулой Бейеса. Она позволяет произвести проверку гипотез и выбрать среди всех имеющихся ту,
что имеет большее значение. Соответствующая величина говорит, что вероятнее всего на рынке сложится i-ситуация.
При реализации любого из правил принятия решений в условиях частичной неопределенности появляется множество точек, количество которых равно числу принимаемых решений. Каждой точке соответствует средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Полученное множество
24
точек называют областью Парето (рис. 5). Из этого множества всегда стараются получить те точки, которые представляют наиболее благоприятную
стратегию. Такими точками являются те, в которых средний ожидаемый доход как можно больше, а средний ожидаемый риск как можно меньше.
Среди всех имеющихся точек данной области выделяют доминирующие,
доминантные же точки отбрасывают.
Рис. 5. Область Парето
1. 16
>
=
=> точка 1 – доминантная.
2. 25
>
>
=> точка 5 – доминантная.
3. 36
>
<
=> точка 3 – доминантная.
4. 46
>
<
=> точка 4 – доминантная.
В итоге имеем две точки 2 и 6, ни одна из которых не доминирует над
другой, каждая из них соответствует определенной стратегии. Лицо, принимающее решение, выберет одну из них, исходя из величины риска. То множество точек, что осталось после определения доминирования, называют
множеством Парето – оптимальных точек. С точки зрения математики получение этого множества есть окончательное решение задачи.
Критерий Лапласа, или Байесов критерий, гласит, что если вероятность состояния среды неизвестна, то они должны приниматься как равные.
В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа
позволяет условие неопределенности сводить к условиям риска – его называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все вышеназванные критерии.
Критерий Лапласа – это критерий рациональности, полностью нечувствительный по отношению к лицу, принимающему решение. Он чрезвычайно чувствителен, однако, к определению лицом, принимающим решение, состояния экономики и природы. Например, предположим, что состояния природы – жаркая, теплая и холодная погода. При отсутствии какоголибо прогноза погоды Бэйесова вероятность холодной погоды должна составлять одну треть. Но предположим теперь, что состояния природы – теплая и холодная погода. В этом случае вероятность холодной погоды сменилась на одну вторую. В действительности, конечно, равная вероятность всех
состояний природы невозможна, особенно в краткосрочные периоды.
25
Таким образом, критерий Лапласа больше подходит для долгосрочного
прогнозирования, осуществляемого крупными фирмами. В дополнение
к упомянутым ранее четырем критериям в условиях неопределенности существуют и количественные методы, такие как получение дополнительной
информации, хеджирование, гибкое инвестирование и пр. Основным правилом принятия решений в условиях неопределенности является стремление
к максимальной объективности.
Процесс принятия решения в условиях неопределенности – это процесс
выбора критерия, а затем выполнение необходимых расчетов для осуществления выбора в рамках этого критерия. Четыре критерия решений, которые
были обсуждены ранее, примененные к одной и той же матрице, могут привести к четырем различным стратегиям.
Какой критерий является самым подходящим?
Универсально правильного ответа не существует. Каждый из критериев имеет свои основания в определенных обстоятельствах и может подвергаться критике. Выбор часто определяется личными соображениями.
Какую же пользу приносит понятие платежной матрицы?
Наиболее уместный ответ заключается в том, что это полезный инструмент для концептуализации и формализации процесса принятия решений.
Существуют и другие количественные методы для решения неопределенности. Неопределенность можно представить как состояние знаний, при котором одна или несколько альтернатив приводят к диапазону возможных результатов, вероятности которых неизвестны. Это часто связано с отсутствием надежных данных, на основании которых вероятности можно было
бы рассчитать, а также с отсутствием возможностей для априорного определения вероятностей. Это указывает на то, что принятие решений в условиях неопределенности всегда имеет субъективный характер.
26
Лекция № 4. Элементы теории игр:
основные понятия и классификация
В теории рисков и неопределенностей для возможности принятия решения по отдельно взятому проекту рассчитывались доходы в зависимости от ситуации, которая может развиваться на рынке в будущем. Все доходы представлялись в виде математического объекта – матрицы доходов. С помощью данной матрицы определялась матрица рисков. В данной теории основой являлся
выбор наиболее оптимальной стратегии лицом, принимающим решение.
Теория матричных игр строится на схожих подходах. Основным отличием
является рассмотрение стратегий не одним лицом, а двумя и более. Это связано
с тем, что на рынке действует одновременно несколько конкурирующих сторон,
каждая из которых предлагает к рассмотрению несколько проектов. Склонив
свое решение в сторону одной из стратегий, участник рынка оказывает влияние
на остальных. Все участвующие в выборе решения стороны вступают в конфликтную ситуацию. Основной задачей теории игр является сглаживание конфликта посредством достижения такого состояния рынка, которое устроило бы
всех игроков. А потому к методам и способам поиска наиболее оптимальной
стратегии прибегают в случае заключения договоров и контрактов.
Подавляющее большинство социально-экономических решений необходимо принимать с учетом конфликтующих интересов, касающихся либо
разных лиц и организаций, либо различных аспектов обсуждаемого явления, либо того и другого. В таких случаях традиционные методы оптимизации неприменимы. В обычных экстремальных задачах речь идет о выборе
решения одним лицом, и итог зависит от этого выбора, то есть определяется
действиями только одного участника. Ситуации, где решения, выгодные для
одной стороны, совершенно не являются таковыми для другой, не вписываются в такую схему, и итог зависит от всех конфликтующих сторон.
Конфликтный характер таких задач не предполагает вражды между
участниками, но говорит о разных интересах. Необходимость анализа подобных ситуаций привела к созданию специального математического инструментария – теории игр.
Теория игр является частью обширной теории, исследующей процессы
принятия оптимальных решений. Она предоставляет формальный язык для
описания процессов принятия осознанных, целенаправленных решений с участием одного или нескольких лиц в условиях неопределенности и конфликта,
вызванного столкновением интересов противоборствующих сторон. Неопределенность может возникать не только из желания противников скрыть свои действия в игре, но и из-за недостатка информации и данных о рассматриваемом
явлении. В этом контексте можно говорить о конфликте человека с природой.
Цель теории игр заключается в разработке рекомендаций по рациональным действиям участников в конфликтных ситуациях, то есть в определении оптимальной стратегии каждого из них. Первые работы по теории игр
(Цермело, Борель, фон Нейман) относятся к началу XX в. Но лишь появле-
27
ние и широкое распространение ЭВМ привлекло внимание множества специалистов к теории игр. Теория стратегических игр в своей математической
форме появилась в 30-х годах прошлого столетия. Ее создателем считается
Джон фон Нейман. Первой основополагающей книгой по теории игр стала
работа «Теория игр и экономическое поведение», опубликованная в 1944 г.
Практическое значение теории игр заключается в том, что она служит основой для моделирования игровых экспериментов, особенно деловых игр, позволяя определить оптимальное поведение в сложных ситуациях. В принципе,
возможно моделирование военных, правовых конфликтов, спортивных соревнований, «салонных» игр и явлений в биологии, связанных с борьбой за выживание. Настоящая конфликтная ситуация отличается от игры тем, что не ведется
по строго заданным правилам. Реальные конфликты трудно поддаются формализации, следовательно, любая игра является упрощением исходной задачи, отражая только основные, ключевые факторы, суть процесса или явления.
В зависимости от доступных исследователю данных и поставленной им
задачи могут быть сформулированы различные теоретико-игровые модели.
Различают три основных типа задач:
1) определение оптимального исхода. В качестве исхода в общем слу-
чае может рассматриваться социально-экономическая ситуация. В зависимости от содержания задачи ситуацию можно описать наборами благ, получаемых каждым игроком (выигрышами), или исходом может стать выбор
того или иного кандидата, принятие определенного проекта, договора и т. д.
При этом нужно найти коалиционную структуру и коалиционные стратегии,
при которых оптимальный результат будет реализован;
2) определение оптимального исхода при фиксированной коалицион-
ной структуре, когда заранее известно, что создание коалиций запрещено,
невозможно или существующая коалиция не должна меняться по какимлибо политическим или экономическим причинам. В этом случае главной
задачей будет нахождение правил принятия решений в коалициях (порядка
вознаграждения ее членов), которые обеспечат сохранение данной коалиционной структуры, и, соответственно, система будет функционировать в интересах и возможностях ее участников;
3) определение устойчивой коалиционной структуры при заданных
правилах принятия решений (конституциях, нормативных актах, уставе
предприятия и др.) в коалициях. Такие задачи встречаются при решении
экономических и социальных проблем.
Формализованные модели конфликтов известны давно: это игры в буквальном смысле слова – шахматы, карты, кости и пр. Эти игры имеют характер соревнования, проходящего по известным правилам. Терминология,
заимствованная из практики таких игр, также применима к другим конфликтным ситуациям, которые рассматривает теория игр.
Впервые обоснованно были изложены задачи и методы теории игр
Джоном фон Нейманом в 1944 г. Он рассмотрел экономические ситуации
в численном виде при решении конфликтных вопросов.
28
Математическая модель любого конфликта называется игрой. Стороны, участвующие в игре, называют игроками. Если таких игроков конечное число, то их либо нумеруют, либо дают собственное имя. Например,
продавец – покупатель. Возможные действия сторон называют ходами или
стратегиями. Интересы каждого игрока в численном варианте представляются в виде функции платежей или выигрышей. Эти функции можно трактовать как функции полезности для каждой из сторон.
В теории игр полагается, что функция выигрыша и множество доступных для игрока стратегий уже известны. Таким образом, вступая в конфликтную ситуацию, каждый из игроков знает не только свои стратегии,
но и всех остальных игроков. Исходя их этой информации, он организует
свое поведение и выбирает для себя наиболее оптимальную стратегию.
Игры классифицируются по разным признакам:
1) числу игроков;
2) свойствам функций выигрыша;
3) взаимодействию между игроками в ходе игры.
Согласно первой классификации различают игры с двумя, тремя
и большим числом участников. Возможны также игры с бесконечным числом игроков.
В соответствии со второй классификацией различают конечные и бесконечные игры в зависимости от количества принимаемых стратегий. В конечных играх число стратегий ограничено, а в бесконечных их число не представляется возможным к подсчету.
По свойствам функций выигрыша игры распределяются по трем категориям:
1) когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого либо общая
сумма выигрыша равна общей сумме проигрыша, если в игре участвует
много игроков. Такие игры называют играми с нулевой суммой или антагонистическими;
2) ко второй категории относят игры с постоянной разностью. Она ха-
рактерна для случая, когда игроки выигрывают и проигрывают одновременно, а потому выгодно действовать сообща. Эти игры являются прямой
противоположностью антагонистических игр;
3) к третьей категории относят игры, которые являются усредненным
вариантом игр первой и второй категорий. Их называют играми с ненулевой
суммой. Они описывают процессы между сторонами игры, которые включают в себя и конфликты и согласования действий.
В зависимости от возможности предварительных переговоров между
игроками различают кооперативные и некооперативные игры. В кооперативных еще перед игрой ее участники образуют коалицию и принимают взаимно обязывающие соглашения о своих стратегиях. Если же игроки не могут координировать собственные действия, то игра называется некооперативной. Все антагонистические игры являются некооперативными.
29
Лекция № 5. Антагонистические игры
Наиболее изученным на сегодняшний день является способ решения
антагонистической игры, в которой участвуют два игрока. Причем такая
игра может быть как конечной, так и бесконечной. Под конечной понимается игра, каждый игрок которой располагает конечным числом несовместных альтернативных стратегий.
Рассмотрим решение такой конечной игры с нулевой суммой, которая
предполагает, что сумма выигрыша I и II игроков равна 0. Игроков принято
обозначать P1 и P2. Стратегии I и II игроков задаются в виде платежной
матрицы. Отдельно взятый доход можно обозначить либо , либо
. При
формировании данной матрицы указывается, кто из игроков является доминирующим, то есть определяется лицо, от имени которого ведется игра.
Чаще всего в качестве такового выбирается P1. Его стратегии прописываются построчно, а стратегии P2 – по столбцам. Такую игру и называют в зависимости от размерности матрицы игрой m * n.
В теории игр рассматривается несколько методов решения такой антагонистической игры. Выбор метода зависит от размерности платежной матрицы. Самым простым методом, позволяющим решить конфликтную ситуацию, является поиск нижней и верхней цены игры. Нижней ценой игры
называется выигрыш игрока P1 при выборе им максиминной стратегии.
Данная стратегия предполагает определение цены по формуле:
.
Верхняя цена игры соответствует величине проигрыша игрока P2 при
его выборе минимаксной стратегии:
.
Задачей P1 является получить наибольший доход в наихудшей ситуации, а со стороны P2 возникает желание получить наименьший среди всех
наибольших проигрышей.
Пример:
Q =
.
В данном случае рассматривается игра 3 * 4, где у P1 – три стратегии,
а у P2 – четыре стратегии.
Определим нижнюю цену игры:
– 1 стратегия игрока P1.
Определим верхнюю цену игры:
– 1 стратегия игрока P2.
30
Если нижняя цена игры равна верхней, то ее называют игрой с седловой
точкой – , а ценой игры V является величина дохода игрока P1 в этой сед-
ловой точке: V = = = .
Это наилучший вариант решения конфликтной ситуации, поскольку он
устраивает и первого и второго игроков. В условиях игры с седловой точкой
игроками принимаются те стратегии, на пересечении которых она располагается. Такую игру называют игрой в чистых стратегиях.
P1 =
P2 =
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]