Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник тестовых заданий и задач по курсу «Физика низкотемпературной плазмы и электрический ток в газах». Учебное пособие.pdf
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
Г.В. Крашевская, В.А. Урусов
Сборник тестовых заданий и задач
по курсу «Физика низкотемпературной плазмы
и электрический ток в газах»
Учебное пособие
Москва 2025
УДК 533.9 + 537.5
ББК 22.333
К78
Крашевская Г.В., Урусов В.А. Сборник тестовых заданий и задач по кур-
су «Физика низкотемпературной плазмы и электрический ток в газах»:
Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2025. 76 с.
В сборник включены задачи и тесты, предназначенные для решения студентами, специализирующимися на кафедре физики плазмы НИЯУ МИФИ и
изучающими курс «Физика низкотемпературной плазмы».
Рецензенты: проф. НИЯУ МИФИ, д-р физ.-мат. наук А.И. Каримов;
гл. науч. сотр. ИНХС РАН, д-р физ.-мат. наук Ю.А. Лебедев
ISBN 978-5-7262-3110-5
© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2025
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ
Внутри каждой большой задачи
сидит маленькая, пытающаяся
пробиться наружу.
Закон больших задач Хоара
1.1. Основные соотношения молекулярно-кинетической теории
В равновесном состоянии в газе распределение частиц по скоро-
стям описывается распределением Максвелла
f vx
dw
dv
x
m
2 k T
1
2
exp
mv
x
2
2 k T
, (1.1)
где
f vx
– распределение частиц по проекции скорости по оси x;
m – масса одной молекулы; k – постоянная Больцмана; T – темпера-
тура в Кельвинах.
f v
dw
dv
4
m
2 k T
3
2
v2exp
m v
2
2 k T
, (1.2)
где
f v
– распределение частиц по модулю скорости.
Среднеквадратичная скорость частиц связана с температурой
vскv2
3 kT
m
, (1.3)
где угловыми скобками обозначено усреднение.
Средний модуль скорости
v
8 kT
m
. (1.4)
Если газ находится в потенциальном поле, то распределение ча-
стиц по энергии подчиняется распределению Гиббса
3
f W A exp
W
kT
, (1.5)
где A – нормировочная постоянная; W – полная энергия частиц.
Как частный случай из уравнения (1.5) можно получить распределение концентрации молекул по высоте в однородном поле тяжести
n hn0exp
m g h
kT
, (1.6)
где m – масса одной молекулы; h – высота.
Длина свободного пробега в случае столкновений легких частиц
с тяжелыми (например, столкновения электронов с атомами), когда
тяжелые частицы можно считать неподвижными,
v
st
1
n
, (1.7)
где v – модуль скорости движения налетающей частицы;
st
– ча-
стота столкновений; – сечение рассеяния; n – концентрация неподвижных тяжелых частиц.
В случае если массы частиц сопоставимы, необходимо учиты вать движение всех частиц, в этом случае длина свободного пробега
v
v
отн
1
n
, (1.8)
где
v
отн
– модуль относительной скорости движения частиц.
Для смеси частиц массами m1 и m2 среднее значение квадрата относительной скорости, при условии равенства средних кинетических энергий частиц, равно сумме квадратов среднеквадратичных
скоростей
4
v
отн
2
v
1
2
v
2
2
, (1.9)
где угловыми скобками обозначено усреднение. Если распределение частиц по скоростям является распределением Максвелла, то
среднеквадратичные скорости и средние значения модуля скорости
прямо пропорциональны. Следовательно, квадрат среднего значения модуля относительной скорости будет удовлетворять аналогичному соотношению. В этом случае формулы для средних длин свободного пробега частиц разного сорта
12
m
1
1
12n
2
,
21
m
2
1
21n
1
, (1.10)
где
m1m
2
m1m
2
– приведенная масса.
Если концентрации частиц в смеси газов сопоставимы, то формулы (1.10) для оценки длины свободного пробега неприменимы,
так как необходимо учитывать столкновения с частицами того же
типа. В этом случае среднюю длину пробега частиц разного сорта
можно найти по формулам
1
1
211n1
m
1
12n
2
,
2
1
222n2
m
2
21n
1
. (1.11)
Длина пробега между столкновениями частиц в газе носит вероятностный характер. Если обозначить вероятность частицы пройти
без столкновений
d w
на расстояние
d z
, то получаем следующее
уравнение
5
dw
dz
w
, (1.12)
где
– средняя длина свободного пробега.
Проинтегрировав уравнение (1.12), получаем для вероятности
пробега на расстояние z без рассеяния
wexp
z
. (1.13)
1.2. Сечения рассеяния, возбуждения и ионизации
Сечения рассеяния, возбуждения и ионизации зависят от энергии сталкивающихся частиц. Для описания зависимости сечения
ионизации (возбуждения) в области не очень больших энергий
применяется эмпирическая формула Моргулиса
1W Wiexp1W Wi
, (1.14)
где
1
и
1
– эмпирические константы; W – энергия частиц;
W
i
– энергия возбужденного уровня или ионизации.
Поскольку указанная зависимость имеет максимум при определенной энергии, то удобно выразить зависимость сечения от энергии через значения в максимуме (формула Фабриканта)
m
W W
i
WmW
i
exp1
W W
i
WmW
i
, (1.15)
где
m
и
W
m
– сечение и энергия частиц в максимуме функ-
ции ионизации.
6
1.3. Элементы физической кинетики и степень ионизации в газах
В газе в результате столкновений и под воздействием внешних
излучений идут процессы ионизации и рекомбинации. Динамику
этих процессов можно описывать, используя законы физической
кинетики.
Считая, что суммарная концентрация ионов и атомов остается
постоянной
ni naconst
, и предполагая, что скорость процесса
ионизации атома электронным ударом
ae i2 e
пропорцио-
нальна концентрациям нейтральных атомов na и электронов n
e
получаем:
d n
i
d t
A1nan
e
. (1.16)
Обратный процесс рекомбинации идет в результате тройного
столкновения
i 2 e a e
. Уравнение для этого процесса полу-
чается следующее:
d n
i
d t
A2nin
e
2
. (1.17)
При фотоионизации
a i e
скорость процесса пропорци-
ональна концентрации нейтральных атомов
n
a
и интенсивности
излучения
j
изл
:
d n
i
d t
A3naj
изл
. (1.18)
Обратный процесс рекомбинации
i e a
пропорциона-
лен концентрациям ионов и электронов:
d n
i
d t
A4nin
e
. (1.19)
7
В замкнутой равновесной системе скорости прямого и обратного
процессов должны быть равны:
d n
i
d t
0
. (1.20)
Рассматривая, например, ионизацию и рекомбинацию в результате столкновений, получаем
K
nin
e
n
a
A
2
A
1
const
. (1.21)
Величина K называется константой ионизационного равнове-
сия.
Аналогично, рассматривая процессы фотоионизации и фоторекомбинации, получаем
K
nin
e
n
a
A3j
изл
A
4
const
. (1.22)
Для оптически прозрачной плазмы, когда излучение свободно
покидает плазму, прямой и обратный процессы идут по разным каналам: ионизация – электронным ударом, а рекомбинация – излучением. В этом случае константа ионизационного равновесия (формула Эльверта) следующая:
K1
n
i
n
a
A
1
A
4
const
. (1.23)
Необходимо отметить, что при проведении расчетов часто используется условие квазинейтральности плазмы
nin
e
. (1.24)
8
Отношение числа ионов к сумме чисел ионов и нейтральных
атомов называется степенью ионизации (коэффициентом иониза-
ции)
n
i
nin
a
n
i
n
. (1.25)
В общем виде степень ионизации находится из уравнения
2
1
2
K
kT
P
, (1.26)
где
Pne ni nakT
– суммарное давление всех компонент
смеси.
Для плазмы, находящейся в термодинамическом равновесии,
степень ионизации определяется уравнением (формула Саха)
α
2
1α
2
geg
i
g
a
k T
2π
2
3
2
kT
p
exp
e U
i
kT
, (1.27)
где
ge, gi, g
a
– статистические веса электронов, ионов и атомов,
соответственно;
mem
i
me m
i
– приведенная масса;
U
i
– потенциал
ионизации.
Пример 1.1. Нерелятивистская -частица, летящая со скоро-
стью v0 и с прицельным параметром , рассеивается на ядре атома мишени (рис. 1.1). Заряд ядра атома мишени равен Z1e. Между
α-частицей и ядром мишени действует кулоновская сила отталкивания. Считая массу ядра атома мишени много больше массы -частицы и, соответственно, считая ядро неподвижным, найдите минимальное расстояние r
min
, на которое сблизятся частицы.
9
Рис. 1.1
Решение. Введем полярную систему координат (, r). Законы
сохранения энергии и момента количества движения запишутся в
виде:
m
2
dr
dt
2
r
2
d
dt
2
2 k Z1e
2
r
m v
0
2
2
;
mr
2
d
dt
mv0
,
k
1
4
0
.
При
rr
min
радиальная скорость равна нулю, т. е.
dr
dt
0
, и
решение задачи сводится к решению квадратного уравнения.
Получаем
r
min
2 k Z1e
2
m v
0
2
1
1
mv
0
2
2 k Z1e
2
2
2
.
Пример 1.2. Найдите распределение по скорости для потока
газа, прошедшего через маленькое отверстие в вакуум из некоторого объема, считая, что распределение газа в объеме – максвелловское.
Решение. Воспользуемся сферической системой координат. Поток частиц с заданной скоростью v в направлении заданном углами
и
10