Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по алгебре и геометрии
.pdf
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 81
Задание 6. Используя критерий Эйзенштейна, выяснить, приводим ли
данный многочлен над полем Q.
1) f (x)=x
2) f (x)=x
3) f (x)=x
4) f (x)=x
5) f (x)=x
6) f (x)=x
7) f (x)=x
8) f (x)=x
9) f (x)=x
10) f (x)=x
11) f (x)=x
12) f (x)=x
13) f (x)=x
14) f (x)=x
15) f (x)=x
16) f (x)=x
17) f (x)=x
18) f (x)=x
19) f (x)=x
20) f (x)=x
21) f (x)=x
22) f (x)=x
5
+10x4− 5x3− 20x2+30x +15
5
+10x4− 5x3− 20x2+40x − 10
5
− 10x4+5x3− 15x2− 30x +10
5
− 10x4+5x3− 15x2− 40x − 15
5
+10x4+15x3− 25x2+20x +15
5
+10x4− 15x3− 25x2+5x −10
5
− 10x4+20x3+15x2+25x +10
5
− 10x4− 20x3+15x2− 25x − 15
5
+15x4+10x3+25x2+5x −5
5
+15x4− 10x3+25x2+25x +5
5
− 15x4+10x3+5x2− 20x +35
5
− 15x4− 10x3+5x2+20x − 35
5
+25x4+15x3− 5x2+10x +45
5
+25x4− 15x3− 5x2− 10x − 45
5
− 25x4+25x3+5x2+15x +55
5
+7x4+14x3− 56x2+21x +28
5
− 7x4− 21x3+49x2+14x +56
5
+14x4+28x3− 42x2− 7x +21
5
− 14x4− 35x3+35x2+28x − 7
5
+21x4+42x3− 28x2− 35x +56
5
− 21x4− 49x3+21x2+35x +28
5
+28x4+56x3− 14x2+7x −35
82 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
23) f (x)=x5− 28x4− 7x3+7x2− 35x +21
5
24) f (x)=x
25) f (x)=x
26) f (x)=x
27) f (x)=x
28) f (x)=x
29) f (x)=x
30) f (x)=x
+35x4+14x3− 7x2+21x − 28
5
− 35x4− 21x3+14x2+28x +7
5
+42x4+28x3− 21x2− 35x − 7
5
− 42x4− 35x3+28x2+7x +14
5
+49x4+42x3− 35x2+21x − 14
5
− 49x4− 49x3+42x2− 28x +21
5
+56x4+7x3− 49x2+14x − 28
Задание 7. С помощью теоремы Штурма отделить корни данного многочлена.
1) f (x)=x
2) f (x)=x
3) f (x)=x
4) f (x)=x
5) f (x)=x
6) f (x)=x
7) f (x)=x
8) f (x)=x
9) f (x)=x
10) f (x)=x
11) f (x)=x
12) f (x)=x
13) f (x)=x
14) f (x)=x
3
− 3x − 1
3
+3x2− 3
3
− 3x2+1
3
+6x2+9x +1
3
− 6x2+9x −3
3
− x +5
3
+3x2+2x +5
3
− 3x2+2x +5
3
+6x2+11x +11
3
− 6x2+11x − 1
3
+3x −5
3
+3x2+6x −1
3
− 3x2+6x −9
3
+6x2+15x +9
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 83
15) f (x)=x3− 6x2+15x − 19
16) f (x)=x
17) f (x)=x
18) f (x)=x
19) f (x)=x
20) f (x)=x
21) f (x)=x
22) f (x)=x
23) f (x)=x
24) f (x)=x
25) f (x)=x
26) f (x)=2x
27) f (x)=x
28) f (x)=x
29) f (x)=x
30) f (x)=x
4
− x − 1
4
+4x3+6x2+3x −1
4
− 4x3+6x2− 5x +1
4
+ x2− 1
4
+4x3+7x2+6x +1
4
− 4x3+7x2− 6x +1
4
+4x3− 12x +9
4
+8x3+18x2+4x +2
4
− 6x2− 4x +18
4
− 12x2− 16x − 4
4
− 8x3+8x2− 1
3
+ x2− 2x − 1
3
+4x2+3x −1
3
− 2x2− x +1
3
+3x2− 4x +1
Работа 4. Алгебраические структуры
Задание 1. Выяснить, является ли данное множество полугруппой,
моноидом, группой относительно данной бинарной операции.
относительно операции a ∗ b =2a + b.
1) Z
3
относительно вычитания.
2) Z
4
3) Z
относительно операции a ∗ b =2a +2b.
5
4) Z
относительно операции a ∗ b = a +3b.
6
относительно сложения.
5) Z
7
84 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
6) Z относительно операции a ∗ b = ab.
относительно умножения.
7) Z
4
8) Z
относительно операции a ∗ b = a2b.
5
относительно умножения.
9) Z
6
∗
10) Z
11) Z
12) Z
относительно умножения.
7
∗
относительно сложения.
6
∗
относительно умножения.
8
13) Множество всех чисел вида 3n+1,гдеn ∈ Z, относительно умножения.
14) Множество всех чисел вида 3n +1,гдеn ∈ Z, относительно сложения.
15) Множество всех чисел, кратных пяти, относительно сложения.
16) Множество всех четных чисел относительно умножения.
17) Множество всех нечетных чисел относительно умножения.
18) Множество всех чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1 или 4,
относительно умножения.
19) Множество простых чисел относительно сложения.
20) Множество простых чисел относительно умножения.
√
21) Множество чисел вида a + b
2,гдеa, b ∈ Z, относительно умножения.
√
22) Множество чисел вида a + b
2,гдеa, b ∈ Z, относительно сложения.
√
23) Множество чисел вида a + b
24) Множество чисел вида a + b
25) Множество чисел вида a+ b
26) Множество чисел вида a + b
5,гдеa, b ∈ Q, относительно сложения.
√
3
2,гдеa, b ∈ Z, относительно сложения.
√
3
2,гдеa, b ∈ Z, относительно умножения.
√
3
2+c
√
4
4,гдеa, b, c ∈ Z, относительно
умножения.
27) Множество многочленов первой степени относительно сложения.
28) Множество многочленов первой степени относительно умножения.
29) Множество многочленов не более чем первой степени относительно
сложения.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 85
30) Множество многочленов не более чем первой степени относительно
умножения.
Задание 2. Выяснить, будет ли данное бинарное отношение, заданное
на множестве действительных чисел, отношением порядка (варианты 1–15)
или отношением эквивалентности (варианты 16–30).
1) x 2y
2) x −3y
3) −x 5y
4) −x<4y
5) x<5y
6) x<−3y
7) −|x| 2y
8) |x| −3y
9) |x| 2y
1
10) |x| >
y
2
11) |x| < 0.25y
12) x y +1
13) x y −1
14) x<y− 2
15) x>y+3
16) 2x = y
17) x = −2y
18) 3x = −y
19) x =3y
20) −3x =2y
21) x2= −y
22) |x| = y
23) |x| = −y
24) 2|x| = y
25) x = −3|y|
26) x =5|y|
27) |x| = |y|
28) |x| = −|y|
29) x = y
3
30) x =√y
2
Работа 5. Линейная алгебра
Задание 1.
a) Вычислить данный определитель, разложив его по какой-либо строке
(или столбцу).
86 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
б) Вычислить этот же определитель методом Гаусса (приведением к тре-
угольному виду).
013−1
−224−3
1)
000 2
521−1
12 12
−14 02
3)
03 00
−31−11
2011
0002
5)
1 −41−1
−183−2
−3 451
0 300
7)
0 −121
1 034
−353 4
101 5
9)
212 2
000−1
43−51
01 1−2
11)
12−13
02 0 0
000−1
1 −31 2
13)
0133
1 −13−1
0 −300
−2 114
15)
1 −125
3 −201
0171415
0231
17)
−31−21
0 −110
1 −83−1
8128
2)
00−10
1841
−1642
1751
4)
−2000
0324
−2052
0010
6)
2 −13−
1 −22 1
5211
−2000
8)
11−4 −1
−1 −183
23−5 −5
−1431
10)
6 −21−7
0010
124 1
−134 2
12)
341−3
−200 0
00 2 0
−12 4−3
14)
−21 5 0
43−11
0182117
23−11
16)
0 −101
00−2 −1
01 17 0
02 11−1
18)
03 19 1
−12−3 −1
2
11−12
9 0 15 16
19)
00 1−2
20−10
25 0 17 13
10 0−1
21)
−12 1 1
30 1 2
1 −12 1
0150−14
23)
100−1
−210−2
9110 13
100−1
25)
−111 2
020 1
12−12
−1020
27)
18 13 15 0
1 −100
18 70
01 150
29)
−11−23
−12 180
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 87
20 0 −12
1 −1 −11
20)
19 0 −31
18 0 0 −1
20 13
50 0 −21 13
22)
00−11
1 −21−1
23 01
−10−12
24)
16 00
31 29 0 14
2103
0104
26)
5601
1 −1 − 22
−15 16 13 0
1 −12−1
28)
−1100
0 −21 0
4350
1230
30)
0 −120
32−12
Задание 2.
а) Решить данное уравнение с помощью обратной матрицы. (Обратную
матрицу найти методом элементарных преобразований.)
б) Переписать данное уравнение в виде системы линейных уравнений.
Решить его методом Крамера. Сравнить ответы.
⎞
T
⎠
=(1, −4, 5)
1. X ·
⎛
2 −3 −5
⎝
31−2
1 −21
2. X ·
⎛
1 −31
⎝
21 3
2 −1 −2
⎞
⎠
T
⎞
⎛
T
2
⎠
⎝
3
=
8
88 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
⎛
⎝
3.
X ·
⎛
43−2
⎝
31 1
4.
1 −2 − 3
⎛
5 −21
⎝
21 2
5.
⎛
213
⎝
3 −15
−131
⎞
⎠
·X
⎞
⎠
·X
⎞⎠⎞
T
⎠
=
⎛
−1
T
⎝
=
T
=(−1, 6, −5)
⎞
⎛
2
⎠
⎝
−4
4
⎞
⎠
3
8
T
1 −3 − 1
⎛⎝⎛
⎝
6.
33 2
21−1
⎞
⎠
· X
⎞
T
⎠
=(−1, 3, 4)
1 −2 − 3
⎞
T
⎠
=(1, 8, −1)
7. X ·
⎛
2 −13
⎝
12 1
4 −3 −2
8. X ·
⎛
⎝
9.
⎛
⎝
10.
⎛
⎝
11.
X ·
⎛
1 −21
⎝
213
341
⎛
211
⎝
−12−3
314
31−2
1 −23
23−1
1 −3 −1
21 1
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
T
=
⎞⎠⎞
· X
· X
⎞
⎛
4
⎠
⎝
5
−2
⎛
T
⎠
⎝
=
⎛
T
1
⎝
5
=
−4
T
=(1, −7, 5)
T
3
2
−1
⎞
⎠
⎞
⎠
T
2 −1 −3
⎞
12.
⎛⎝⎛
31 2
⎝
1 −2 −1
⎠
·X
⎞
T
⎠
=(−4, −1, 0)
23 2
13. X ·
14. X ·
⎛
⎝
15.
⎛
⎝
16.
⎛
⎝
17.
⎛⎝⎛
18.
19. X ·
20. X ·
⎛
⎝
21.
⎛
⎝
22.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 89
⎛
23−1
⎝
12 3
1 −1 − 2
⎛
3 −22
⎝
21−1
5 −13
⎛
121
⎝
51−4
X ·
−1 −21
2 −33
11−2
1 −23
32−1
1 −12
22 1
11−2
⎝
23 1
1 −2 −1
⎛
2 −31
⎝
11−2
3 −26
⎛
12−4
⎝
31−3
2 −15
⎛
131
⎝
12−1
X ·
−32 5
21 4
31 5
1 −4 −3
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
· X
· X
⎞
⎠
· X
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
T
T
T
T
·X
T
T
⎞⎠⎞
T
=(2, 0, 6)
⎞
⎛
⎝
=
3
−5
T
⎠
4
⎠
⎛
⎛
T
⎝
=
⎞
⎞⎠⎞
0
⎝
⎠
−7
=
3
=(3, −4, 4)
⎞
T
⎠
=(1, 0, 7)
=(3, 4, 0)
⎞
⎛
⎝
=
0
−1
T
⎠
3
⎛
T
⎠
0
⎝
−1
=
−2
⎞
⎛
1
⎠
⎝
0
=
1
−1
7
0
⎞
⎠
T
⎞
⎠
90 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
23.
⎛
315
⎝
−23−2
⎞
⎠
T
=(−5, 2, −4)
· X
T
−12 4
⎞
24.
⎛⎝⎛
1 −42
⎝
41−3
⎠
·X
⎞
T
⎠
=(−5, −3, −1)
23 4
25. X ·
⎛
24−3
⎝
11 2
⎞
T
⎠
=(2, 0, −5)
3 −21
⎞
⎛
⎝
1
−7
T
⎠
0
⎞
⎛
2
⎠
⎝
7
=
8
⎛
⎞
−4
⎝
⎠
−1
=
1
T
26. X ·
⎛
⎝
27.
⎛
⎝
28.
⎛
⎝
29.
X ·
−31−2
−12−2
⎛
12−3
⎝
2 −3 − 1
41−2
⎛
315
⎝
−123
432
⎞
321
⎠
2 −35
⎞
432
⎠
· X
⎞
T
⎠
=
⎞⎠⎞
T
⎠
T
·X
T
=(1, 8, 0)
344
30.
⎛⎝⎛
2 −13
⎝
1 −2 −5
⎞
⎠
·X
⎞
T
⎠
=(1, −9, 4).
43−2
Задание 3.
а) Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпро-
странств, натянутых на данные системы векторов.
б) Найти базис ортогонального дополнения к сумме P и Q.
1. P : (2, 1, 3, 7); (3, −2, 1, 0)
Q: (1, −3, −4, 7); (4, −5, −5, −7)
2. P : (5, 3, 1, 3); (−2, −1, 2, 0); (1, 1, −3, 3)
Q: (3, 4, 5, 4); (−2, 1, 4,
1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]