Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по алгебре и геометрии
.pdf
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 61
Теперь разложим на множители:
(x
− 2y1−√3y1)(x1− 2y1+√3y1)=0.
1
Итак, в системе координат x
точки, лежащие на данной кривой вто-
1O1y1
рого порядка, удовлетворяют одному из уравнений:
x
=(2+√3)y1или x1=(2−√3)y1.
1
Построим эту кривую (рис. 13):
Рис. 13
г) x2+4xy +4y2− 20x +10y − 50 = 0.
Здесь δ =
12
24
=0, то есть данная кривая не имеет центра. Запи-
сываем три первых слагаемых как полный квадрат:
(x +2y)
2
− 20x +10y − 50 = 0.
Поскольку −20x+10y не пропорционально x+2y, данная кривая — парабола
(в этом можно убедиться иначе, проверив, что Δ =0). Подберем такие
числа m, n и q, чтобы уравнение параболы приняло вид:
(x +2y + n)
2
+2m(2x −y + q)=0.
Раскрывая скобки и сравнивая получающееся выражение с исходным, при-
62 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ходим к системе уравнений
⎧
2n +4m = −20 (коэффициенты при x)
⎪
⎨
4n − 2m =10 (коэффициенты при y)
⎪
⎩
2
n
+2mq = −50 (свободные члены).
Отсюда m = −5, n =0и q =5, так что уравнение принимает вид
2
(x +2y)
− 10(2x − y +5)=0.
Примем за новую ось O
− y +5=0. Тогда в новых координатах X — это расстояние до оси O
a Y — расстояние до оси O
X прямую x +2y =0,азаосьO1Y —прямую2x−
1
X,такчто
1
Y = ±
x +2y
√
5
,X= ±
2x − y +5
√
5
Y ,
1
(знаки этих выражений зависят от того, куда мы направим оси координат).
Уравнение параболы примет вид
2
Y
=2√5X.
Направление осей можно определить, находя некоторые точки параболы.
Например, при x =0мы получим уравнение
2
4y
+10y −50 = 0,
откуда y =2, 5 или y = −5. Искомая парабола и системы координат изоб-
ражены на рисунке 14.
2
− 4xy +4y2− 6x +12y +8=0.
д) x
Здесь δ =Δ=0, и мы должны исследовать пару параллельных пря-
мых. Переписывая данное уравнение в виде
(x − 2y)
2
− 6(x − 2y)+8=0,
получаем квадратное уравнение относительно x−2y. Его решения — это x−
−2y =4или x −2y =2. Они определяют пару действительных параллель-
ных прямых (см. рис. 15).
Задание 12. Найти и изобразить геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F(−1, 2) равно расстоянию до прямой x = −3.
Начертить график.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 63
y
Y
5
2,5
O
1
1
-2
O
x
2 +5=0xy-
-5
-1
-2
xy+2 =0
X
Рис. 14
y
xy-2=2
xy-2=4
O
2
Рис. 15
4
x
Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих данному
уравнению.
Решение. Пусть некоторая точка M (x, y) удовлетворяет условию зада-
чи. Расстояние MF =
(x +1)2+(y −2)2, а расстояние от точки M до
64 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
прямой x = −3 равно |x +3|. Выполняется уравнение
(x +1)2+(y −2)2= |x +3|.
Преобразуя это уравнение, получаем
2
(x +1)
+(y − 2)2=(x +3)2,
2
y
x =
− y −1.
4
Это уравнение параболы. Ее график изображен на рисунке 16.
Рис. 16
Задание 13.
а) Изобразить на плоскости график кривой ρ =
16
5−3cosϕ
Решение. Это уравнение кривой второго порядка. Преобразуем его:
16
1 −
5
3
5
.
cos ϕ
3
Здесь
= ε — эксцентриситет. Поскольку ε<1, данная кривая —
5
эллипс. В числителе стоит
ρ =
16
= pε,гдеp — параметр, то есть расстояние
5
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 65
между фокусом эллипса и соответствующей директрисой. Для эллипса
2
)
,
ε
p =
a
ε
− c =
a − c ·ε
ε
a − (a ·ε) · ε
=
a(1 − ε
ε
=
откуда
16
p · ε = a(1 −ε
2
)=
,a=5.
5
√
Соответственно, b = a
1 − ε2=4. Каноническое уравнение эллипса:
2
2
y
x
+
16
=1.
25
Изобразим этот эллипс, помня, что полюс совпадает с его левым фокусом,
а полярная ось перпендикулярна директрисам. Кроме того, учтем, что c =
= a ·ε =3(рис. 17).
4
O
Рис. 17
8
()OM
б) Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих данному уравнению.
Решение.
а) ρ = ϕ.
Заметим, что здесь ϕ 0,потомучтоρ 0. Сравнивая значения ρ при
различных ϕ, получаем кривую, изображенную на рисунке 18.
б) ρ = a, a>0.
Если вспомнить, что ρ — это расстояние от точки до полюса, то легко
понять, что данная кривая — это окружность с центром в начале координат
и радиусом a. Она изображена на рисунке 19.
в) ρ = a sin ϕ, a>0.
Поскольку ρ 0, данной кривой соответствуют значения ϕ ∈ [2πn,π+
+2πn], причем нам достаточно будет рассмотреть отрезок [0; π].Можно
66 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
rp=5/2
rp= /2
rp=3
заметить, что данная кривая симметрична относительно луча ϕ =
rp=
O
O
rp=3/2
rp=7/2
Рис. 18
Рис. 19
2p
4p
a
()OM
()OM
π
ипри
2
данном ϕ радиус ρ достигает наибольшего значения ρ = a. Кроме того, когда ϕ изменяется от 0 до
π
,радиусρ возрастает. Впрочем, исследовав дан-
2
ную кривую более строго, можно доказать, что это окружность (см. рис. 20).
г) ρ =
a
cos ϕ
, a>0.
Если вспомнить, что в декартовой системе координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси
абсцисс — с полярной осью, x = ρ cos ϕ, то легко понять, что нам надо
изобразить прямую, перпендикулярную полярной оси. Эта прямая удалена
от полюса на расстояние a (см. рис. 21).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 67
jp= /2
r=a
O
Рис. 20
a
-
r =
cos j
O
д) ρ =sin3ϕ (трехлепестковая роза).
a
Рис. 21
Поскольку ρ 0, в данном случае ϕ ∈
достаточно будет рассмотреть отрезок0,
π
.Приϕ =
3
гает наибольшего значения ρ =1.Приϕ ∈0,
убывает. Луч ϕ =
π
служит осью симметрии для данного участка кривой.
6
Примерный вид кривой изображен на рисунке 22.
()OM
()OM
πn
π
,
3
3
π
ρ возрастает, затем —
6
πn
,причемнам
+
3
π
радиус ρ дости-
6
68 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
jp=
jp=
2
-
jp=
3
5
-
6
4
-
jp=
3
jp=
O
3
-
2
Рис. 22
jp=
-
3
-
jp=
6
()OM
5
-
jp=
3
Варианты индивидуальных заданий
Работа 1. Комплексные числа
Задание 1. Представить в алгебраической форме.
5
1. а) i
2. а) i
3. а) i
4. а) i
5. а) i
6. а) i
7. а) i
8. а) i
9. а) i
10. а) i
11. а) i
12. а) i
231
170
129
232
121
126
135
136
181
186
211
196
;
; i
; i
;
;
;
;
;
;
;
; i
;
i
−15
−16
i
i
i
i
i
i
i
−18
i
1
10
б)
б)
2 − 17i
3
7
2+i
−
3+i
√
6i в)
+
1+√6i
(3 − i)i
б)
3i − 1
1
11
1
14
1
13
1
16
1
15
1
22
1
21
1
19
2 − i
б)
i +2
3+i
б)
3 − i
(1 + i)(2 + i)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
(2 − i)
(1 − i)(2 − i)
2+i
(2i +3)
i − 1
2+i
3i − 1
2 − i
2+i
3 − 4i
− i
(2 + 3i)(2 − 3i)
+(i −1)
3 − i
+
3+i
2
+(2i − 1)
2+i
+
2 − i
5i
−
2 − i
− i
2
2
+1 в)
(1 − i)
в)
(1 + i)5+1
i − 1
√
πi/2
2e
√
√
3i − 1
в)
12i +2
в) (2 − 2i)
1+i
i − 1
1 − i
1+i
√
30
10
в) (1 + i)
в)−cos
в)
в)
в) (1 + i)8(1 − i√3)
πi
2
1+i
4
· i8(1 + i)
в) (1 − i)
в) e
1 − i
− 1
35
49
1+i
7
1 − i
· (1 −i√3)
π
− i sin
20
3
3
·
(√3 − i)
(√3+i)
10
33
+(1− i)
√
40
3
15
15
π
10
1
17
6
6
10
70 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
13. а) i
14. а) i
15. а) i
16. а) i
17. а) i
200
146
143
152
201
; i
; i
; i
; i
; i
−17
−9
−12
−19
−6
2i − 3
б)
2i +3
(1 + i)
б)
б) (2 −i)2− 4 −
5i
б)
2+i
б)
√
18
2i +3
−
2i − 3
3
− (1 − i)
i
3+4i
+
в)ie
3
в)
7 − i
2+i
i
в)
в)
в)
5 − 2i
18. а) i
19. а) i
20. а) i
210
207
220
; i
; i
; i
−5
−8
−7
(2 + i)
б)
(2 + i)2− (2 − i)
б)
б)
5+i
(1 + i)(2 − 3i)
8i
√
3
− (2 − i)
3
в)
2
в)
в)
7 − i
21. а) i
22. а) i
23. а) i
24. а) i
123
228
221
154
;
;
;
; i
1
i
i
i
−11
8
1
17
1
18
б)
б)
б)
б)
3i
1 −√2i
1+i
(3i − 2)(1 − i)
(5 + i)(2 − i)
i − 1
2
9i
в) (e
в)
в)
в)
2+√5i
25. а) i
26. а) i
27. а) i
в)
160
163
227
; i
; i
;
i +1
1 − i
−13
−14
i
3i − 1
б)
3i +1
1 − i
б)
1 − 2i
1
12
100
б)
(1 + i)(1 − 2i)
π
cos
+ i sin
4
+
−
3+i
π
4
3i +1
3i − 1
1 − i
2+i
в)e
в)
πi
20
−
3
√
1+i
3
1 − i
1000
(1 + i)
998
(1 − i)
√
1+i
2
√
3 − i
− 1 − i
√
3i +1
3
2 − 2i
√
6i +√2
2i
√
2i
−
1 − i
πi
(i√3 − 1))
√
(
3+√3i)
(√3 −√3i)
1+i
√
6+√2i
πi
4
e
− i −√3
−πi
6
(i√3 − 1)
−πi/4
e
3/2 i − 1/√2
· (−i − 1)
30
−8
−12
−4
16
80
20
−21
−20
91
80
40
24
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]