Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по алгебре и геометрии
.pdf
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 111
21. x + y −2z −2=0, x − y + z +2=0.
22. x +5y − z +11=0, x − y +2z −1=0.
23. x − y + z −2=0, x − 2y −z +4=0.
24. 6x − 7y −z −2=0, x +7y − 4z − 5=0.
25. x +5y +2z − 5=0, 2x − 5y − z +5=0.
26. x − 3y + z +2=0, x +3y +2
z +14=0.
27. 2x +3y − 2z +6=0, x − 3y + z +3=0.
28. 3x +4y +3z +1 =0, 2x − 4y −2z +4=0.
29. 3x +3y + z − 1=0, 2x − 3y − 2z +6=0.
30. 6x − 5y +3z +8=0, 6x +5y − 4z +4=0.
Задание 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
1
2
1
− 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
y −3
y −3
y +5
y
0
y −3
y +2
y −2
y −2
y −1
=
=
=
=
− 1
− 4
4
z +3
=
− 1
2
1
0
1
y − 2
0
y − 1
− 1
y +1
0
y − 1
1
z +1
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
, x +2y +3z − 14 = 0.
4
z +1
, x +2y − 5z +20=0=0.
5
z − 1
, x − 3y +7z − 24 = 0.
2
, 2x − y +4z =0.
z − 2
, 3x + y −5z −12 = 0.
0
z − 3
, x +3y − 5z +9=0.
− 2
z +1
, x − 2y +5z +17=0.
− 1
z − 4
, x − 2y +4z − 19 = 0.
1
z +4
, 2x − y +3z +23=0.
− 1
z +3
, 2x − 3y − 5z −7=0.
0
z +2
, 4x +2y − z − 11 = 0.
3
z −1
, 3x − 2y − 4z −8=0.
− 1
z +3
, x +2y − z − 2=0.
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
x − 2
− 1
x +1
3
x − 1
− 1
x − 1
1
x − 5
1
x +1
− 3
x − 1
− 2
x − 1
2
x +2
− 1
x +2
x − 1
x − 1
x +2
112 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
5
3
3
0
5
1
=
1
0
y +2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
z +1
3
=
=
=
=
=
, 5x − y +4z +3=0.
3
z −4
, x +3y +5z −42 = 0.
3
z −4
, 7x + y +4z − 47 = 0.
2
z −1
, 2x +3y +7z −52 = 0.
5
z +3
, 3x +4y +7z −16 = 0.
2
z +4
, 2x − 5y +4z +24=0.
− 1
z +5
, x − 2y − 3z +18=0.
12
z +5
, x +7y +3z +11=0.
0
z −1
, 3x +7y − 5z − 11 = 0.
2
z −6
, 4x + y − 6z −5=0.
− 1
z −8
, 5x +9y +4z −25 = 0.
0
, x +4y +13z − 23 = 0.
z +5
, 3x − 2y +5z − 3=0.
3
z +3
, 3x − y +4z =0.
− 2
z −3
, x +2y − 5z +16=0.
− 2
z +2
, 3x − 7y − 2z +7=0.
− 2
z +5
, 5x +7y +9z −32 = 0.
11
, симметричную точке M относительно
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
x +3
x − 2
x − 3
− 1
x +3
x − 3
x − 5
− 2
x − 1
x − 3
x − 5
− 1
x − 1
x − 3
x +1
− 2
x − 1
x − 2
x − 1
x − 1
x +3
x − 2
=
1
2
2
2
8
1
7
1
6
4
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
− 5
y − 2
− 1
y − 4
y − 1
y +1
y − 2
y − 8
− 5
y − 1
− 1
y +3
y − 2
y +2
− 1
y
0
y − 3
y − 1
− 3
y +2
− 5
y − 3
y − 2
− 3
Задание 10. Найти точку M
прямой (для вариантов 1–15) или плоскости (для вариантов 16–30).
1. M(0, −3, −2),
x − 1
y +1, 5
=
1
− 1
z
=
.
1
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 113
y +1, 5
=
y +1, 5
1
=
=
5
y − 1, 5
=
0
y +3
=
− 0, 5
− 1
y +1, 5
− 1
y − 1, 5
=
− 1
=
y − 1, 5
0
y
− 1
y − 3, 5
=
0
y +0, 7
=
y +0, 5
=
y − 1
=
=
=
z −1
=
=
2
z +0, 5
=
y +1, 5
0
=
z −2
=
4
=
− 0, 2
0
0
y +1, 5
− 1
z −2
1
z −1, 5
=
1
=
z − 2
1
=
z −3
1
=
=
z −4
=
1
.
1
z
.
0
z − 0, 5
1
.
z +0, 5
z −2
z +1, 5
2
=
2. M(2, −1, 1),
3. M(1, 1, 1),
4. M(1, 2, 3),
5. M(1, 0, −1),
6. M(2, 1, 0),
x − 4, 5
x − 2
x − 0, 5
x − 3, 5
x − 2
7. M(−2, −3, 0),
8. M(−1, 0, −1),
9. M(0, 2, 1),
x − 1, 5
10. M(3, −3, −1),
11. M(3, 3, 3),
x − 1
12. M(−1, 2, 0),
13. M(2, −2, −3),
14. M(−1, 0, 1),
15. M(0, −3, −2),
1
=
1
0
2
=
0
x +0, 5
x
− 1
2
x − 6
− 1
x +0, 5
1
x − 1
− 1
x +0, 5
0
x − 0, 5
16. M(1, 0, 1), 4x +6y +4z −25 = 0.
17. M(−1, 0, −1), 2x +6y −2z +11=0.
18. M(0, 2, 1), 2x +4y −3=0.
19. M(2, 1, 0), y + z +2=0.
20. M(−1, 2, 0), 4x − 5y − z − 7=0.
21. M(2, −1, 1), x − y +2z
− 2=0.
22. M(1, 1, 1), x +4y +3z +5=0.
23. M(1, 2, 3), 2x +10y +10z −1=0.
24. M(0, −3, −2), 2x +10y +10z −1=0.
25. M(1, 0, −1), 2y +4z −1=0.
.
.
.
1
.
0
.
.
2
0
.
z −1, 5
1
.
.
.
.
114 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
26. M(3, −3, −1), 2x − 4y − 4z − 13 = 0.
27. M(−2, −3, 0), x +5y +4=0.
28. M(2, −2, −3), y + z +2=0.
29. M(−1, 0, 1), 2x +4y − 3=0.
30. M(3, 3, 3), 8x +6y +8z −25 = 0.
Задание 11. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
2
1. −x
2. 2x
− y2+4xy +2x − 4y +1=0.
2
+2y2− 2xy −2x − 2y +1=0.
3. 4xy +4x − 4y =0.
2
4. −2x
5. −3x
− 2y2+2xy − 6x +6y +3=0.
2
− 3y2+4xy − 6x +4y +2=0.
6. −2xy −2x − 2y +1=0.
2
7. −x
8. −4x
− y2− 4xy −4x − 2y +2=0.
2
− 4y2+2xy +10x −10y +1=0.
9. 4xy +4x − 4y − 2=0.
2
+ y2+2xy − 8x −8y +1=0.
10. x
2
11. x
+ y2+4xy − 8x −4y +1=0.
2
+ y2− 2xy −2x +2y − 7=0.
12. x
13. 2xy +2x +2y −3=0.
2
14. 4x
15. 3x
16. x
17. 3x
+4y2+2xy +12x +12y +1=0.
2
+3y2+4xy +8x +12y +1=0.
2
+ y2− 8xy −20x +20y +1=0.
2
+3y2− 2xy −6x +2y +1=0.
18. 4xy +4x +4y +1=0.
2
19. 3x
+3y2− 4xy +6x −4y −7=0.
20. −4xy −4x +4y +6=0.
2
21. 5x
22. 2x
23. −x
24. 2x
25. 3x
+5y2− 2xy +10x − 2y +1=0.
2
+2y2+4xy +8x +8y +1=0.
2
− y2+2xy +2x − 2y +1=0.
2
+2y2− 4xy −8x +8y +1=0.
2
+3y2+2xy −12x − 4y +1=0.
26. −4xy +8x +8y +1=0.
2
27. 2x
28. x
+2y2− 2xy +6x −6y −6=0.
2
+ y2+4xy +4x +2y − 5=0.
29. 4xy +4x − 4y +4=0.
2
30. 3x
+3y2− 4xy +4x +4y +1=0.
Задание 12. Найти и изобразить геометрическое место точек, у которых
отношение расстояний до точки F идопрямойl постоянно и равно ε.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 115
√
1. F(2; 0); l : x =3; ε =
6
3
2. F(−1; −2); l : x = −3; ε =1;
3. F(−1; 0); l : x = −9; ε =
1
;
3
4. F(3; 3); l : y = −2; ε =1;
5. F(−3; 2); l : x =2; ε =1;
6. F(−4; 5); l : x = −8; ε =0, 75;
7. F(−1; 0); l : x = −4; ε =
1
;
2
8. F(1; 0); l : y =3; ε =1;
4
9. F(2; 0); l :2x +5=0; ε =
10. F (7; 0); l : x =1; ε =
11. F (2; 0); l : x =4, 5; ε =
12. F (2; 0); l : x =
1
; ε =2;
2
√
;
5
7;
2
;
3
13. F (3; 0); l : x =12; ε =0, 5;
14. F (0; 2); l : y =4; ε =1;
15. F (2; 6); l : y +2=0; ε =1;
1
16. F (0; −1); l : y = −9; ε =
;
3
17. F (2; 5); l : y =1; ε =1;
18. F (0; −1); l : y = −4; ε =
1
;
2
19. F (3; −4); l : y =2; ε =1;
20. F (0; 2); l :2y −9=0; ε =
2
;
3
21. F (−4; 3); l : y = −1; ε =1;
22. F (3; 0); l : x =2; ε =3;
23. F (2; 0); l :5x +8=0; ε =
5
;
4
24. F (6; 0); l : x =1, 5; ε =2;
25. F (−2; −3); l : y = −1; ε =1;
26. F (0; 2); l : y = −2, 5; ε =
4
;
5
27. F (1; −1); l : y =3; ε =1;
28. F (1; 0); l : x =4; ε =
29. F (−2; 0); l : x = −3; ε =
1
2
;
2
3
30. F (2; 0); l : x =0; ε =1.
;
;
116 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задание 13. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворя-
ющих данному уравнению (при выполнении заданий считать, что ρ 0).
ϕ
2π
, ϕ>0
1. а) ρ =
2
1 − cos ϕ
б) ρ =2
(логарифмическая спираль)
2. а) ρ =
3. а) ρ =
1
3 − 5cosϕ
3
2 − 2cosϕ
б) ρ =
б) ρ =2
2ϕ
(спираль Архимеда)
π
ϕ
2π
, ϕ<0
(логарифмическая спираль)
4. а) ρ =
5. а) ρ =
6. а) ρ =
7. а) ρ =
8. а) ρ =
9. а) ρ =
10. а) ρ =
11. а) ρ =
12. а) ρ =
13. а) ρ =
14. а) ρ =
15. а) ρ =
16. а) ρ =
17. а) ρ =
18. а) ρ =
1
2 − 3cosϕ
1
2
1 − 2cosϕ
4
3 − 3cosϕ
0, 5
1 − cos ϕ
1
3 − 4cosϕ
√
2
1 − cos ϕ
1
2 − cos ϕ
1
√
2 −√2cosϕ
1
3 − cos ϕ
1
3 − 3cosϕ
1
1 − 2cos(−ϕ)
1
2 − 5cosϕ
√
3
2 − 2cosϕ
1
1 −√2cosϕ
√
3
1 − cos ϕ
б) ρ =
б) ρ =sin(2ϕ −
б) ρ =cos(2ϕ −
б) ρ = −sin(2ϕ) (двухлепестковая роза)
б) ρ = −cos(2ϕ) (двухлепестковая роза)
б) ρ =sin(
б) ρ =cos(
б) ρ =sin(π +3ϕ) (трехлепестковая роза)
б) ρ =cos(π +3ϕ) (трехлепестковая роза)
б) ρ = |sin(2ϕ)| (четырехлепестковая роза)
б) ρ = |cos(2ϕ)| (четырехлепестковая роза)
б) ρ =2sin(π −ϕ) (окружность)
б) ρ =3cos(π −ϕ) (окружность)
б) ρ =
б) ρ =
− ϕ
(спираль Архимеда)
2π
π
) (двухлепестковая роза)
2
π
) (двухлепестковая роза)
2
π
− 3ϕ) (трехлепестковая роза)
2
π
− 3ϕ) (трехлепестковая роза)
2
2
3
(прямая)
(прямая)
sin(ϕ − π)
cos(ϕ + π)
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 117
19. а) ρ =
20. а) ρ =
21. а) ρ =
22. а) ρ =
23. а) ρ =
24. а) ρ =
25. а) ρ =
26. а) ρ =
27. а) ρ =
28. а) ρ =
29. а) ρ =
30. а) ρ =
1
1 −√3cosϕ
1
2 − 2cos(−ϕ)
2
1 − 2cosϕ
2
3 − 2cosϕ
2
3 − cos ϕ
1
4 − cos ϕ
2
2 − 3cosϕ
1
3
1 − cos(−ϕ)
2
3 − 4cosϕ
1
√
3 −√3cosϕ
2
1+cos(π −ϕ)
2
2 − 5cosϕ
б) ρ = |
б) ρ = |
б) ρ =
б) ρ =
б) ρ =
б) ρ =
1
| (пара прямых)
sin ϕ
1
| (пара прямых)
cos ϕ
1
cos(ϕ −
sin(ϕ −
cos(ϕ −
sin(ϕ −
π
6
1
π
6
1
π
4
1
π
4
(прямая)
)
(прямая)
)
(прямая)
)
(прямая)
)
б) ρ =1+sin(2ϕ)
(перейти к половинному углу)
б) ρ =1+cos(2ϕ)
(перейти к половинному углу)
б) ρ =1+sin(3ϕ)
(перейти к половинному углу)
б) ρ =1+cos(3ϕ)
(перейти к половинному углу)
б) ρ =1+cosϕ
(перейти к половинному углу)
б) ρ =1−cos ϕ
(перейти к половинному углу).
Приложение. Некоторые теоретические
сведения и формулы
1. Комплексные числа
1.1. Комплексное число в алгебраической форме записи имеет вид z =
= a+bi,гдеa, b — действительные числа, а i — мнимая единица, обладающая
тем свойством, что i
и мнимой частью числа z соответственно:
Множество всех комплексных чисел обозначают C. Основные арифметические действия с комплексными числами можно производить по обычным
правилам, заменяя при необходимости i
Если z = a + bi,точисло
женным кчислуz.Посколькуz ·
комплексных чисел принято домножать делимое и делитель на число, сопряженное делителю:
1.2. Комплексное число z = a + bi изображается на комплексной плос-
кости как точка M (a, b) или вектор
Длина вектора
= |z|. Угол, образованный вектором
действительной оси, называется аргументом числа z и обозначается ϕ =
=Argz. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до пе-
риода 2π.Учислаz =0аргумент не определен, а модуль равен нулю.
Справедливы соотношения:
Arg z = ϕ =
2
= −1.Числаa и b называются действительной
a =Rez, b =Imz. (1.1)
2
на −1.
z = a −bi называется (комплексно) сопря-
z — число действительное, при делении
z
z
1
1·z2
=
z
2
z2·z
.
2
OM(a, b) (см. рис. 23).
OM называется модулем числа z. Она обозначается r =
OM и положительным направлением
⎧
⎪
⎨
arctg
⎪
⎩
π +arctg
|z| = r =
b
(+2πn) вIиIVчетв.
a
b
a
a2+ b2,
(+2πn) вo II и IV четв.,n∈ Z.
(1.2)
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 119
Мнимая ось
bi
i
O
M
r
j
1
Действительная ось
a
Рис. 23
Наоборот,
a = r cos ϕ,
b = r sin ϕ.
(1.3)
1.3. Комплексное число в тригонометрической форме записи имеет вид
z = r(cos ϕ + i sinϕ), (1.4)
где r = |z|, ϕ =Argz. Справедливы следующие формулы:
= r1· r2(cos(ϕ1+ ϕ2)+i sin(ϕ1+ ϕ2));
z
1z2
z
r
1
1
=
(cos(ϕ1− ϕ2)+i sin(ϕ1− ϕ2));
r
2
n
z
= rn(cos nϕ + i sin nϕ),n∈ Z;
ϕ +2πk
+ i sin
n
3
k =0, 1, 2 ...n− 1,n∈ N.
n
,
√
z
2
√
n
n
z =
rcos
ϕ +2πk
(1.5)
Таким образом, существует ровно n различных корней степени n из числа z.
Соответствующие им точки лежат в вершинах правильного n-угольника.
1.4. При решении уравнений, содержащих комплексные числа, полезно
знать, что эквивалентны следующие системы:
a
= a
1
= z2⇐⇒
z
1
r
= r
z
= z2=0⇐⇒
1
3
Последние два равенства принято называть формулами Муавра.
1
ϕ1= ϕ2+2πn, n ∈Z.
b1= b2;
2
2
(1.6)
120 ПРИЛОЖЕНИЕ
1.5. Корни n-й степени из единицы обозначаются εk, k =0, 1, 2,...n−
− 1, и имеют вид
ε
k
=cos
2πk
n
+ i sin
2πk
. (1.7)
n
Число ε
1) ε
2) для всех натуральных m, 0 <m<n, ε
называется первообразным корнем степени n из единицы, если
k
n
=1,
k
m
=1.
k
Число ε
=cos
k
2πk
n
+ i sin
2πk
будет первообразным корнем степе-
n
ни n из единицы тогда и только тогда, когда числа k и n взаимно
просты (дробь
k
дроби
1
n
1
k
n
,тоεk— первообразный корень степени n1.
1.6. Круговой многочлен X
X
где ε
,ε
...ε
i
i
1
2
— все первообразные корни степени n из единицы.
i
m
несократима). Если же дробь
(t) — это произведение вида
n
(t)=(t − ε
n
)(t − ε
i
1
) ...(t − ε
i
2
k
равна несократимой
n
), (1.8)
i
m
2. Целые числа
2.1. Для любых двух целых чисел a и b (b =0) можно единственным
образом подобрать такие целые числа q и r,чтобы
1) a = b · q + r,
2) 0 r<|b|.
(2.1)
Число q называется неполным частным,ачислоr — остатком от деления
числа a на число b. Если остаток r =0, то говорят, что a (нацело) делится
.
.
на b (a
.b)илиb делит a (b\a).
Число d называется наибольшим общим делителем чисел a и b (d =
= НОД(a, b)), если d делит оба эти числа и делится на любой другой их
общий делитель. Если НОД(a,b)=1,точислаa и b называются взаимно
простыми. У любых двух отличных от нуля целых чисел можно единственным образом (с точностью до знака) найти наибольший общий делитель.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]