Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Руководство к решению задач по алгебре и геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 31

Итак, A

∼

−1

⎛

10 0 0

⎝

010 001

⎛

3 −2 − 4

⎝

−9613

30 −20 −40

⎞

−9613

⎠

∼

−7510

⎞

⎠

. Сделаем проверку:

⎛

100

⎝

010 001

3 −2 − 4

−9613

−7510

⎞

⎠

−7510

A · A

⎛

15 − 0 −14 −10+0+10 −20+0+20

⎝

3+18−21 −2 −12 + 15 −4 − 26 + 30

9 − 9 −0 −6+6+0 −12 + 13 + 0

Теперь найдем X

Тогда

−1

= A−1·

⎛

502

⎝

1 −23

310

⎞

⎛

⎠

⎝

−3

⎛

24 + 6 − 28

⎝

−72 − 18 + 91

−56 − 15 + 70

⎛

⎝

X =

⎞

⎛

⎠

⎝

⎛

3 −2 − 4

⎝

−9613

−7510

⎞

⎠

⎞

⎠

=(2, 1, −1).

3 −2 − 4

⎞

−9613

⎠

−7510

⎞

⎛

100

⎠

⎝

010

001

⎞

⎛

⎠

⎝

−3

⎛

⎞

⎝

⎠

−1

⎞

⎠

= E.

⎞

⎠

−1

б) Перепишем данное уравнение в виде системы линейных уравнений. Пусть матрица X имеет размеры m × n. Мы умножаем X слева на квадратную матрицу 3 × 3,поэтомуn =3, а произведение имеет размеры m ×3,

⎛

⎞

⎠

⎝

−3

или, после транспонирования, 3 ×m.Столбец

имеет размеры 3 × 1,

поэтому m =1.Итак,X — вектор-строка, содержащая три координаты. Обозначим X =(x; y; z).Тогда

⎛

513

⎝

0 −21

X ·

230

⎞

⎠

=(x, y, z) ·

⎛

513

⎝

0 −21 230

⎞

⎠

=(5x +2z, x−2y +3z, 3x+ y)

32 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Транспонируя, переписываем исходное уравнение в виде

⎛

5x +2z

⎝

x − 2y +3z

3x + y

⎞

⎠

⎛

⎞

⎝

⎠

−3

то есть

⎧

5x +2z =8

⎪

⎨

x − 2y +3z = −3

⎪

⎩

3x + y =7.

Решим эту систему уравнений методом Крамера.

Δ=

 

502

 

1 −23

 

310

   

= −1 =0,

 

то есть наша система имеет единственное решение.

   

=0−6+0−(−26 + 24 −0) = −2,

 

   

=0+14+72−(−18 + 105 + 0) = −1,

 

   

= −70+8+0− (−48 − 15 + 0) = 1.

 

802

 

−3 −23

 

710

 

582

 

1 −33

 

370

 

508

 

1 −2 − 3

 

317

Отсюда

x =

=2,y=

=1,z=

= −1.

Сравнивая эти числа с координатами вектора X, найденного в пункте а), убеждаемся, что ответы совпадают.

Задание 3.

а) Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на данные системы векторов.

б) Найти базис ортогонального дополнения к сумме P и Q.

P : (0, 1, 3, 2, −1); (−1, 1, 1, 1, 1); (1, 0, 2, −1, 0); (1, 0, 2, 1, −2), Q: (0, 1, 3, 0, 1); (1, 0, 0, 0, 3); (0, 1, 3, 2, −1).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 33

Решение. а) Пусть пространство P — это линейная оболочка системы векторов

p1=(0, 1, 3, 2, −1), p2=(−1, 1, 1, 1, 1), p3=(1, 0, 2, −1, 0), p4=(1, 0, 2, 1, −2).

Пространство Q — линейная оболочка системы векторов

q1=(0, 1, 3, 0, 1), q2=(1, 0, 0, 0, 3), q3=(0, 1, 3, 2, −1).

Для начала найдем базисы пространств P и Q.Дляэтогосоставимматрицу из координат порождающих векторов и приведем ее к ступенчатому виду. Для пространства P :

⎛

102−10 102 1−2

⎜ ⎝

−11111 013 2−1

⎞

⎟ ⎠



(−1)

⎛

102−10 000 2−2

⎜

∼

⎝

013 0 1 013 2−1

⎞

⎟ ⎠



(−1)

⎛

102−10 013 2−1

⎜

∼

⎝

000 2−2 000 2−2

⎞

⎟ ⎠

Итак, один из четырех векторов оказался лишним, размерность P (совпадающая с рангом полученной матрицы) равна 3.

Для пространства Q:

⎛

0130 1

⎝

1000 3 0132−1

⎞

⎠

⎛

1000 3



⎝

0130 1

∼

0132−1

⎞

⎠



(−1)

⎛

100 03

⎝

013 01

∼

000−22

⎞

⎠

Первый, второй и четвертый столбцы этой матрицы образуют невырожденный минор третьего порядка, так что dim Q =3. Заметим, что строки по- лучившихся матриц можно принять за базисы P и Q соответственно. Пространство P + Q — линейная оболочка системы шести векторов, составляющих базис P ибазисQ.ИщембазисP + Q.

⎛

102−10

⎜

013 0 1

⎜

000−22

⎜ ⎜

100 0 3

⎜ ⎝

013 0 1 000 2−2

⎛

10 2−10 01 3 01

⎜

∼

⎝

00 0−22 00−213

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠



(−1)

⎞

⎟ ⎠

⎛

10 2−10

⎜

01 3 01

⎜

00 0−22

⎜

∼

⎜

00−213

⎜ ⎝

01 3 01 00 0 00

⎛

10 2−10 01 3 01

⎜

∼

⎝

00−213



00 0−22

⎞

⎟ ⎠

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∼

34 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Строки полученной матрицы образуют базис P + Q, ранг матрицы равен 4, то есть dim(P + Q)=4.

Чтобы найти размерность и базис P ∩ Q, запишем P и Q как множества решений некоторой системы линейных уравнений. Пусть a =(x, y, z, t, s) — произвольный вектор. Если a ∈ P ,тоa — линейная комбинация векторов, образующих базис P . Это означает, что если выписать координаты базисных векторов как столбцы некоторой матрицы, то ранг этой матрицы не изменится от добавления нового столбца — координат вектора

a. Например, для векторов p2, p3и p

⎛

−110x

101y

⎜ ⎜

123z

⎜ ⎝

1 −12t

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

−110

⎜ ⎜

= r

⎜ ⎝

10−1 s

⎞

101 123 1 −12

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

10−1

=3.

Преобразуем эту матрицу:

⎛

−110x

101y

⎜ ⎜

123z

⎜ ⎝

1 −12t 10−1 s

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

−11 0x

01 1x + y

⎜ ⎜

03 3x + z

∼

⎜ ⎝

00 2x + t 01−1 x + s

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∼

⎛

−11 0x

01 1x + y

⎜ ⎜

00 0z + x − 3(x + y)

∼

⎜ ⎝

00 2x + t 00−2 x + s −(x + y)

∼

⎛

−110x

011x + y

⎜ ⎜

002x + t

⎜ ⎝

000z −2x

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

−11 0x

01 1x + y

⎜ ⎜

00 0z −2x − 3y

∼

⎜ ⎝

00 2x + t 00−2 s − y

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

− 3y

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∼

000s − y + t + x

Ранг этой матрицы равен 3, если две последние строчки нулевые. Итак, вектор системе уравнений:

a ∈ P тогда и только тогда, когда его координаты удовлетворяют



z −2x −3y =0 s − y + t + x =0.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 35

Это и есть система уравнений, решением которой является пространство P . (Заметим, что у нас 5 переменных и два независимых уравнения, поэтому размерность пространства решений равна трем.) Аналогично найдем систему уравнений для Q:

⎛

10 0x 01 1y

⎜ ⎜

03 3z

⎜ ⎝

00 2 t 31−1 s

⎛

10 0x 01 1y

⎜ ⎜

00 0z −3y

∼

⎜ ⎝

00 2t 00−2 s − 3x −y

∼

⎞

⎛

⎟

⎜

⎟

⎜

∼

⎟

⎜

⎠

⎝

⎞

⎟ ⎟

∼

⎟ ⎠

⎛

100x 011y

⎜ ⎜

002t

⎜ ⎝

000z −3y

10 0x 01 1y 03 3z 00 2t

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

01−1 s − 3x

⎛

100x 011y

⎜ ⎜

000z −3y

⎜ ⎝

002

000s − 3x −y + t

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

∼

⎞

⎟ ⎟

∼

⎟ ⎠

000s − 3x −y + t

Искомая система имеет вид:



z −3y =0 s − 3x − y + t =0.

Вектор из P ∩ Q должен удовлетворять обеим системам уравнений, поэтому P ∩ Q — это множество решений системы

⎧

z −2x −3y =0

⎪

⎨

s − y + t + x =0

⎪

z −3y =0

⎪

⎩

3x − y + t =0.

s −

Решим эту систему методом Гаусса:

⎛

−2 −3100 1 −1011

⎜ ⎝

0 −3100

−3 −1011

⎞

⎟ ⎠

⎛

10000

⎝

0 −10 1 1

∼

001−3 −3

⎞

⎠

36 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Первые три столбца полученной матрицы образуют невырожденный минор третьего порядка, поэтому в качестве свободных переменных можно взять t и s:

⎧

x =0

⎪

⎨

− y = −t −s

⎪

⎩

z =3t +3s

или

⎧

x =0

⎪

⎨

y = t + s

⎪

⎩

z =3t +3s.

Полагая t =1, s =0,азатемt =0, s =1, получаем фундаментальную систему решений, которая и будет базисом P ∩ Q:

⎞

⎛

0 1

⎟

⎜

⎟

⎜

⎜ ⎝

⎟ ⎠

⎞

⎛

0 1

⎟

⎜

⎟

⎜

⎜ ⎝

⎟ ⎠

Итак, dim P ∩ Q =2.

Проверим, выполняется ли равенство:

dim(P + Q)=dimP +dimQ − dim P ∩ Q.

Имеем

4=3+3− 2,

так что равенство выполняется.

б) Найдем базис (P + Q) Если

a ∈ (P + Q)⊥,товекторa ортогонален всем векторам, образую-

щим базис P + Q.Если системе

⊥

a =(x, y, z, t, s), то координаты a удовлетворяют

⎧

x +2z − t =0

⎪

⎨

y +3z + s =0

⎪

−2z + t +3s =0

⎪

⎩

−2t +2s =0.

Матрица этой системы уже имеет трапециевидный вид:

⎛

10 2−10 01 3 01

⎜ ⎝

00−213

⎞

⎟ ⎠

00 0−22

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 37

Первые четыре столбца образуют невырожденный минор четвертого порядка, поэтому в качестве свободной переменной можно взять s:

⇔

⎧

x +2z − s =0

⎪

⎨

y +3z = −s

⎪

−2z + s = −3s

⎪

⎩

⎧

x =

⎪

⎨

: a =

y = −7s

⎪

z =2s

⎪

⎩

t = s.

⎛

−3

−7

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⇔

⊥

t = s

−3s

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

⇔

⎧

x +2z − t =0

⎪

⎨

y +3z = −s

⎪

−2z + t = −3s

⎪

⎩

−2t = −2s

⎧

x +2z = s

⎪

⎨

y +3z = −s

⇔

⎪

⎩

z =2s

t = s

Полагая s =1, получаем базис (P + Q)

Итак, dim(P + Q)

⊥

=1и равенство dim(P + Q)+dim(P + Q)⊥=5

выполняется.

Задание 4. Найти какой-нибудь базис и определить размерность про-

странства решений системы.

⎧

− x2+ x3− 2x4+ x5=0

⎪

⎨

+ x2− 2x3− x4+2x5=0

⎪

⎩

− 3x2+4x3− 3x4=0.

Решение. Запишем матрицу этой системы и приведем ее к трапецие-

видному виду:

⎛

1 −11−21

⎝

11−2 −12 1 −34−30

⎞

⎛

1 −11−21

⎠

⎝

02−311

∼

0 −23−1 −1

⎞

⎛

1 −11−21

⎠

⎝

02−311

∼

00000

⎞

⎠

Ранг этой матрицы равен 2, причем первые два столбца образуют невырожденный минор второго порядка. Поэтому в качестве свободных переменных можно взять x



− x2= −x3+2x4− x

2x2=3x3− x4− x5,

3,x4

и x5.



=0, 5x3+1, 5x4− 1, 5x

x2=1, 5x3− 0, 5x4− 0, 5x5.

38 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Полагая x3=2, x4= x5=0,затемx4=2, x3= x5=0 и x5=2,

= x4=0, находим фундаментальную систему решений:

⎞

⎛

1 3

⎟

⎜

⎟

⎜

⎜ ⎝

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

−1

⎟ ⎟

⎟ ⎠

2 0

⎞

⎛

−3

−1

⎟

⎜

⎟

⎜

⎝

⎟ ⎠

0 2

Это и будет базис пространства решений. Таким образом, пространство решений этой системы трехмерно. Общее решение имеет вид:

⎛

⎞

1 3

⎜

⎟

⎜

⎟

X = c

⎜

⎟

⎝

⎠

0 0

Задание 5. Найти координаты вектора x вбазисе(e

задан в базисе (e

1,e2,e3

⎧ ⎪

⎨

⎪

⎩

Решение. Составим матрицу перехода C от базиса e



су e

, считая, что столбцы этой матрицы — это координаты нового



= e1+ e2+11e



e1− e



= −e1+ e2+ e3,

базиса в старом.

C =

⎛

−1

⎜ ⎜

+ c

⎜

⎝

2 0

⎛

⎜ ⎝

1 −11

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

−1

+ c

X =

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎞

−3

−1

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎝

⎟ ⎠

0 2



),еслион

⎛

⎞

⎝

⎠

1,e2,e3

кбази-

11 0 1

Обозначим через Y вектор-столбец, составленный из координат вектора в новом базисе. Тогда

X = CY,

где X — столбец из координат x в старом базисе. Обозначая координаты Y как y

и y3, получаем систему уравнений

1,y2

⎧ ⎪

⎪

1=y

⎨

10 = y1− y2+ y

⎪

⎩

10 = 11y1+ y3.

− y

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 39

Решая эту систему, находим

=11,y2= −110,y3= −111.

⎛

⎞

Итак, в новом базисе вектор

x имеет координаты

⎝

−110

⎠

−111

Задание 6. Являются ли линейными следующие преобразования:

x =(x

,x1− x3,x2+ x3),

x =(x1+2,x1+ x2,x3), x =(x1,x1− x3,x2+ x3),

где x =(x

1,x2,x3







Решение.



а) Преобразование



Найдем



(αx+βy)=((αx1+βy1)2,αx1+βy1−αx3−βy3,αx2+βy2+αx3+βy3).

(αx + βy),гдеx =(x1,x2,x3), y =(y1,y2,y3).

линейно, если



(αx + βy)=α ·x + β ·y.

(На первом месте стоит квадрат первой координаты вектора αx + βy,на втором — разность первой и третьей координат, на третьем — сумма второй и третьей координат вектора αx + βy.) В то же время



x + βy = α(x

=(αx

Как видим, α

+ βy



x+ βy =(αx+ βy),таккакαx

,x1− x3,x2+ x3)+β(y

,αx1+ βy1− αx3− βy3,αx2+ βy2+ αx3+ βy3).

Следовательно, преобразование



не является линейным.

,y1− y3,y2+ y3)=

+ βy

=(αx1+ βy1)2.

б) Находим



(αx + βy)=(αx1+ βy1+2,αx1+ βy1+ αx2+ βy2,αx3+ βy3).

Втожевремя



(x)+β(y)=α(x1+2,x1+ x2,x3)+β(y1+2,y1+ y2,y3)=

=(αx

+ βy1+2α +2β,αx1+ βy1+ αx2+ βy2,αx3+ βy3).

40 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Мы видим, что



(αx + βy) = α ·(x)+β ·(y),



потому что 2α +2β =2не для всех α и β. Преобразование

не линейно.

в) Как и в предыдущих случаях, находим



(αx + βy)=(αx1+ βy1,αx1+ βy1−αx3−βy3,αx2+ βy2+ αx3+ βy3)



(x)+β ·(y)=α(x1,x1− x3,x2+ x3)+β(y1,y1− y3,y2+ y3)=

α ·

=(αx

+ βy1,αx1+ βy1− αx3− βy3,αx2+ βy2+ αx3+ βy3).

Как видим, на сей раз



(αx + βy)=α ·(x)+β ·(y)



и преобразование

Задание 7. Пусть x =(x



x =(x2, 2x3,x1).Найти((2+))x.

линейно.

1,x2,x3

),x =(x2− x3,x1,x1+ x3),

Решение. Напишем матрицу A, соответствующую преобразованию

⎛

⎞

01−1

A =

⎝

10 0

⎠

10 1



Мы учли, что

⎛

01−1

⎝

10 0 10 1

⎞⎠⎛

⎝

⎞

⎠

Аналогично, линейному преобразованию

⎛

010

⎝

002

B =

100

Найдем B(2A + B).

⎛

01−1

⎝

2A + B =2·

10 0 10 1

− x

⎞

⎠

⎛

⎝

x1+ x +3



соответствует матрица B:

⎞

⎠

⎞

⎛

⎞

010

⎠

⎝

002

⎠

100

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]