Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Протоколы защищенных вычислений на основе линейных схем разделения секрета. Учебное пособие
.pdf
4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ
Лемма 14.
Пусть
ckk-ûé ýëåìåíò векторà
[s; bs]Ω[ˆs; bˆs]Ω, тогда
существуют фиксированные индексыu,
v(∈ [d])
, ÷òî
ck= suˆsv, ãäå
su
u
-àÿ êîмпонентà векторà
[s; bs]Ω,
ˆsvv-àÿ êîмпонентà векторà
[ˆs; bˆs]Ω,
ïðè ýòîì˜ψ(k) = ψ(u) = ψ(v)
.
Упражнение 40.
Докажите ëåììó 14.
Замечание 18.
Åñëè
|ψ−1(i)| = 1
äëÿ каждого
i ∈ [n]
, òî
[s; bs]Ω [ˆs; bˆs]Ω= [s; bs]Ω? [ˆs; bˆs]Ω.
Òàê êàê
[s; bs]Ω= Mb
T
s
, òî
[s; bs]Ω⊗ [ˆs; bˆs]Ω= (Mb
T
s
) ⊗ (M b
T
ˆs
) =
= (M ⊗ M)(bs⊗ bˆs)T= [sˆs; bs⊗ bˆs]
Ω
⊗
,
ãäå
Ω⊗
некоторàÿ
ËÑÐÑ íà основе монотонной ïîðîæäàþùåé программы
ñ матрицей
M ⊗ M
. Отметим, ÷òî â ËÑÐÑ íà основе монотонной ïîðîæ-
дающей программы˜M
ñ матрицей˜M
äîëÿi-îãî участникà ìîæåò áûòü
представлена â âèäå:
([s; bs]Ω⊗ [ˆs; bˆs]Ω)|
{˜ψ−1(i)}
= (M({i}) ⊗ M ({i}))(bs⊗ bˆs)T.
(4.12)
Òàêèì образом, åñëè
xs(i) = (x
s
a
)
a∈ψ−1(i)
è
xˆs(i) = (x
ˆs
a
)
a∈ψ−1(i)
äîëèi-îãî
участникà, соответствующие секретàì
s, ˆs(∈ Fq)
â ðàìêàõ ñõåìûΩ, òî ïî
ýòèì долям участникiìîæåò найти вектор
xs(i) ⊗ xˆs(i) = (x
s
a
x
ˆs
ˆa
: a, ˆa ∈ ψ−1(i)).
(4.13)
Заметим, ÷òî вектор (4.13) ÿâëÿåòñÿ
частью
вектора долей, соответствую-
ùåãî секрету
sˆs
â ðàìêàõ ËÑÐÑ
Ω⊗. Èç (4.12) è (4.13) вытекàåò равенство
xs(i) ⊗ xˆs(i) = ([s; bs]Ω⊗ [ˆs; bˆs]Ω)|
{˜ψ−1(i)}
.
Упражнение 41.
ПустьΩ произвольная ËÑÐÑ, построенная íà
основе порождающей прогрàììûMñ матрицейM, à˜Ω
ËÑÐÑ, постро-
енная íà основе порождающей прогрàììû˜M
ñ матрицей˜M
âèäà
(4.8)
.
Докажите, ÷òî
[s; bs]Ω [s;bˆs]Ω= [sˆs; bs⊗ bˆs]
˜
Ω
.
(4.14)
Отметим, ÷òî
A(Ω) ⊆ A(˜Ω)
, òàê êàê любая êоалицияAìîæåò вычис-
ëèòü ïîдвектор
[sˆs; bs⊗ bˆs]|
ψ−1(A)
после òîãî, êàê çíàчения долей секретов
sèˆs
распределены. Åñëè êоалицияAìîæåò найти
sˆs
íà основе этого ïîä-
вектора, òî ýòà êоалиция получает íåíóлевую информацию î çíàченияхsè
ˆs
, ÷åãî íå ìîæåò áûòü â случае, êîãäà
A ∈ A(Ω)
.
81
Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений
Определение 45.
Åñëè
P ∈ Γ(˜Ω)
, òî говорят, ÷òî ñõåìàΩîáëадает
свойствоì
мультипликативности
. Åñëè
Γ(˜Ω)
содержит äîïîëíåíèå
äëÿ каждого множестваAèç
A(Ω)
, òî говорят, ÷òî ñõåìàΩîáëадает
свойствоì
строгой мультипликативности
.
Запись
P ∈ Γ(˜Ω)
îçíà÷àåò, ÷òî вектор
e ⊗ e
принадлежит линейной
оболочкå, íàòянутой íà
âñå
строки матрицы˜M
.
Замечание 19.
Определенная ÑÐÑΩñ умножениеì является îáîá-
щениеì ñõåìû ñ умножениеì, ðàññмотренной â ðàçäåëå 3.5., òàê êàê здесь
äîëè участников могут áûòü векторàìè íàä ïîëåì
F
q
, à íå òîëüêî ýëå-
ментами ïîëÿ (êàê â ñлучае, ðàññмотренноì â ðàçäåëå 3.5.).
ÅñëèΩобладает свойством ìóëüтипликативности, òî äëÿ êоалиции
P = [n]
существуåò вектор ðåêонструкцииy(ñì. замечание 6), äëÿ êоторого
выполняетсÿ равенство
(y, [s; bs]Ω [s;bˆs]Ω) = (y, [bs⊗ bˆs]
˜
Ω
) = sˆs.
Другими словами, существуåò решение˜y(= y)
следующего уравнения:
˜
y˜M = e ⊗ e.
Òàêèì образом, справедлива следующая теорема.
Òеорема 15.
ПустьΩ произвольная ËÑÐÑ, îáëадающая свойствоì
мультипликативности. Òîãäà äëÿ любых
s, ˆs, α ∈ Fqâûïîлняются ñëåäó-
þùèå ðавенсòâà:
[s; bs]Ω+ [ˆs; bˆs]Ω= [s + ˆs;bs+ bˆs]Ω,
α[s; bs]Ω= [αs; αbs]Ω,
[s; bs]Ω [ˆs; bˆs]Ω= [sˆs; bs⊗ bˆs]
˜
Ω
.
4.4.1. Î существовании ìóëüтипликативных ÑÐÑ
Êàê ïîêазано â следующем примере, íå âñÿêàÿ линейная ÑÐÑΩîáëà-
äàåò свойством ìóëüтипликативноñòè.
Пример 26.
Пусть
n = 2,M = (Fq, M, e, ψ)
монотонная порож-
дающая прогрàììà,
e = (1, 0),ψ(i) = i
äëÿ
i ∈ [2]
,
M =
1 1
0 1
,
82
4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ
Ω
ÑÐÑ, ïостроенная íà основеM. Ðàññмотрим ÑÐјΩ
, построенную
íà основе матрицы
˜
M =
(1, 1) ⊗ (1, 1)
(0, 1) ⊗ (0, 1)
=
1 1 1 1
0 0 0 1
.
Òàê êàê
e ⊗ e 6∈ L(˜M)
, òî ñõåìàΩíå îáладает свойствоì мультиплика-
тивности.
Следующая теорема ãарантируåòсуществование ÑÐÑ, обладающих ñâîé-
ством ìóëüтипликативности.
Òеорема 16.
Пусть
P = [n],n ∈ N,A
çàäàííîå мультимноже-
ñòâî (
A ⊂ 2P), îáладающее свойствоìQ2, àΩ реплицированная ÑÐÑ,
построенная äëÿ структурыA. ÒîãäàΩîáëàäàåò свойствоì мультипли-
кативности.
Доказательство.
Ïóñòü
M
ïîðîждающая
(d × e)
-матрица ÑÐÑΩ.
Äëÿ äîêазательства òîãî, ÷òîΩобладает свойством ìóëüтипликативности,
äîñòаточно ïîêазать, ÷òî строки матриöû˜M
âèäà (4.8) ïîðîждают строку,
состоÿùóþ èç îäíèõ единиц. Наличие òàêîãî вектора â ìóëüтипликативной
реплицированной ÑÐÑΩследуåò èç òîãî, ÷òî векторe(êàê параметр ìîíî-
тонной ïîðîждающей программы, ñì. определение (39)) â ÑÐÑΩсостоит,
ïî построению, èçeединиц, à соответствующий вектор ÑÐјΩ
имеет âèä
e ⊗ e
(ñì. (4.9)).
Äëÿ этого äîñòаточно ïîêазать, ÷òî матрица˜M
ñîäåðæèò строки, îá-
разующие êанонический базис пространства
F
e
2
q
. Òàê êàê ìóëüтимноæество
обладает свойствомQ2, òî èç леммы 5 вытекàåò, ÷òî äëÿ êаждого
i ∈ [e]
единицы столбца ñ номеромiíàõîäÿòñÿ â строкàõ, соответствующих участ-
íèêàì, íå âñå èç êоторых принадлежàò îäíîé неправомочной êоалиции.
Следовательно, òàêèõ êоалиций êàê минимум äâå. Обозна÷èì ýòè êîàëè-
öèèAèB. Объединение
A ∪ B
, êàê следуåò èç леммы 6, äàåò правомочную
êоалицию. Ýòî, â ñâîþ очередь, çíà÷èò, ÷òî âñå строки матрицыM, ñîîò-
ветствующие участнèêàì êоалиции
A ∪ B
, ñîäåðæàò êаноничåñêèé базис
пространства
F
e
q
. Следоваòåëüíî, â матрице˜M
âèäà (4.8) найдутсÿeстрок
âèäà
(0, ..., 0
| {z}
i−1
1, 0, ..., 0
| {z}
e−i
) ⊗ (0, ..., 0
| {z}
j−1
1, 0, ..., 0
| {z}
e−j
), j ∈ [e].
Òàê êàê ýòî справедливо äëÿ êаждого
i ∈ [e]
, òî матрица˜M
ñîäåðæèò êà-
нонический базис пространства
F
e
2
q
. Следовательно, ìíîæество âñåõ участ-
83
Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений
íèêîâ образуåò правомочную êоалицию äëÿ ÑÐјΩ
. Èç îпределения 45 ïî-
лучаем, ÷òî ÑÐÑΩобладает свойством ìóëüтипликативности.
Пример 27.
ÑÐÑ èç примерà 17 îáладает свойствоì мультиплика-
тивности.
Äîêазательство следующей леммы îñòàåòñÿ â êàчестве упражнения.
Лемма 15.
Пусть
P = [n],n ∈ N,A
заданное мультимножество,
A ⊂ 2P, îáëàäàþùåå свойствоìQ3, причеì êîалиции âAпопарно íå ïåðå-
секаются, àΩ реплицированная ÑÐÑ, построенная äëÿ структурыA.
ÒîãäàΩîáладает свойствоì строгой мультипликативности.
4.4.2. Обобщенный ïðîòîêîë вычислений арифметическиõ выражåíèé
 ýòîì разделе рассматриваетсÿ естественное обобщение протокîëà, ðàñ-
смотреного â разделе 4.3.: обобщенный протокîë защищенного вычисле-
íèÿ арифметических выражåíèé (ОПМВАВ). Ïóñòü
P = [n]
ìíîæество
участникîâ. Áóäåì говорить, ÷òî
участникiðаспредеëÿåò
[s; bs]Ω, êîãäà
îí вычисляет äîëè секретàsñ использованием случайного вектора
bsâ
соответствии ñ протокîëîì
Share
ËÑÐÑΩ, è передает (ïî защищенным
êаналам) äîëè
x(j)
âèäà (3.9) участнику ñ номеромj,
j = 1, ..., n
. Êîãäà âñå
участники получили äîëè, соответствующие секретуs, найденные ñ исполь-
зованием случайного вектора
bs, говорÿò, ÷òî
участники владеют набороì
[s; bs]Ω. Ïóñòü участники владеют наборами
[s; bs]Ωè
[ˆs; bˆs]Ω. Ãîâîðÿò, ÷òî
участники вычисëÿþò
[s; bs]Ω+ [ˆs; bˆs]Ω, êîãäà êаждый участникiвычис-
ëÿåò суммы долей â соответствии ñ (4.7). (После операции суммирования
долей участники владеют набором
[s + ˆs; bs+ bˆs]Ω.) Аналогично определя-
þòñÿ понятия вычисления çíàчений
α[s; bs]Ωè
[s; bs]Ω [ˆs; bˆs]Ω.
Замечание 20.
Следующий протокоë âî многоì совпадает ñ прото-
êîëîì ПМВАВ. Äëÿ ðåализации протокоëà требуется, чтобы ÑÐÑΩîá-
ладала свойствоì мультипликативности.
Обобщенный ïротокîë многосторонних защищенных вычислений состо-
èò èç òðåõ ôàç: 1) ôàçà распределения долей, 2) ôàçà арифметических âû-
числений è 3) ôàçà восстановления âûõîäíûõ çíàчений.
Ôàçà распределения äîëåé
. Íà ýòîé ôàçå êаждый участникièç
ìíîæества
P = [n]
, владеющий секретом
xi, распределяет
[xi; b
x
i
]Ω.
Ôàçà арифметических вычислений
. Выполнять следующие øàãè
äî òåõ ïîð, ïîêà âñå шлюзы íå áóäóò обработàíû (после ÷åãî перейти íà
следующую ôàçó): 1) рассмотреть очередную â вычислительном ïîðÿäêå
84
4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ
вершину (øëþç), êоторая åùå íå обработàíà; 2) â зависимости îò метки
ýòîé вершины выполнить соответствуþùåå действие.
•
Äëÿ метки ¾+¿ выполнить
ñëîæåíèå
. Åñëè âõîдящие â вершину ñ
ìåòêîé ¾+¿ ребра имеют ìåòêèaèb, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
âñå
участ-
íèêè владеют наборами
[a; ba]Ωè
[b; bb]Ω. Участники вычисляют сумму
[a; ba]Ω+ [b;bb]Ω= [a + b; ba+ bb]Ω.
•
Äëÿ метки ¾α·¿ выполнить
óìíîæåíèå íà êîíñòàíòóα. Åñëè âõî-
дящее â вершину ñ ìåòêîé ¾α·¿ ребро имеет меткуa, òî ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî
âñå
участники владеют набором
[a; ba]Ω. Участники вычисляют
α[a; ba]Ω= [αa; αba]Ω.
•
Äëÿ ìåòêè ¾·¿ выполнить
óìíîæåíèå
. Åñëè âõîдящие â вершину ñ
ìåòêîé ¾·¿ ребра имеют меткиaèb, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
âñå
участники
владеют наборами
[a; ba]Ωè
[b; bb]Ω.
1. Участники âû÷èñëÿþò
[a; ba]Ω [b;bb]Ω= [a · b; ba⊗ bb]
˜
Ω
.
2. Ïóñòü
s = ba⊗ bb. Òîãäà участники владеют набором:
[a · b; s]
˜
Ω
= (c1, ..., c
˜
d
),
ãäå˜d
вычисляетсÿ ïî формуëå (4.10).
3. Äëÿ êаждого
cj, принадлежащего участникуi(напомним, ÷òî
êаждому участнику ìîæåò соответствовать íåñêîëüêî êîîðдинат),
ýòîò участник распределяет набор
[cj; b
c
j
]Ω(
b
c
j
выбираетсÿi-ûì
участникîì случайно â соответствии ñ протокîëîì
Share
ÑÐÑΩ).
4. Ïóñòü
u = (u1, ..., u
˜
d
)
вектор ðåêонструкции äëÿ
P = [n]
â ðàì-
êàõ ÑÐјΩ
. Òàêîé вектор существуåò, òàê êàê ÑÐÑΩ, ïî óсловию,
обладает свойством ìóëüтипликативнîñòè (ñì. замечание 6). Òîãäà
участники вычисляют
n
X
i=1
ui[ci; r
c
i
]Ω= [
n
X
i=1
uici;
n
X
i=1
uir
c
i
]Ω= [a · b;
n
X
i=1
uir
c
i
]Ω.
Ôàçà восстановлениÿ âûõîäíûõ çíàчений
. Ê íà÷àëó ýòîé ôàçû
âñåì ребрам графа арифметическîé ñõåìû ïрисвоены çíàчения, â òîì числе
è ребрам, âõîдящим â âûõîäíûå вершины. Ñëåäовательно, äëÿ ребра ñ ìåò-
êîéyâñå участники владеют набором
[y; by]Ω. Каждый участникjпередает
ïî защищенному êаналу участникуiçíàчение äîëè
x(j)
, соответствующее
секретуy; участникi, используÿ протокîë
Recon
ñõåìûΩ, восстанавливает
çíàчениеy.
85
Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений
4.4.3. Î строениè ìóëüтиплиêативных ÑÐÑ полиномиальнîãî размера
Òàê êàê ïî любой структуре противникàAìîæåò áûòü построена ðåï-
лицированная ÑÐÑΩ, òî рассмотренный âûøå протокîë ìîæåò áûòü реали-
зован, â частности, íà основе òàêîé ÑÐÑ. Основным требованием являетсÿ
выполнение свойстваQ2äëÿA, ÷òî ãарантируåò ìóëüтиплиêативность ðåï-
лицированной ÑÐÑΩ. Îäíàêî âAìîæåò áûòü большое êоличество неправо-
мочных êоалиций: ýòî êоличество â общем случае ýêспоненциально зависит
îò числа участникîâ. Поэтому â ðåïëицированной ÑÐÑ участники получа-
þò большое êоличество долей секретов. Естественно возникàåò вопрос: äëÿ
êàêèõ ñòðóêòóð протиâíèêà ìîæåò áûòü построена линейная ìóëüтипликà-
тивная ÑÐÑ, â êоторой размеры долей участникîâ полиномиально зависÿò
îò числа участникîâ.
Определение 46.
ПустьP множестâî участников ñõåìû ðàçäå-
ления секретаΩ,
Γ(Ω)
структурà доступа.
Дуальной структурой
доступа
Γ(Ω)
называется структурà, â которой
A ∈ Γ(Ω)
тогда è òîëü-
êî тогда, когда
A 6∈ Γ(Ω)
, ãäå
A = P \ A
.
Пример 28.
Пусть
n = 3
,
Γ(Ω) = {{1, 2}, {2, 3}, {1,2, 3}}.
Òîãäà
Γ(Ω) = {{1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}}.
Упражнение 42.
Пусть
P = [n]
, à структурà доступа
Γ(Ω)
состоит
èç êîалиций, каждая èç которых мощности áîëååt(
t ∈ [n − 1]
). Êîалиции
какой мощности содержит дуальная структурà доступа
Γ(Ω)
?
Лемма 16.
ПустьΩ ËÑÐÑ âèäà
(3.3),A(Ω)
структурà против-
íèêà,
Γ(Ω) = Γ(Ω)
структурà достуïà. Åñëè
A(Ω)
îáëàäàåò свойствоì
Q2
, òî
Γ(Ω) ⊆ Γ(Ω)
.
Доказательство.
Èç òîãî, ÷òî êîàлицияAпринадлежит структуре
Γ(Ω)
,
следуåò, ïî определениþ, ÷òîAíå принадлежит структуре
Γ(Ω)
. Èç теорем
8 è 9 вытекàåò, ÷òî êаждая êоалиция являетсÿ ëèáî правомочной, ëèáî
неправомочной. Следовательно,
A ∈ A(Ω)
. Òàê êàê
A ∪ A = PèA(Ω)
îáëà-
äàåò свойствомQ2, òî
A 6∈ A(Ω)
. Снова èç теорем 8 è 9 получаем
A ∈ Γ(Ω)
.
Òàêèì образом, êаждая êоалиция èç
Γ(Ω)
ñîäåðæèòñÿ â
Γ(Ω)
.
ÏóñòüΩ линейная ÑÐÑ âèäà (3.3),
M = (Fq, M, e, ψ)
соответствую-
ùàÿ монотонная ïîðîждающая программа ñ ïîðîæäàþùåé
(d×e)
-матрицей
86
4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ
M
. Напомним, ÷òî ÿäðî
ker(MT)
ýòî ìíîæество векторов пространства
F
d
q
, êоторые ïðè óìíîæåíèè справа íà матрицу
MTäàþò íóлевой вектор:
ker(MT) = {x ∈ F
d
q
: MTxT= 0T(∈ F
e
q
)}.
Замечание 21.
Åñëè
rank(MT) = e
, òî
ker(MT)
ýòî ëèнейный
[d, d − e]q-êîä ñ проверочной
(e × d)
-матрицей
MT.
Ïóñòü
rank(MT) = t + 1,v0 îäíî èç решений системы:
MTv
T
0
= eT.
Замечание 22.
Ðешениеì ýòîé ñèñòåìû будет любой вектор èç
ñмежного классà
v
T
0
+ ker(MT) := {v
T
0
+ x: x ∈ ker(MT)}.
Зафикñèðóåì â
ker(MT)
базис
v1, ..., v
d−(t+1)
. Ñîñòàâèì матрицуMèç
столбцов
v0, v1, ..., v
d−(t+1)
è íà основе ýòîé ïîðîждающей матрицы постро-
èì новую ëинейную ÑÐÑΩ. Монотонную ïîðîждающую ïрограммó äëÿ
Ω
определим следующим образом:
M = (Fq, M, e, ψ), e ∈ F
d−(t+1)+1
q
= F
d−t
q
,
(4.15)
ãäå отображåíèåψòàêîå æå, êàê äëÿΩ,
e = (1, 0, ..., 0)
.
Упражнение 43.
Покажите, ÷òî â матрице
MTM
òîëüêî îäíî çíà-
чение ненулевое. Найдите ðàñïîложение (íîìåð ñòîëáöà è строки) этого
значения â матрице
MTM
.
Ïóñòü теперьA произвольная êоалиция èç
Γ(Ω)
. Òîãäà строки матри-
öû
M(A)
(ñì. определение 40), êоторыми владеют участники èç êоалиции
A
, ïîðîждают векторe. Другими словами,
e ∈ L(M (A))
, èëè существуåò
òàêîé вектор
v(∈ F
d
q
)
, имеющий íóлевые çíà÷åíèÿ êîîðдинат ñ íîìерами èç
ìíîæества
ψ−1(A) = [d] \ ψ−1(A)
, ÷òî
MTvT= eT.
Êàê следуåò èç замечания 22, ìíîæество âñåõ решений òàêîé системы имеет
âèä
v
T
0
+ ker(MT)
. Следовательно, решениеvпредставимо â âèäå линейной
êомбинации
v = ω0v0+ ω1v1+ ... + ω
d−(t+1)vd−(t+1)
=
MwT,
87
Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений
ãäå
w = (ω0, ..., ω
d−(t+1)
),ω06= 0
. Заметим, ÷òî строки матрицMèMñ
номерами èç ìíîæества
ψ−1(A)
соответствуют êоалиции
A = P \ A
. Èç
построения вектораvследуåò, ÷òî
M(A)wT= (v|
ψ−1(A)
)T= 0, (w, e) 6= 0.
(4.16)
Èç равенств (4.16) вытекàåò, ÷òî строки матрицы
M(A)
íå ïîðîждают âåê-
òîðe, следователüíî, åñëèA правомочная êоалиция â ÑÐÑΩ, òîAíå
являетсÿ правомочной êоалицией âΩ.
Упражнение 44.
Докажите, ÷òî åñëè
A 6∈ Γ(Ω)
, òî
A ∈ Γ(Ω)
.
Òàêèì образом, получаем следующую лемму.
Лемма 17.
Структурà доступа ÑÐÑΩявляется дуальной ê струк-
òóðå доступà ÑÐÑΩ.
Òеорема 17.
Äëÿ ëþáîé линейной ÑÐÑΩâèäà
(3.3)
ñî структурой
противника
A(Ω)
, îáладающей свойствоìQ2, çà ïîëèíîмиальное âðåìÿ
îò ÷èñëà строк â порождающей матрице
M
может áûòü построена
мультипликативная CÐC
Ω0ñî структóðîé противника
A(Ω0)(A(Ω))
.
Доказательство.
Äîêазательство основано íà построении ÑÐÑ
Ω0. Ñíà-
÷àëà построим ïîΩâèäà (3.3) äóальную ÑÐÑΩñ монотонной ïîðîждающей
программой âèäà (4.15). Ïóñòü
s ∈ Fq секрет. Íà основе ÑÐÑΩèΩïî-
строим новую ÑÐÑ
Ω0. Найдем äîëè секретàs, используÿ протокîë
Share
â ÑÐÑΩè ÑÐÑΩ. Äëÿ этого выбираютсÿ случайным образом векторы
bs(∈ Fe)èbs(∈ F
d−t
)
òàê, чтобы èõ первая êîîðдинатà áûëà равна секрету
s
, è вычисляютсÿ векторы
Mb
T
s
,
M · b
T
s
. Çíàчения êîîðдинат ïîëó÷енных
векторов распределяютсÿ среди участникîâ â соответствии ñ отображением
ψ
. Èç леммы 16 вытекàåò, ÷òî
A(Ω) ⊆ A(Ω)
. Òàêèì образом, структура
доступа новой ÑÐÑ совпадает ñ
A(Ω)
.
Ïóñòü
a, b(∈ Fq)
äâà секретà, äîëè êоторых распределåíû среди участ-
íèêîâ â соответствии ñ построенной толькî ÷òî ñõåìîé. Òàêèì образом, êàæ-
äûé участник обладает ñîîòâåтствуюùèìè ÷àñòÿìè векторов
Mb
T
a
, M b
T
b
, M · b
T
a
, M · b
T
b
.
Òàêèì образом, участникiìîæåò самостоятельно (ëîêально) вычислить
M({i})b
T
a
? M({i})b
T
b
, M (i) · b
T
a
? M(i) · b
T
b
,
M({i})b
T
a
? M(i) · b
T
b
, M (i) · b
T
a
? M({i})b
T
b
.
88
4.5. Защищенное вычисление íà основе êанала ñ ïåрехватом
Ïîêàæåì, ÷òî íà основе вектора
M({i})b
T
a
? M(i) · b
T
b
èëè вектора
M(i) · b
T
a
? M({i})b
T
b
âñåì ìíîæеством участникîâPìîæåò áûòü найдено çíàчение
a · b
. Äëÿ
этого äîñòаточно ñëîæèòü êомпоненты, например, вектора
Mb
T
a
? M · b
T
b
.
Отметим, ÷òî сумма êомпонент этого вектора ýòî ñêалярное произве-
дение данных векторов, вычисление êоторого ìîæåò áûòü представлено â
следующем âèäå:
Mb
T
a
, M · b
T
b
=baM
T
·M · b
T
b
=
= ba(MT· M) · b
T
b
= ab.
Îòêóäà вытекàåò äîêазываемое утверждение.
Упражнение 45.
Докажите ïîñледнее ðавенство, èñïîльзуя ðåçóëü-
òàòû, ïîлученные ïðè âûïîëíåíèè óïðажнения 43.
Упражнение 46.
Найдите представление матрицы
M0äëÿ постро-
енной â доказательстве ÑÐÑ
Ω0.
4.5. Защищенное вычисление íà основе êанала ñ перехватом
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó вычисления
двумя
участникàìè функцииfâèäà
f: F
r
q
× S → Fq,
(x, y) 7→ f (x, y) =
r
X
i=1
fi(y) · xi,
ãäå
x = (x1, ..., xr),S
заданное ìíîæество,
fi: S → Fq,
i = 1, ..., r
. Ïðè
ýòîì рассмотрим ìîäåëü защищенного вычисления функции
f(x, y)
, â ðàì-
êàõ êоторой первый участник (владелец вектора
x(∈ F
r
q
)
) íå получает èí-
формации î çíàчении аргументàyвторого участникà, à второй участник
получает çíàчение функции
f(x, y)
, íî íå получает информации îá àðãó-
ментеx, кроме òîé, êоторую îí ìîæåò извлечь èç
f(x, y)
è своего аргументà
(â òàêîì âèäå ïîñòановкà çàäà÷è сформуëирована â [9]).
Отметим, ÷òî любая линейная функция îòxèyìîæåò áûòü предстàâ-
ëåíà â òàêîì âèäå.
89
Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений
Пример 29.
Åñëè
S = F
r
q
è
fi(y) = yi, òî
f(x, y)
скалярное ïðî-
изведение äâóõ векторов èç
F
r
q
. Åñëè îäèí èç участников имеет âåêòîð
x
, à другой участник имеет векторyè îíè îáà умеют защищенным îá-
ðàçîì вычисëèòü функцию
f(x, y)
, òî ýòè участнèêè могут вычисëèòü
защищенным îáðàçîì скалярное произведение своих векторов.
Пример 30.
Åñëè
x0= (x1, ..., xr,
P
r
i=1
x
2
i
),fi(y) = −2yiäëÿ
i = 1, ..., r
,
f
r+1
(y) = 1
, òî
f(x0, y) =
r
X
i=1
(x
2
i
− 2xiyi).
Владеëåö векторày, çíàÿ значение функции
f(x0, y)
, может вычисëèòü
квадрàò ðасстояниÿ Евклида
d(x, y)
:
d(x, y) = f (x0, y) +
r
X
i=1
y
2
i
=
=
r
X
i=1
(x
2
i
− 2xiyi+ y
2
i
) =
r
X
i=1
(xi− yi)2.
Пример 31.
Пусть
q = p
ïðîñòîå ÷èñëî,
q > log2(r),x,y
âåêòîð
èç нулей è единиц íàä ïîëåì
F
r
q
. Пусть
fi(y) = 1 − 2yi,
f(x, y) =
r
X
i=1
(xi− 2xiyi).
Владеëåö векторày, çíàÿ значение функции
f(x, y)
, может вычисëèòü
ðасстояние Õýмминга
ρ(x, y)
:
ρ(x, y) = f (x, y) +
r
X
i=1
yi=
r
X
i=1
(xi− 2xiyi+ yi) =
r
X
i=1
(xi− yi)2.
Упражнение 47.
Äëÿ ÷åãî â примере 31 требуется, чтобыqáûëî
простым ÷èñëîì áîëüøå
log2(r)
?
ÏóñòüC
[n, n − r]q-êîä,
HC åãî проверочная матрица,
x(∈ F
r
q
)
çíàчение секретного аргументà первого участникà. Воспользуåìñÿ способом
êîдирования вектораx, применяемым, â частности, äëÿ защиты данных
â êанале перехватà ñî стираниями (ñì. раздел 2.5.). Именно, ïóñòü вектор
z = (z1, ..., zn)
случайно выбранное решение уравнения
HCzT= xT.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]