Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Протоколы защищенных вычислений на основе линейных схем разделения секрета. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

1.5. Линейные êîäû

Напомним, ÷òî эффективной длиной êîäàCназываетсÿ мощность ìíî-

æества

∪

c∈C

supp(c)

. Â случае, êîãäà êîдовое расстоÿíèådнеизвестно èëè

íå используåòñÿ â êîíòåêñòå, òî êîäCназываетсÿ

[n, k]q-êîäîì. Элементы

êîäà áóäåì называть êîдовыми векторами èëè êîдовыми словами. Матрица, строкàìè êоторой являютсÿ âñå êîдовые слова êîäàC, называетсÿ êîдовой матрицей.

Упражнение 4.

Ñêîëüêî строк è ñòîлбцов â кодовой матрице линей-

íîãî

[n, k]q-êîäà?

Определение 8.

Порождающей матрицей

[n, k]q-êîäàCназывается

(k × n)

-матрица

GCтакая, ÷òî

C = {mGC: m ∈ F

k q

} = L(GC).

(1.1)

Èç (1.1) следуåò, ÷òî åñëè

GC ïîðîждающая матрица, òî äëÿ любой

невырожденной

(k × k)

-матрицыSматрица

SGCòàêæå являетсÿ ïîðîæäà-

þùåé.

Òàê êàê äëÿ

[n, k]q-êîäàCïîðîждающая матрица

GCимеет ðàíãk, òî

среди столбцов ýòîé ìàòðèöû найдутсÿkлинейно независимых столбцов.

Определение 9.

ПустьC линейный

[n, k]q-êîä. Множество íîìå-

ðîâ координатτ,

|τ| = k

, òàêîå, ÷òî

rank(GC|τ) = k

, íàçûâàåòñÿ инфор-

мационной совокупностьþ.

Число âñåõ информационных совокупностей äëÿ

[n, k]q-êîäàCíå ïðå-

вышает



n k



Упражнение 5.

Покажите, ÷òî åñëèτ информационная совокуп-

ность êîäà

[n, k]q-êîäà, òî äëÿ âñåõ порождающих матриц этого êîäà âû-

ïîлняется ðавенство

rank(GC|τ) = k

Определение 10.

Åñëèτ информационная совокупность, òî ïî-

рождающая матрица âèäà

(GC|τ)−1G

называется порождающей матрицей â систематическоì âèäå.

Определение 11.

Проверочной матрицей

[n, k]q-êîäàCназывается

такая

(n − k × n)

-матрица

HCïîлного ðàíãà, ÷òî

HCG

T C

= O.

(1.2)

Èç равенства (1.2) вытекàåò, ÷òî линейный

[n, k]q-êîäCìîæåò áûòü

определен ñ помощью ïðоверочной матрицы:

C = {c ∈ F

n q

: HCcT= 0T(∈ F

n−k q

(1.3)

Ãëàâà 1. Предварительные сведения

Определение 12.

ПустьC ëèнейный

[n, k]q-êîä. Подпространство

пространства

n q

, порожденное строками матрицы

HC, называется êî-

äîì, дуальным ê êîäóC:

C⊥= L(HC) = {c0∈ F

n q

: ∀c ∈ C (c, c0) = 0}.

Äëÿ этого êîäà èñïîльзуется обозначение

C⊥.

Òеорема 1.

Â проверочной матрице

HCлинейного

[n, k, d]q-êîäàCíà-

áîð èç любых

d − 1

ñòîлбцов является линейно независимым.

Доказательство.

Предполоæèì, ÷òî существуåòлинейно зависимый íà-

áîð столбцов

HC|

, ..., HC|

d−1

Следовательно, существуåò òàêîé íåíóлевой вектор

z(∈ F

n q

)

âåñà íå более

d − 1

, ÷òî

HC|

+ ... + HC|

d−1

= 0T(∈ F

n−k q

Èíà÷å ýòî равенство ìîæíî переписать â следующем âèäå:

HCzT= 0T(∈ F

n−k q

Учитывая (1.3), получаем, ÷òî

z ∈ C

. Однакî ýòî противоречит òîìó, ÷òî

êîäCимеет минимальное расстоÿíèåd, â òî время êàê

wt(z) 6 d − 1

Линейные êîäû â настоÿùåå время âñå ÷àùå íàõîäÿò ïрименение â ðàç- личных областÿõ криптографии. Â частности, асимметричные êîдовые êðèï- тосистемы рассматриваютсÿ êàê àëüтернатива êîдовым криптосистемам, основанным íà ñëîжности факторизации è äèскретного ëîãарифмирова- íèÿ [20]. Однакî исторически ýòè êîäû исследовались êàê способ борьбы ñ помехàìè â цифровых êаналах переда÷è данных. Часто различают äâà òèïà помех: ошибки è стирания. Â случае ошибок ìåñòà èñêàæенных êîîð- динат êîдового вектораzнеизвестны è ýòîò вектор обычно представляетсÿ â âèäå (аддитивная ïîìåõà):

z = c + e,

ãäåc êîдовый вектор,e вектор помехи.

Получателю векторыcèeïðè приеме èç êанала вектораzнеизвест- íû. Â случае стираний èñêàæенные (стертые) êîîðдинаты известны. Ñòè- рание êîîðдинаты íà практикå ìîæåò îçíà÷àòü, например, неисправность ячейки памяти, â êоторой õðàíилось çíàчение êîîðдинаты (â случае, êîãäà

1.5. Линейные êîäû

êàíàë переда÷è данных представлен системой хранения), èëè потерю ñåòå- âîãî ïàêåòà (êàíàë переда÷è данных здесь  ýòî ñåòü связи). Часто стертые êîîðдинаты обозна÷àþò символом∗. Например, принятый вектор длины

ìîæåò иметь âèä:

z = (z1, ∗, ∗, z4, ∗, z6).

Следующая теорема äëÿ

[n, k, d]q-êîäàCóñòанавливает связь между

числом исправлÿåìûõ ошибок è стираний, ñ îäíîé стороны, è êîдовым ðàñ- ñòîяниемd, ñ другой стороны. Äîêазательство теоремы ìîæåò áûòü найде- íî, например, â [2;4].

Òеорема 2.

Линейный

[n, k, d]q-êîäCпозвоëÿåò ãàðантированно èñ-

ïðавитьtошибок èpñòèðàíèé, åñëè

d > 2t + 1 + p.

(1.4)

Алгоритм äåêîдирования

[n, k, d]q-êîäàC, позволяющий исправить íå

менееtошибок èpстираний â êîдовых векторах è âûõîäîì êоторого ÿâëÿ- åòñÿ вектор èçCèëè сообщение îá ошибкå äåêîдирования

err

, обозна÷èì

DecC. Èíîãäà óдобно использовать äåêîäåð, âûõîäîì êоторого являютсÿ èí-

формационные векторы èëè сообщение îá îøèáêå äåêîдирования

err

. Òàêîé

äåêîäåð зависит îò ïîðîæдающей матрицû

GC, êоторая использовалась ïðè

êîдировании. Поэтому äëÿ этого äåêîäåðà áóäåì использовать обозначение

Dec

. Äåêîäåð

Dec

ìîæåò áûòü построен íà основе äåêîäåðà

DecCè ëþ-

áîé информационной совокупностиτэтого êîäà:

Dec

(z) = (DecC(z))|τ(GC|τ)−1.

Òеорема 3.

Äëÿ

[n, k, d]q-êîäàCâûïîлняется íåðавенство

n − k > d − 1.

(1.5)

Доказательство.

Любая ïîðîждающая матрица êîäàCìîæåò áûòü приведена ê систематическîìó âèäó. Неравенство (1.5) вытекàåò èç òîãî, ÷òî âåñ êаждой строки матрицы â систематическîì âèäå íå превышает

n − k + 1

Неравенство (1.5) называетсÿ неравенством Ñèíãлтона.

Определение 13.

[n, k, d]q-êîäC, äëÿ которого âûïîлняется ðàâåí-

ñòâî â

(1.5)

, называетсÿ êîäîì ñ максимальным достижимым ðасстоя-

íèåì (ÌÄÐ-êîäîì).

Ãëàâà 1. Предварительные сведения

Èç (1.4) è (1.5) вытекàåò, ÷òî åñëètèp соответственно число ãàðàí-

тированно исправляемых

[n, k, d]q-êîäîìCошибок è стираний, òî

n − p > 2t + k.

(1.6)

Òеорема 4.

Êîä

C⊥, дуальный ê ÌÄÐ

[n, k, d]q-êîäóC, является ÌÄÐ-

êîäîì.

Доказательство.

Îñòàåòñÿ â êàчестве упражнения.

Пример 1.

[n, 1, d]q-êîäCñ порождающей матрицей

GC= (1, ..., 1

| {z}

ðàç

)

называется êîäîìn-êðатного повторения. Очевидно, ÷òî

d = n

, поэтоìó

âûïîëíяется ðàâåíñòâî â

(1.5)

. Следоватеëüíî, êîän-êðатного повторе-

íèÿ  ÌÄÐ-êîä.

[n, n − 1, d⊥]q-êîä

C⊥, дуальный ê êîäóC, называется êîäîì проверки

четности. Èç теореìû 4 вытекает, ÷òî îí òàêæå является ÌÄÐ-êîäîì.

Определение 14.

[n, k, d]q-êîäCназывается êîäîì, перестановочно

эквивалентным

[n, k, d]q-êîäóD, åñëè существует такая подстановка

èç ñèмметрической группы

Sn, ÷òî

D = σ(C) = {(c

σ(1)

, ..., c

σ(n)

): (c1, ..., cn) ∈ C}.

Ïîä перестановочной

(n × n)

-матрицей áóäåì понимать матрицу, â êî- торой â êаждом столбце è â êаждой строкå îäíà åäèíèöà ïîëÿ. Áóäåì говорить, ÷òî перестàíовочная

(n × n)

-матрица

Pσсоответствуåò ïîäñòà-

íîâêå

σ(∈ Sn)

, åñëè матрица

GCPσявляетсÿ ïîðîæдающей матрицей êî-

äà

σ(C)

. Äëÿ перестановочно эквивалентных êîäîâCèDобозна÷èì через

GetP ermutation

алгоритм íàõîждения òàêîé ïîäñòановкиσ, ÷òî

D = σ(C)

. Âõîäîì этого алгоритма являютсÿ ïîðîждающие матрицы êîäîâCèD. Примером òàêîãî алгоритма ìîæåò áûòü алгоритм расщепления носите- ëÿ [19]. Отметим, ÷òî â настоÿùåå время íåò эффективного алгоритма íà- õîждения ïîäñòановкиσäëÿ произвольного êîäà. Â òî æå время äëÿ íåêî- торых известных êîäîâ òàêèå алгоритмы известны. Ê íèì относÿòñÿ: àë- горитм Сидельникîâà Øåñòàêîâà [21] è алгоритм Виешбринкà [22] (äëÿ обобщенных êîäîâ ÐèäàСоломона), алгоритм Миндера  Шокроллахи [13] è алгоритм Áîðîäèíà×èæîâà [8] (äëÿ двоичных êîäîâ Ðèäà  Маллера).

1.5. Линейные êîäû

Определение 15.

ПустьC линейный

[n, k]q-êîä. Подгруппа группы

Sn, такая, ÷òî

σ(C) = C,

называется группой перестановочных àâòîìîðфизмов êîäàC. Òàêàÿ ïîä- группа обозначается

PAut(C)

Определение 16.

Äëÿ векторов

a = (a1, ..., an)èb = (b1, ..., bn)

èç

n q

покоординатное умноженèå

a ? b = (a1b1, ..., anbn),

называется произведенèåì Øóðà ýòèõ векторов [16].

Неслоæíî проверить, ÷òî äëÿ любых векторов

a, b, c ∈ F

n q

è любых

a, b, c ∈ F

выполняетсÿ равенство

(aa + bb) ? cc = ac(a ? c) + bc(b ? c).

(1.7)

Определение 17.

Квадрàòîì линейного

[n, k, d]q-êîäàCназывается

пространство (êîä)

C ? C = C⊗2, порожденное множествоì векторов

{a ? b: a, b ∈ C}

Åñëè

GC|1, ...,

GC|n столбцы ïîðîждающей матрицы

GCêîäàC, òî

êîä

C ? C

ïîðîждаетсÿ строкàìè матрицы

GC? GC= (GC|1⊗ GC|1|...|GC|n⊗ GC|n).

(1.8)

Упражнение 6.

ПустьC

[n, k]q-êîä,

GC порождающая ìàòðè-

öà. Докажите, ÷òî êîä

C⊗2= C ? C = L({c ? c0: c0, c ∈ C})

совпадает êàê множество ñ линейной îáîëî÷êîé

L(GC? GC).

Пример 2.

Пусть

x1,...,

xn попарно ðазличные ýëåменты ïîëÿ

q > n.[n, k]q-êîäCñ порождающей матрицей âèäà

GC=



     

1 . . . 1

x1. . . x

k−1 1

. . . x

k−1 n



     

(1.9)

Ãëàâà 1. Предварительные сведения

называется êîäîì Ðèäà Ñîëîìîíà. Òàêîé êîä áóäåì обозначать

k,n

. Èç

представления

(1.8)

ñледует, ÷òî

C⊗2 êîä ÐèäàÑîëîìîíà ðазмерности

min{2k − 1, n}

⊗2

k,n

= RS

min{2k−1,n},n

Êîдовое слово

c [n, k]q-êîäàCназываетсÿ минимальным, åñëè íå ñóùå-

ñòâóåò íåíóлевого êîдового слова

c0(∈ C)

, линейно независимого ñ вектором

, ÷òî

supp(c0) ⊆ supp(c)

[5;6; 12]. Ìíîæество минимальных векторов êîäà

обозна÷èì

P(C)

Òеорема 5.

ПустьC

[n, k, d]q-êîä ñ проверочной матрицей

HC. Îò-

ñþäà

1) векторc минимальныé тогда è òîëüêî тогда, когда

rank((HC)|

supp(c)

) = wt(c) − 1;

2) åñëè

c1è

c2 минимальные, òî

c1= ac2äëÿ некоторого

a ∈ Fq\{0}

;

3) åñëèc ìèíèìàëüíûé, òî

wt(c) 6 n − k + 1

;

4) åñëè

q = 2

, òî любой кодовый вектор âåñà ìåíåå2dявляется ìè-

нимальным;

5) áàçèñ êîäà может áûòü âûáðàí среди минимальных векторов.

Доказательство.

Îñòàåòñÿ â êàчестве óïðажнения.

Известно, ÷òî строкè любой систематическîé матрицы

[n, k]q-êîäàCÿâ-

ляютсÿ минимальными êîдовыми векторами [18].

Упражнение 7.

Приведите доказательство ýòîãî утверждения.

Пример 3.

Ðàññмотрим

[7, 3]2-êîäCñ порождающей матрицей

âèäà

GC=



  

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1



  

1.5. Линейные êîäû

Кодовая матрица этого êîäà имеет âèä



                 

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0

1 1 0 1 0 0 1



                 

Òàê êàê

q = 2

è âñå âåкторы имеют одинаковый âåñ (âåñ4), òî âñå íåíó-

левые векторы этого êîäà ÿâëÿþòñÿ минимальными.

Пример 4.

Ðàññмотрим

[7, 3]2-êîäCñ порождающей матрицей

âèäà

GC=



  

1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1



  

Кодовая матрица этого êîäà имеет âèä



                 

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1



                 

Â ýòîì êîäå âñå ненулевые векторы, êðîìå векторà èç âñåõ единиц, ÿâëÿ- þòñÿ ìèíèìàëüíûìè.

Ãëàâà 1. Предварительные сведения

Определение 18.

[n, k]q-êîäCназывается минимальным, åñëè âñå

ненулевые ñëîâà этого êîäà являются ìèíèìàëüíûìè.

Пример 5.

Êîä èç примерà 4 ÿâëÿåòñÿ минимальным.

Определение 19.

Множество

C(⊆ F

n q

)

называется

êîäîì покры-

òèÿñðадиусоì ïокрытèÿR, åñëèR такое минимальное натурàëü-

íîå ÷èñëî, äëÿ которого âûïîлняется óñловие:

∀x ∈ F

n q

∃c ∈ C: ρ(c, x) 6 R.

Èç этого определения вытекàåò, ÷òî åñëèH проверочная матрица

êîäàCñ радиуñîì покрытияR, òî äëÿ любого вектор-столбца

s(∈ F

n−k q

)

найдетсÿ òàêîé вектор

y(∈ F

n q

)

âåñà Хэммингà íå болееR, ÷òî

HyT= s.

Упражнение 8.

Докажите, ÷òî åñëèC линейный êîä ñ ðадиусоì покрытияR, òî любой ñмежный класс этого êîäà ÿâëÿåòñÿ êîäîì покры- òèÿ ñ ðадиусоì покрытияR.

1.6. Íåîòличимость

Определение 20.

Пусть дискретные ñлучайные âåличинûXèYïðè-

нимают значения èçV. Статистичесêèì ðасстояниеì

∆(X; Y )

между

ñлучайными âåличинамиXèYназывается âåличина

∆(X; Y ) =

1 2

v∈V

|Pr{X = v} − Pr{Y = v}|.

Ïóñòü дискретная случайная величинаZпринимает çíàчения èçV. Ñòà-

тистическîå расстоÿíèå

∆(X; Y )

обладает следующими свойствами:

• 0 6 ∆(X; Y ) 6 1

;

• ∆(X; Y ) = 0

òîãäà è толькî òîãäà, êîãäà

Pr{X = v} = Pr{Y = v}

äëÿ âñåõ

v ∈ V

;

• ∆(X; Y ) = ∆(X; Y )

;

• ∆(X; Y ) 6 ∆(X; Z) + ∆(Z; Y )

Определение 21.

Неотрицательная функция

f : N → R

называется

незначительной, åñëè äëÿ каждого

γ ∈ N

найдется

k0∈ N

, ÷òî äëÿ âñåõ

k > k0âûïîлняется íåðавенство

f(k) 6

Вопросы è задания äëÿ самопроверки

Примером незначительной функции являетсÿ

f(k) = 2−k.

Упражнение 9.

Покажите, ÷òî функция

f(k) =

íå является незна-

÷èòåльной.

Â криптографии важную ðîëü играет ïонятие

отличимости

случай- íûõ величин. Например, ïðè определении êàчества генерируåìîé псевдо- случайной последовательности оценивают, íàñêîëüêî генерируåìàÿ ïîñëå- довательность îòличима îò случайной последовательности. Â области êîäî- âûõ криптосистем исследуåòñÿ îòличимость матрицы публичного ключа îò случайной матрицы.

Определение 22.

ПустьI счетное множество,

X = {Xi}

i∈I

Y = {Yi}

i∈I

 äâà ñåмейства äèñêðåòíûõ ñлучайных âåличин, пронумеро-

ванных ýëåментами множестваI, ñлучайные âåличины

Xiè

Yiпринима-

þò значения èç îäíîãî è òîãî æå множества

Vi, ãäå äëÿ âñåõiзначение

|Vi|

îãðаничено сверху значениеì

p(|i|)

некоторого ïîëèíîìà

p(x)

, ãäå

|i|

 длина индексài, представленного â âèäå строки симвоëîì. Ãоворят, ÷òî ñåмействаXèY:

совершенно íåðазличимы

, åñëè

∆(Xi; Yi) = 0

;

статистически íåðазличимы

, åñëè

∆(Xi; Yi)

 незначитеëü-

íàÿ ïî

|i|

функция;

вычисëèòåëüíî íåðазличимы

, åñëè

∆(D(Xi); D(Yi))

 незначи-

òåльная ïî

|i|

функция äëÿ каждого ïîëèíîмиального вероятностíîãî

алгоритмаD, выходоì которого ÿâëÿåòñÿ значение èç

{0, 1}

Вопросы è задания äëÿ самопроверки

1. Дайте определение энтропии è взаимной информации случайных âå- личин.

2. Дайте определение линейного êîäà, ïîðîждающей матрицы, прове- рочной матрицы, êîдового расстоÿíèÿ.

3. Ñêîëüêî îøèáîê è стираний ìîæåò исправить

[n, k, d]q-êîä?

4. Дайте определение информационной совокупности êîäà. Опишите способ äåêîдирования ïî информационным совокупностÿì (â ïîñî- áèè åãî íåò).

5. ×åì îòëè÷àþòñÿ понятия ¾êîдовое слово минимального âåñà¿ è ¾ìè- нимальное êîдовое слово¿?

Ãëàâà 1. Предварительные сведения

6. Êàêîå èç äâóõ утверждений верное: ¾Минимальное êîдовое слово âñå- ãäà имеет минимальный âåñ¿ èëè ¾Êîдовое слово минимального âåñà âñåãäà являетсÿ минимальным êîдовым словом¿?

7. Какие âèäû íåîòличимости случайных величин âû знаете? Дайте определения. ×åì îíè îòличаютсÿ?

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]