Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Протоколы защищенных вычислений на основе линейных схем разделения секрета. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

4.2. Протокîë защищенногî óìíîæåíèÿ äâóõ чисел

5. Âñå участники вычисляют сумму:

S1+ S2+ S3=

i=1

i,1

i=1

i,2

i=1

i,3

i=1

1,i

i=1

2,i

i=1

3,i

= z1+ z2+ z3= v.

Упражнение 35.

Ïî÷åìó участникiïîñëå âûïîлнения второго øà- ãà íå ìîæåò ïîлучить какой-либо информации î секретах участников множества

[3] \ {i}

Упражнение 36.

Постройте протокоë защищенного вычисления ñóì-

ìû äëÿ ïÿòè участников íà основе ËÑÐÑ èç примерà 10.

Äëÿ òîãî, чтобы ïîêазать, ÷òî èç сообщений, передаваемых â õîäå âû- полнения протокîëà, íè îäèí ó÷астник íå получает èíîé информации, êðî- ìå òîé, êоторую îí ìîæåò получить èç знания своего секретà è çíàчения суммы секретов âñåõ участникîâ (òàêîé ïîäõîä ê äîêазательству безопас- ности вычислений называетсÿ

ïàðадигмой симуляции

). Ðассмотрим, напри- ìåð, участникà1. После выполнения первых äâóõ шагов протокîëà ýòîò участник íå получает êàêîé-ëèáî информации î секретàõ участникîâ2è

. После выполнения четвертого øàãà участник1узнает новую информа-

öèþ:

S1(çíàчения

S2è

S3îí вычисляет самостоятельно). Однакî, åñëè â

ðàìêàõ парадигмы ñèìóляции предполîæèòü, ÷òî äî выполнения четверто- ãî øàãà участнику1сообщить çíàчение суммы

v = z1+ z2+ z3mod m

, òî

îí ìîæåò найти толькî çíàчение

v − (S2+ S3) mod m

, равное

S1. Поэтому

рассмотренный протокîë являетсÿ òðåõсторонним протокîëîì защищенно- ãî вычисления суммы òðåõ чисел.

4.2. Протокîë защищенного óìíîæåíèÿ äâóõ чисел

Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà äâà участникà намерены защищенным îá- разом проверить, голосуют ëè îíè îáà ¾çà¿ ïî íåêоторому заранее извест- íîìó вопросу. Требуåòñÿ, чтобы îáà участнèêà узнали ðåçóëüòàò провер- êè, íî ïðè ýòîì â ñèòóàöèè, êîãäà îäèí èç участникîâ отвечàåò ¾против¿, ýòîò участник íå äîëæåí узнать ответ другого участникà. Ïóñòü ответу ¾çà¿ соответствуåò число1, à ответу ¾против¿  число0. Òîãäà íåîáõî- äèìî построить протокîë защищенного óìíîæåíèÿ. Действительно, ïóñòü элементы

x, y ∈ {0, 1}

являютсÿ ответàìè ó÷астникîâ протокîëà. Â òàáë. 3

Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений

рассматриваютсÿ различные сочетàíèÿ çíàченийxèyè соответствующая информация, êоторую получают участники, çíàÿ ðåçóëüòàò

x · y

Òàáëèöà 3

Информация, получаемая участíèêàìè

x y x · y

Новая информация

0 0 0

Îáà участникà íå получают новой инфор- мации, òàê êàê êаждый èç íèõ заранее знает, ÷òî îíè îáà íå голосуют ¾çà¿

0 1 0

Второй участник узнает, ÷òî первый участник голосуåò против, íî ïðè ýòîì первый участник íå узнает, êàê голосовал второй (первый участник íå получает íî- âîé информации)

0 1 0

Первый участник узнает, ÷òî второй участник голосуåò против, íî ïðè ýòîì второй участник íå узнает, êàê голосовал первый (второй участник íå получает íî- âîé информации)

1 1 1

Îáà участникà узнают, ÷òî îáà голосуют ¾çà¿

Защищенное вычисление произведения

x · y

ìîæåò áûòü построено íà основе протокîëà забывчивîé переда÷è. Далее привоäÿòñÿ соответствуþùèå øàãè:

1. Дилер вычисляет äîëè участникîâ è передает èõ ïî защищенным

êаналам участникàì. Èìåííî, ïóñòü

x1, x2 òàêèå числа èç

{0, 1}

, ÷òî

x1⊕ x2= x

, аналогично

y1, y2 òàêèå, ÷òî

y1⊕ y2= y

. Ïàðû

(x1, x2)

(y1, y2)

являютсÿ долями секретовxèy. Первый участник ïîëó÷àåò

îò дилера ïàðó

(x1, y1)

, à второй участник получает ïàðó

(x2, y2)

. После

выполнения этого øàãà участники имеют следующий набор долей:

Участник Наборы долей

1 x1, y

2 x2, y

2. Первый участник выбирает случайное число

u1∈ {0, 1}

, à второй

участник выбирает случайное число

u2∈ {0, 1}

4.2. Протокîë защищенногî óìíîæåíèÿ äâóõ чисел

3. Îáà участникà дважды выполняют протокîë забывчивой переда÷è



1 2



-OT, рассмотренный â примере 14 (ñì. раздел 2.4.). Ïðè первом âû- полнении этого протокîëà первый участник являетсÿ получателем îä- íîãî ñåêðåòà ñ номером

y1èç äâóõ секретов:

u2èëè

u2⊕ x2. Îòìå-

òèì, ÷òî â ýòîì случае отправитель (второй участник) заранее знает номер запрашиваемого секретà: запрашиваетсÿ вторая äîëÿ

x2. Ñëó-

чайный áèò

u2используåòñÿ äëÿ òîãî, чтобы получатель èç ответà íå

ñìîã узнать секретy. Òàêèì образом, первый участник узнает çíàчение

OT = (u2, x2⊕ u2; y1)

, îòêóäà, â соответствии ñ равенством (2.11), îí

получает:

OT(u2, x2⊕ u2; y1) = u2(1 − y1) ⊕ (x2⊕ u2)y1= u2⊕ x2y1.

Ïðè втором выполнении протокîëà забывчивой переда÷è участники ìå- няютсÿ ролями è второй участник узнает:

OT(u1, x1⊕ u1; y2) = u1(1 − y2) ⊕ (x1⊕ u1)y2= u1⊕ x1y2.

4. Участники âû÷èñëÿþò çíàчения:

z1= x1y1⊕ u1⊕ u2⊕ x2y1= x1y1⊕ u1⊕ OT(u2, x2⊕ u2; y1),

z2= x2y2⊕ u2⊕ u1⊕ x1y2= x2y2⊕ u2⊕ OT(u1, x1⊕ u1; y2)

è обмениваютсÿ èìè.

5. Òàê êàê

x · y = (x1⊕ x2)(y1⊕ y2) = x1y1⊕ x1y2⊕ x2y1⊕ x2y2,

òî äëÿ вычисления

x · y

êаждому участнику äîñòаточно найти

z1⊕ z2.

Замечание 16.

Â приведенноì âûøå протокоëå участники, âûïîëíÿ- þùèå произведение, íå знают значения ñàìèõ умножаеìûõ аргументов. Предпоëàãàåòñÿ, ÷òî участнèêè çäåñü  ýòî вычисëèòåëüíûå óñòðîé- ñòâà, â которые загружаются значения аргументов дилероì. Ðîëü äèëå- ðà попеременно âûïîлняют ðåальные участники, владеющие секретными аргументами (ïîльзоватеëè, сервисы, устройства è ò. ï.): сначала â âû- ÷èñëèòåльные устройстâà загружает значения первый дилер, à çàòåì  второй.

Упражнение 37.

Докажите, ÷òî ïîñëå âûïîлнения ýòîãî протокоëà

участники ïîлучают òîëüêî òó информацию, которàÿ указана â òàáë. 3.

Упражнение 38.

Постройте ïðîòîêîë защищенного согласования íà

основе протокоëà защищенного ñложения, ðàññмотренного â ðàçäåëå 4.1.

Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений

(äëÿ òðåõ участников). Указание: представьте значение секреòà каждо- ãî èç äâóõ участников â âèäå суммы òðåõ ÷èñåë (ïî модулюm) è äîáавьте третьего (âñïîмогательного) участника, ïðè ïîìîùè которого можно âûïîëíèòü ïðîòîêîë защищенного ñëîæåíèÿ. Äокажитå, ÷òî построен- íûé протокоë îáладает свойствами ïîлноты è секретности.

4.3. Протокîë вычисления арифметических выражåíèé

Ðàñсмотриì протокîë многосторонних вычисленèé арифметических âû- ðàæåíèé (ПМВАВ), â ðàìêàõ êоторого êаждый èçnучастникîâ íà âõîä протокîëà передает çíàчение, принадлежàùåå ïîëþ

, à íà âûõîäå ïîëó-

÷àåò çíàчение, òàêæå ïринадлежàùåå этому ïîëþ. Другим словами, åñëè

xi секрет, известный участнику ñ номером

i(∈ [n])

, òî рассматриваемый

протокîë вычисляет отображåíèå:

f: F

n q

→ F

n q

(4.2)

(x1, ..., xn) 7→ (y1, ..., yn).

Áóäåìпредполагàòü, ÷òî ýòî отображåíèå реализуåòñÿ

àðèôметической ñõå-

ìîé

, êоторая представляет собой íàïðавленный ãðàô áåç циклов. Â òàêîì графе êаждая вершина (øëþç) èìååò íå более äâóõ âõîдящих ребер (соеди- нительных линий). Среди вершин имеетсÿnвходных

вершин áåç âõîдящих ребер è ñ îäíèì èñõîдящим ребром; ýòè вершины соответствуют участни- êàì, êоторые передают ïî èñõîдящим èç ýòèõ вершин линиям связи ñâîè секреты. Âõîäíûå вершины помечаютсÿ номерами участникîâ. Кроме âõîä- íûõ вершин èìåþòñÿ вершины, êоторые соответствуют операциям ñëîæå- íèÿ è óìíîæåíèÿ (ýòè шлюзы имеют соответственно метки ¾+¿ è ¾·¿). Òà- êèå вершины имеют ïî äâà âõîдящих ребра è ïî íåñêîëüêî èñõîдящих ðå- áåð. Â графе òàêæå могут áûòü шлюзы, â êîòîðûõ выполняетсÿ óìíîæåíèå âõîдного çíàчения íà íåêоторую êîíñòàíòóα; òàêèå вершины имеют метку

α·

, ñîäåðæàò îäíî âõîдящее ребро è íåñêîëüêî èñõîäÿùèõ. Каждому участ-

íèêó òàêæå соответствуåò îäíà

выходная

вершина; òàêàÿ âåðøèíà íå имеет èñõîдящих ребер è имеет îäíî âõîдящее ребро. Çíàчение, передаваемое ïî âõîдящему ребру âûõîäíîé вершиныi-îãî участникà, полагàåòñÿ равным çíàчению, êоторое получает ýòîò участник â ðåçóëüòàòå исполнения ïðî- òîêîëà многосторонних вычислений. Вычисление íà арифметическîé ñõåìå выполняетсÿ следующим образом:

•

äëÿ êаждого

i ∈ [n]

ребро, èñõîдящее èç âõîäíîé вершины ñ ìåòêîé

, помечаетсÿ çíàчением ñåêðåòà участникài;

4.3. Протокîë вычисления арифметических выражåíèé

•

îñòальным ребрам присваиваютсÿ метки â соответствии ñ ïîðÿäêîì

вычисления арифметических выражåíèé.

Пример 24.

Отображению

f: F

→ F

âèäà

yi= x1+ x2· x3, i = 1, ..., 3

(4.3)

соответствует àðèôметическая ñõåìà íà ðèñ. 3.

out

Ðèñ. 3.

Арифметическàÿ ñõåìà, соответстâóþùàÿ отображåíèþ (4.3)

Определение 44.

Пусть

P = [n]

 множество участников,Ω ïî-

роговая

(n, t + 1)

-ñõåìà Шамирà. Симвоëîì

[a; f]tобозначим множество

äîëåé

(f(1), ..., f (n))

, вычисëåííûõ â протокоëå

ñõåìû Шамирà ñ

ïîмощью ïîëèíîìà

f(z)

степени íå âûøåt, ãäå

f(0) = a

. Иногда äëÿ óäîá-

ñòâà áóäåì ïèñàòü

[a; f]

. Отметим, ÷òî запись

[a; f]t, ñ одной стороны,

описывает объект (набор äîëåé секрета), à ñ другой стороны, ýòà запись является утверждениåì, ÷òî

deg(f(z)) 6 t.

Используÿ ñòандартные обозначения äëÿ ïîêомпонентного ñëîæåíèÿ,

óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð è ïðоизведения Øóðà, получим äëÿ ëюбого

α ∈ F

следующие равенства:

[a; f]t+ [b;g]t= (f(1) + g(1), ..., f(n) + g(n)),

α[a; f ]t= (αf(1), ..., αf(n)),

[a; f]t? [b;g]t= (f(1)g(1), ..., f (n)g(n)).

(4.4)

Упражнение 39.

Докажите ñледующую ëåììó.

Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений

Лемма 13.

Пусть

f, g ∈ Fq[z],deg(f(z)) 6 t,deg(g(z)) 6 t,f(0) = a

g(0) = b

. Òîãäà

[a; f]t+ [b;g]t= [a + b; f + g]t,

α[a; f ]t= [αa; αf ]t,

[a; f]t? [b;g]t= [ab; f g]2t.

(4.5)

Ãîâîðÿò, ÷òî

участникiðаспредеëÿåò

[a; fa]t, êîãäà îí случайно âû-

бирает òàêîé полином

fa(z)

, ÷òî

fa(0) = a

, è передает (ïî защищенным

êаналам) çíàчения

fa(j)

участнику ñ номеромj,

j = 1, ...,n

. Êîãäà âñå участники получили äîëè, соответствующие секретуa, полученные ñ ïîìî- ùüþ полинома

fa, ãîâîðÿò, ÷òî

участники владеют набороì

[a; fa]t. Ïóñòü

участники владеют наборами

[a; fa]tè

[b; fb]t. Ãîâîðÿò, ÷òî

участники âû-

÷èñëÿþò

[a; fa]t+[b; fb]t, êîãäà êаждыйучастнèêiвычисляет

fa(i)+fb(i)

. Ïî

лемме 13 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî участникè владеют набором

[a+b; fa+fb]t. Анало-

гично определяютсÿ понятия вычисления çíàчений

α[a; fa]tè

[a; fa]t?[b; fb]t.

Замечание 17.

Íàïîìíèì, ÷òî вычисление отображенияfпроизво- дится ñ ïîмощью àðèôìåòической ñõåìû. Â àðèôметической ñõåìå, ïðåä- ставленной ãðàôîì, каждоìó ребру присваивается вычисленное значение. Â ðамках ðàññматриваеìîãî далее протокоëà, åñëèa присвоенное íåêî- òîðîìó ребру значение, òî считается, ÷òî âñå участники владеют íàáî- ðîì

[a, fa]t, ãäå

fa(0) = a

4.3.1. Протокîë вычислений

Протокîë многосторонних защищенных вычислений состоит èç òðåõ ôàç:

1) ôàçà распределения долей, 2) ôàçà арифметических вычислений è 3) ôà- çà восстановления âûõîäíûõ çíàчений. Предполагàåòñÿ, ÷òî

t < n/2

Ôàçà распределения äîëåé

. Íà ýòîé ôàçå êаждый участникièç

ìíîæества

P = [n]

, владеющий секретом

xi, распределяет

[xi; f

]t.

Ôàçà арифметических вычислений

. Выполнять следующие øàãè äî òåõ ïîð, ïîêà âñå шлюзы íå áóäóò обработàíû (после ÷åãî перейти íà следующую ôàçó): 1) рассмотреть очередную â вычислительном ïîðÿäêå вершину (øëþç), êоторая åùå íå обработàíà; 2) â зависимости îò метки ýòîé вершины выполнить соответствующее действие.

•

Äëÿ метки ¾+¿ выполниòü

ñëîæåíèå

. Åñëè âõîдящие â вершину ñ

ìåòêîé ¾+¿ ребра имеют ìåòêèaèb, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

âñå

участники

владеют наборами

[a; fa]tè

[b; fb]t. Участники вычисляют

[a; fa]t+ [b;fb]t= [a + b; fa+ fb]

4.3. Протокîë вычисления арифметических выражåíèé

(êаждый участник ñ номером

i(∈ [n])

вычисляет ñóììó

fa(i) + fb(i)

соответствующих долей).

•

Äëÿ метки ¾α·¿ выполнить

óìíîæåíèå íà êîíñòàíòóα. Åñëè âõî-

дящее â вершину ñ ìåòêîé ¾α·¿ ребро имеет меткуa, òî ýòî îçíà÷à- åò, ÷òî

âñå

участники владеют набором

[a; fa]t. Участникè вычисляют

α[a; fa]t= [α · a; α· fa]t(участник ñ íîìåðîì

i(∈ [n])

вычисляет

α · fa(i)

•

Äëÿ метки ¾·¿ выполнить

óìíîæåíèå

. Åñëè âõîдящие â вершину ñ

ìåòêîé ¾·¿ ребра имеют меткиaèb, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

âñå

участники

владеют наборами

[a; fa]tè

[b; fb]t.

1. Участники вычисляют

[a; fa]t? [b; fb]t= [a · b;fa· fb]2t(участник ñ

номером

i(∈ [n])

вычисляет

fa(i) · fb(i)

2. Ïóñòü

h(x) = fa(z) · fb(z)

. Òîãäà

h(0) = fa(0) · fb(0) = ab

è âñå

участники владеют набором

[a · b; h]2t. Òàêèì образом, участник ñ

номеромiвладеет çíàчением

h(i)

3. Каждый участник

i(∈ [n])

распределяет набор

[h(i), fi]t(полином

fi(z)

выбираетсÿi-ûì участникîì случайно òàê, чтобы

fi(0) = h(i)

4. Ïóñòü

r = (r1, ..., rn)

 вектор ðåêомбинацèè äëÿ êоалиции âèäà

P = [n]

(ñì. выражåíèå (2.10)). Òîãäà равенство

h(0) =

i=1

h(i)r

выполняетсÿ äëÿ любого полинома степени íå âûøå

n − 1

. Òàê êàê

t < n/2

, òî

deg(h(z)) 6 n − 1

. Òàê êàê векторrизвестен âñåì участникàì êоалицииP, à òàêæå ê этому моменту âñå участни- êè владеют наборами

[h(i), fi]t, òî âñå участники могут вычислить

n i=1

ri[h(i); fi]t. Íà основе леммы 13 получим

i=1

ri[h(i); fi]t= [

i=1

rih(i);

i=1

rifi]t=

= [h(0);

i=1

rifi]t= [a · b;

i=1

rifi]t, deg(

i=1

rifi(z)) 6 t.

Ôàçà восстановлеíèÿ âûõîäíûõ çíàчений

. Ê íà÷àëó ýòîé ôàçû âñåì ребрам графа арифметическîé ñõåìû присвоены çíàчения, â òîì ÷èñ- ëå è ребрам, âõîдящим â âûõîäíûå вершины. Следовательно, äëÿ ребра ñ ìåòêîéyâñå участники владеют набором

[y; fy]t. Каждый участникjïå-

редает ïî защищенному êаналу участникуiçíàчение äîëè

fy(j)

; участник

Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений

, используÿ протокîë

Recon

ñõåìû Шамира, восстанавливает çíàчениеy.

Отметим, ÷òî äëÿ восстановления çíàченияyäîñòаточно долей îò любых

t + 1

участникîâ è более.

4.3.2. Ñõåìàтичный анализ протокîëà

Полнотà протокîëà следуåò èç ëåììû 13 è определения êоэффициентов ðåêомбинации (2.10). Ïîêàæåì, ÷òî после выполнения протокîëà участники èç êоалицииC,

|C| 6 t

íå получают èíîé информации, кроме òîé, êîòî-

ðóþ áû îíè ìîãëè получить, обладая толькî набором ïàð

{(xi, yi)}

i∈C

, ãäå

xi секрет участникài,

yi çíàчение отображåíèÿ (4.2), êоторое доступно

участникуi. Äëÿ этого используåòñÿ ïîäõîä, называемый

ïàðадигмой ñè-

муляции

(simulation paradigm). Â ðàìêàõ ýòîé парадигмы предполàãàåòñÿ,

÷òî êоалиция имеет набор

{(xi, yi)}

i∈C

áåç âûïîлнения протокоëà

, è ïî- êазываетсÿ, ÷òî íà основе этого набора êоалиция ìîæåò получить толькî òå данные (сообщåíèÿ), êоторые обозревают участники êоалицииCâ õîäå честного выполнения протокîëà.

Обозна÷èì ÷åðåç

viewiслучайный вектор, êоторый соответствуåò участ-

íèêói. Ýòîò случайный вектор состоит èç секретного çíàчения участникài, случайных чисел, генерируåìûõ ýòèì участникîì â õîäå выполнения ïðî- òîêîëà (òàêèå числа ãåíåðируютсÿ, например, ïðè выполнении протокîëà

ñõåìû Шамира, êоторый используåòñÿ ïðè вычислении арифмети- ÷åñêîé ñõåìû), à òàêæå сообщений, получаемых óчастнèêîìiîò других участникîâ. Äëÿ строгого äîêазательства íåîáõîäèìî ïîêазать, ÷òî ñóùå- ñòâóåò òàêîé âåðîÿòностный

симулятор

(алгоритм)S, êоторый íà основе

набора

{(xi, yi)}

i∈C

çà полиномиальное время выдает вектор, âåðîятност- íîå распределение êоторого совпадàåò ñ распределением случайного векто- ðà

{viewi}

i∈C

. Åñëè òàêîé ñèìóлятор существуåò, òî áóäåì писать

S({(xi, yi)}

i∈C

) ≡ {viewi}

i∈C

(4.6)

Заметим, ÷òî участники êоалицииCмощности íå болееtполучают ñî-

общения äâóõ типов:

Â ôàçå ðаспределения секрета è â ôàçå àðèôметических вычисëå-

íèé

: 1) äîëè èç íàáîðà

[xi; f

]t, êîãäà участникiраспределяет секрет

среди îñòальных участникîâ; 2) äîëè èç набора

[h(i); fi]t, êîãäà ïðè âû-

полнении óìíîæåíèÿ участникiраспределяет çíàчение полинома

h(z)

степени íå âûøå2t, вычисленное íà аргумåíòåi.

Â ôàçå восстановления выходных значениé

: âñå äîëè набора

[yi; f

]t,

i ∈ C

4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ

Òàê êàê â основе рассматриваемого протокîëà лежит

(n, t+1)

-ñõåìà Øà- ìèðà, òî сообщения первого òèïà íå несут êàêîé-ëèáî информации î секре- òàõ äëÿ êоалиции мощностиtè менее: êоалицияCíå получает информации î секретàõ участникîâ èç ìíîæества

P \ C

. Òàêèì образом, èç совершенства ñõåìû Шамира (ñì. теорему 7) следуåò, ÷òî вектор, ñîñòавленный èç долей секретов участникîâ

P \ C

, имеет равновероятное распределение.

Напомним, ÷òî â ôàçå восстановления âûõîäíûõ çíàчений участники

ìíîæества

P \ C

передают участникàì êоалицииCсоответствующие äîëè

èç набора

[yi; f

]t, ãäå

i ∈ C

. Åñëè участникàì êоалицииCизвестно çíà-

чение

yi= f

(0)

(â ðàìêàõ парадигмы ñèìóляции), òî êоалицияCìîæåò

çà полиномиальное время восстановить полином

(z)

è найти òå çíàчения,

êоторые îíà получает îò участникîâ èç ìíîæества

P \ C

. Следовательно, íà ôàçå âîññòановления данных êоалиция мощностиtè менее íå получа- åò новой информации, кроме òîé, êоторую îíà ìîãëà áû получить, владея толькî набором

{(xi, yi)}

i∈C

Òàêèì образом, â ôàçå распределения секретов è ôàçå вычисления ïðî- изведения чисел участники êоалицииCмощностиtè менее íå получают информации î секретàõ других участникîâ, òàê êàê вектор èç долей èìå- åò равновероятное распределение. Следовательно, çíàчения ýòèõ долей îíè могут выбрать ñàìè случайно è равновероÿòíî. Кроме этого, участники êоалицииCмощностиtçà полиномиальное âðåìÿ ïî набору

{(xi, yi)}

i∈C

могут íàéòè толькî çíàчения сообщений, передаваемых участниêàìè ìíî- æества

P \ C

. Следовательно, существуåò òàêîé ñèìóляторS, äëÿ êоторого

выполняетсÿ (4.6).

4.4. Протокîë защищенных вычислений äëÿ обобщенной ËÑÐÑ

Ðàññìîòðèì линейную ÑÐÑΩ, ïîðîжденную монотонной ïîðîждающей программой

M = (Fq, M, e, ψ)

, ãäåM

(d × e)

-матрица,

e = (1, 0, ..., 0)

Ïóñòü

[s; bs]Ω= Mb

T s

, ãäå âåêòîð

bsимеет âèä (3.5). Òîãäà äëÿ äâóõ секре-

òîâ

s, ˆs ∈ Fqимеем

[s; bs]Ω+ [ˆs; bˆs]Ω= Mb

T s

+ Mb

T ˆs

= M(b

T s

+ b

T ˆs

) =

(4.7)

= [s + ˆs;bs+ bˆs]Ω.

Аналогично, äëÿ любого элементàαèç ïîëÿ

получим

α · [s; bs]Ω= α · M b

T s

= M(α · b

T s

) =

= [α · s; α · bs]Ω.

Ãëàâà 4. Протокîëû ìíîгосторонних вычислений

Äëÿ построения протокîëà защищенных вычислений арифметических выражåíèé íåîáõîäèìî òàêæå правило вычисления долей, соответствую- ùèõ произведению секретовaèbèç ïîëÿ

. Â протокîëå многосторонних защищенных вычислений èç раздела 4.3. äëÿ íàõîждения соответствующих долей íåîáõîäèìî óìíîæèòü äîëè секретовaèb(ñì. (4.5), (4.4)). Â обобщен- íîé линейной ñõåìå разделения секретà äîëÿ участникà ìîæåò ñîäåðæàòü более îдного элементà ïîëÿ (ñì. (3.6)), поэтому â общем случае äëÿ äâóõ секретов участник ìîæåò ñîñòавить íåñêîëüêî попарíûõ произведений.

Пример 25.

Åñëè

, a

)è(b

, b

)

 äîëèi-îãî участниêà, ñî- ответствующие секретамaèb, òî ïî ýòèì äîëÿì участникiможет составить девять попарных произведений:

i j

l, j ∈ [3]

. Ëåãêî âèäåòü,

÷òî ýòè попарные произведения ñóòü êîмпоненты векторà

, a

) ⊗ (b

, b

Ïî матрице

M({i})

, соответствующей участникуi, построиì матрицу

M(i) = M ({i}) ⊗ M({i})

. Íà основе матрицы

M =



  

M({1}) ⊗ M ({1})

M({n}) ⊗ M ({n})



  

(4.8)

построим ïîðîждающую монотонную программу

M = (Fq,˜M, e ⊗ e,˜ψ),

(4.9)

ãäå отображåíèå˜ψ

ñòàâèò â соответствие участникуiтолькî строки ìàò-

ðèöû

M({i}) ⊗ M ({i})

. Заметим, ÷òî матрица˜M

состоит èç

e2столбцов.

Число строк ýòîé матрицы обозна÷èì˜d

. Отметим, ÷òî

d =

i=1

|ψ−1(i)|2.

(4.10)

Äëÿ наборов

[s; bs]Ωè

[ˆs; bˆs]Ωрассмотрим операцию

[s; bs]Ω [ˆs; bˆs]Ω=

= (([s; bs]Ω⊗ [ˆs; bˆs]Ω)|

{˜ψ−1(1)}

, ..., ([s; bs]Ω⊗ [ˆs; bˆs]Ω)|

{˜ψ−1(n)}

(4.11)

Вектор (4.11) состоит èçnïîдвекторов, êаждый èç êоторых ìîæåò áûòü найден толькî соответствующим участникîì.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]