Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проектирование и реализация элективных курсов экономико-математической направленности. Учебно-методическое пособие для бакалавров
.pdf
61
Пояснения: игра проводится на итоговом уроке по темам «Начисление
простых и сложных процентов). Класс делится на команды по 5–6 человек.
Каждая из команд относится к одной из отраслей: «ЖКХ», «Продажа товара»,
«Сотовая связь», «Банковские операции», «Руководящие сотрудники». Цели
команд: верно выполнять задания, аргументировать свой ответ, верно выпол-
нять проверку решения команды-соперника. Игра состоит из 3 раундов. Побеждает команда, набравшая максимальное количество баллов.
Раунд 1. «Кто быстрее?»
Необходимо максимально быстро и правильно решить задачи и сдать
полные решения.
«ЖКХ»:
1. В январе тариф на электроэнергию составлял 3 руб. 60 коп. за 1 кВт·ч.
В июле он вырос на 50 %, а в декабря — еще на 50 %. На сколько процентов
изменился тариф по сравнению с январем?
2. Стоимость четырех кубометров горячей воды дешевле тарифа за отоп-
ление (за 1 м
2
) на 8 %. Подсчитайте, на сколько процентов пять кубометров го-
рячей воды стоят дороже, чем тариф за отопление (за 1 м2).
«Продажа товара»:
1. В сентябре 1 кг алычи стоил 60 руб. В октябре алыча подорожала на
25 %. Сколько рублей стал стоить 1 кг алычи после подорожания?
2. Цена на электрический чайник была повышена на 16 %. Затем объяви-
ли распродажу, и цена была уменьшена на 20 %. На сколько процентов изменилась цена чайника по сравнению с первоначальной?
«Сотовая связь»:
1. Менеджер салона сотовой связи решил изучить динамику стоимости
тарифов. В 2014 г. тарифы на сотовую связь 1 и 2 были одинаковыми, а в следующие три года они менялись согласно табл. 14.
Таблица 14
Тарифы на сотовую связь
Тарифы
Годы
2015
2016
2017
1
Рост стоимости на 20 %
Снижение стоимости
на 5 %
Снижение стоимости
на 8 %
2
Снижение стоимости
на 10 %
Рост стоимости на 5 %
Рост стоимости на 10 %
Сравните тарифы в 2017 г.
62
2. При оплате электроэнергии через мобильное приложение взимается
комиссия 5 %. Сумма к оплате обязательно должна быть кратна 10 руб. Аня хо-
чет пополнить счет не меньше, чем на 500 руб. На какую минимальную сумму
она должна осуществить перевод?
«Банковские операции»:
1. Дмитрий взял в банке кредит 12 000 руб. на год под 16 %. Согласно до-
говору, он должен вносить в банк ежемесячно одинаковую сумму денег в счет
погашения кредита. Сумма подобрана таким образом, чтобы через год погасить
кредит полностью. Каков должен быть ежемесячный платеж, если проценты
начисляются один раз при оформлении сделки, сразу на всю сумму кредита?
2. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. Менеджер ма-
газина получил перевод на зарплатную банковскую карту в размере 24 360 руб.
Сколько рублей составляет заработная плата менеджера?
«Руководящие сотрудники»:
1. Среди 300 000 жителей города 70 % не интересуются лыжными гонка-
ми и никогда не смотрят такие соревнования по телевизору. Среди жителей,
интересующихся лыжными гонками, 90 % смотрели по телевизору финальную
гонку этапа «Тур де Ски». Сколько жителей города смотрели эти соревнования
по телевизору?
2. За нарушение общественного порядка и проход в ботанический сад без
билета нарушитель должен быть оштрафован на четверть минимального разме-
ра оплаты труда. Стоимость билета составляет 800 руб., а минимальный размер
оплаты труда равен 11 000 руб. На сколько процентов штраф превышает стои-
мость билета, если при оплате штрафной квитанции в банке нарушителю при-
дется заплатить комиссию 2 %?
Раунд 2. «Аргументы и факты».
Каждая команда решает свою задачу, затем представитель команды (капитан) рассказывает решение задачи у доски, допустив 1 ошибку. Задача
остальных команд — найти эту ошибку и указать на бланке ответов. Если ко-
манда обнаруживает еще ошибки (которые не совершал намеренно докладчик,
но допустил), команде добавляется балл.
«ЖКХ»:
Садовод наполнил 100-литровую бочку водой полностью. Предположим,
что в жару за день вода в бочке испаряется на 7 %. Садовод интересуется,
сколько воды придется долить через 4 дня, чтобы бочка снова была полной?
«Продажа товара»:
В связи с ростом цен принтер подорожал на 44 %. В результате двух объ-
явленных друг за другом распродаж стоимость принтера дважды снизилась на
63
одинаковое количество процентов и оказалась на 19 % меньше первоначальной.
На сколько процентов снижали цену на распродаже?
«Сотовая связь»:
Баланс абонента после пополнения стал 400 руб. За первую неделю ему
начислен определенный процент (кэшбэк) с этой суммы, а со второй недели
кэшбэк увеличен на 4 %. На конец второй недели баланс стал 466,4 руб. Сколь-
ко процентов составил кэшбэк за первую неделю, если денежные средства або-
нентом не расходовались?
«Банковские операции»:
Борис планирует за 5 лет накопить необходимые денежные средства, что-
бы приобрести гараж стоимостью 150 000 руб. Стартовый капитал 90 000 руб.
Один банк предлагает вложить деньги под 8 % годовых, а другой — под 0,5 % в
месяц. Какое предложение следует выбрать Борису [10]?
«Руководящие сотрудники»:
Предприятие по производству стульев выпускало ежемесячно 6 000 изде-
лий. В конце года объемы производства в месяц выросли до 726 изделий. Известно, что в течение года предприятие дважды наращивало темпы производ-
ства на одно и то же число процентов. Найдите это число.
Раунд 3. «Математический кроссворд».
Решают все команды:
31 19
22 0 9 4 15 8 1 3 2 , 5
0 5 7
По горизонтали:
1. Житель Калуги продал гараж за 200 000 руб. и открыл вклад под 3 %
годовых (внутригодовое начисление — полгода). Через 40 лет этот гражданин
снимет деньги со счета и купит наибольшее возможное (исходя из имеющихся
денежных средств) количество таких же гаражей. Сколько денег у него оста-
нется?
2. Товар стоил 200 у.е. Сначала его цену увеличили на p %, а затем
уменьшили на p %, и она оказалась равной 192 у.е. Найдите p.
64
3. Курс доллара в течение двух месяцев возрастал на одинаковое число
процентов ежемесячно, но не более, чем в 1,5 раза. На деньги, полученные от
продажи в начале первого месяца одного доллара, к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в конце первого месяца. Как снизился
(в процентном соотношении) курс рубля за 2 месяца?
По вертикали:
1. Максим получил премию и открыл вклад в размере 30 000 руб. на три
года. Процентная ставка, предложенная банком, оказалась равной 10 % годо-
вых, проценты, выплачиваемые банком в конце каждого года, автоматически
добавлялись к сумме вклада. Определите прибыль от вложенных Максимом
денежных средств.
2. Каким должен быть размер процентной ставки по вкладу, чтобы Илья
за 5 лет успеть накопить 30 000 руб. для покупки туристической путевки, если
на данный момент он располагает суммой в 10 000 руб.?
Разбор задач, подведение итогов, объявление победителей.
6.5. ЛЕКЦИЯ С ЭЛЕМЕНТАМИ БЕСЕДЫ НА ТЕМУ
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СФЕРА ПРИМЕНЕНИЯ»
Для современного уровня развития науки характерно широкое использо-
вание метода моделирования, который подразумевает, что в процессе исследо-
вания можно заменить исследуемую систему (оригинал) каким-то объектом,
возможно и другой природы, сходным с оригиналом по поведению или описа-
нию (моделью).
Давайте подумаем, когда такое бывает необходимо? (Когда невозможно
непосредственно получить знание об объектах или явлениях, или прогнозиро-
вать их из-за сложности, отсутствия полной теории, затратности).
В экономической науке используют в основном математические модели,
описывающие изучаемое явление с помощью математических конструкций:
уравнений, неравенств, функций. Каждое из них характеризует определенную
экономическую взаимосвязь параметров исследуемого явления, отдельные его
свойства и основные условия, в которых протекает процесс или существует яв-
ление.
Что же такое математическая модель? (это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики).
Зафиксируем определения в тетради.
65
Экономическая модель — это формализованное описание экономического процесса или явления.
Как вы считаете, чем будет отличаться экономико-математическая
модель от математической и экономической? (Экономико-математическая
модель — это математическая модель, описывающая какой-либо экономический процесс или явление).
Математические модели имеют ряд преимуществ перед другими видами
моделей. К наиболее важным их преимуществам относят: широкий диапазон
применения, довольно низкую по сравнению с другими видами стоимость их
создания, быстроту получения результатов исследования при условии исполь-
зования электронно-вычислительных машин, возможность экспериментирова-
ния с исследуемым экономическим процессом, возможность проверки правильности выдвинутых предпосылок и условий поставленной экономической
задачи.
При построении экономико-математической модели важно избегать, с
одной стороны, чрезмерного упрощения экономического явления, а с другой —
излишней его детализации и усложнения.
Излишняя детализация приводит к большому количеству переменных,
что существенно затрудняет построение модели, не давая иногда никаких преимуществ в анализе экономических взаимосвязей, превращает модель в необозримую, снижает возможность применения компьютерной техники, имеющей
ограниченную емкость памяти. В свою очередь, излишнее упрощение модели
не отражает реальной действительности. Модель как математический инструмент не должна быть по своей конструкции сложней, чем это требуется при
данной точности исходных данных.
Лучшей моделью экономического явления или процесса является та, которая позволяет получить наиболее рациональное решение. Именно практическая оценка полученных результатов служит окончательным критерием каче-
ства созданной модели.
Целью математического моделирования экономических систем является
эффективное решение задач, возникающих в сфере экономики. На этом этапе
исследование либо заканчивается в случае успеха испытания модели, либо про-
должается, а модель усовершенствуется.
Попробуем определить этапы математического моделирования. Если у
нас есть задача с экономическим содержанием, но нет модели, какой будет
первый шаг? (Построение модели)
1. Построение модели. Это первый этап, на котором задается некий ре-
альный нематематический объект — явление природы, производственный про-
66
цесс, конструкция. Как правило, четкое описание этого объекта, или ситуации с
ним связанной затруднено. Построение модели начинается с определения основных свойств и особенностей явления и понимания их взаимосвязи и взаимодействия. После этого выявленные качественные зависимости переводятся на
математический язык, то есть строится математическая модель.
Модель получена, что делать дальше (мы ведь решаем задачу, помните)?
2. Решение полученной математической задачи, к которой привела мо-
дель. Проводится решение с использованием доступных средств.
После проведенного решения необходимо перевести процесс решения и
ответ на язык экономики.
3. Интерпретация полученных следствий из математической модели.
Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на
языке экономики.
Проводится анализ решения, отбрасываются посторонние решения, если
они появились (например, корни).
4. Анализ проведенного решения. На этом этапе определяется степень со-
ответствия результатов эксперимента и теоретических выводов из модели в
пределах определенной точности.
Можете ли вы привести примеры математических моделей?
- в физике: законы движения, колебания и др.;
- в экономике: формулы для расчета инфляции, суммы вкладов и др.;
- в географии: поверхности и др.
Дополняем ответы, демонстрируем на слайде:
- модель спроса и предложения (график);
- модель хищник-жертва (диаграмма);
- модель сердцебиения.
Помимо уравнений, диаграмм и графиков, математическими моделями
могут выступать неравенства, их системы, функции.
Далее обсудим интересные факты о математических моделях.
1. Психолог Корнельского университета Маной Томас утверждает, что
«из-за чувства дискомфорта, порождаемого большими некруглыми числами, их
значение кажется нам меньше, чем оно есть в действительности. Мы склонны
полагать, что малые числа более точны, поэтому, видя точное большое число,
инстинктивно предполагаем, что оно меньше, чем на самом деле»1. Согласно
этой теории, покупатель заплатит за дорогой продукт больше, если его цена
1
Балманжи И. Удивительные факты из мира математики. URL: https://blog.mann-ivanov-ferber.ru/2015/
07/27/udivitelnye-fakty-iz-mira-matematiki/.
67
представлена некруглым числом. Потому цены на товары в магазинах (особен-
но по акциям) представлены не круглыми числами.
2. В статистических данных примерно 30 % всех чисел начинаются с
единицы. А с 9 начинается лишь каждое двадцатое число. И чем значительнее
набор данных, чем шире порядок охватываемых величин, тем ярче проявляется
эта закономерность.
3. . «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви, или
картина показывает внутреннюю красоту человека, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования»
2
, — математик из Стэнфорда Кейт Девлин
написал эти слова об уравнении в эссе, посвященном анализу математических
уравнений. На это есть ряд причин. Первая: — иррациональное число 2,71828…
Открытое в контексте непрерывно начисляемого сложного процента, оно иллюстрирует темпы экспоненциального роста от колоний популяций насекомых
до радиоактивного распада. Константа оказалась в большом числе важных
уравнений математики и других наук. Вторая: i представляет собой так называ-
емую мнимую единицу — квадратный корень из –1. В реальности таких чисел
не существует. π — отношение длины окружности к ее диаметру, одна из самых популярных констант в математике.
Сегодня вы узнали, что такое математическая модель, для чего она при-
меняется, и какие бывают математические модели.
Заполните, пожалуйста, бланки и сдайте.
Бланк для ученика
Дата
Тема урока
Что нового я узнал(а)
Был ли урок познавательным и полезным
Да Нет
2
Матвейчев О. Пять удивительных математических фактов. URL: https://matveychev-oleg.livejournal.com/
712131.html.
68
7. ПРИМЕР МЕТОДИКИ РАБОТЫ НАД ЗАДАЧЕЙ
Виталий планирует приобрести путевку на юг в начале августа. В настоящее время он располагает только 2/3 от необходимой суммы. Оставшуюся
сумму Виталий планирует накопить, открыв вклад в банке в январе и положив
на счет имеющуюся половину стоимости путевки. Банк предлагает ставку 20 %
годовых с ежеквартальным начислением процентов. Успеет ли Виталий вовремя накопить в банке необходимую сумму? Какая минимальная часть стоимости
путевки должна быть положена в банк, чтобы успеть накопить нужную сумму
при таких условиях?
1. Анализ условия и требования, формализация
Что известно в задаче?
Имеется 2/3 необходимой суммы денег и известна процентная ставка по
вкладу.
Как начисляются проценты?
Ежеквартально.
Как узнать процентную ставку за квартал?
20 % : 4 = 5 % (за квартал).
Что требуется в задаче?
Узнать, получится ли накопить нужную сумму.
Сколько времени есть у Виталия для накопления?
6 месяцев (с января по июнь).
Учитывая, что проценты начисляются ежеквартально, как целесообразнее выразить этот срок?
2 квартала.
Необходимая сумма денег определена?
Нет.
Как можно поступить в случае, когда величина неизвестна?
Обозначить величину за х.
Учитывая, что наша неизвестная величина означает сумму денег, обозначим ее S. Как сформулировать требование в задаче, с помощью S?
Будет ли накопленная сумма равняться S?
Какие значения может принимать S?
S > 0.
Обязательно ли количество накопленных денег должно строго равняться
S, чтобы их хватило?
Нет, нужная сумма может быть больше или равна S.
69
2. Составление математической модели.
Составим математическую модель для решения задачи. Проиллюстриру-
ем рост суммы вклада с помощью табл. 15.
Таблица 15
Рост суммы вклада
Рост вклада
Расчет суммы вклада
Комментарий
Вклад
–
Проценты за первый
квартал
–
Накопления за первый
квартал
Так как Виталий планирует накапливать деньги, то вся сумма переходит
на второй квартал
Проценты за второй
квартал
–
Накопления за второй
квартал (итоговая
сумма накоплений)
Обратите внимание! Так как срок вклада с января по август, то в указан-
ный срок умещается только 2 полных квартала. Учитывая ежеквартальное начис-
ление процентов, за август месяц проценты по вкладу начислены не будут.
Так как накоплений должно хватить для приобретения путевки, то мате-
матическая модель примет вид:
3. Решение внутри модели.
Упростим левую часть выражения:
70
Получим:
Так как S > 0, то
4. Анализ проведенного решения, интерпретация результатов.
Какое неравенство получено?
Неверное.
Что это означает с точки зрения решения нашей задачи?
Необходимую сумму накопить не получится.
Где в решении мы можем увидеть накопленную сумму денег?
Используя эти сведения, переходим ко второму вопросу: Какая минимальная часть стоимости путевки должна быть положена в банк, чтобы успеть
накопить нужную сумму при таких условиях?
1. Составление математической модели.
Как обозначить часть стоимости путевки?
Через какой-либо коэффициент, например k.
Каким образом будет записана накопленная сумма денег?
Как на математическом языке выразить факт, что нужную сумму
удастся накопить?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]