Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проектирование и реализация элективных курсов экономико-математической направленности. Учебно-методическое пособие для бакалавров
.pdf
51
Обратите внимание, что мы проводим исследование функций с помощью
их графиков, поэтому крайне важно знать, как выглядят графики изученных в
курсе математики функций, и какими свойствами обладают сами функции.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 13 млн руб. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75 %. Какая максимальная суммарная
прибыль фирмы возможна, если второе отделение может приносить прибыль от
5 до 10 млн руб.?
2. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия — монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q = 100 – 10 pуб.
Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = qp.
Определите цену p, при которой месячная выручка r(p) может оказаться минимальной.
После решения этих задач ученики обмениваются тетрадями с соседом по
парте для проверки.
3. В процессе исследования выявлено, что функции спроса q(p) и предложения S(p) имеют вид: . Постройте графики функ-
ций спроса и предложения в одной системе координат. Определите:
а) при каком p спрос равен предложению;
б) наибольшее целое p, при котором спрос превысит предложение;
в) наименьшее целое p, при котором предложение превысит спрос.
Подведение итогов урока: функции имеют важное значение для описания
экономических процессов, знание характера поведения функции позволяет
найти решение задачи без трудоемких вычислений. Однако не все функции являются столь простыми, поэтому вопрос о функциях и инструментах работы с
ними требует расширения.
Интеллектуальная игра «Спрос и предложение»
Цель: обобщение и систематизация знаний учащихся, развитие умений
работать в команде, культуры общения.
Организационные замечания: класс делится на команды, в каждой команде до 6 человек.
Игра состоит из 3 туров: разминка, мультимедиа, раунд возможностей.
Задания каждого тура транслируются в презентации.
Дополнительное оборудование: компьютер, проектор.
52
Командам выдаются бланки для ответов. Например, для 1 тура:
Команда № 1 Тур 1
Вопрос 1
Вопрос 2
Вопрос 3
Вопрос 4
Вопрос 5
Вопрос 6
Вопрос 7
Тур 1. Разминка. Каждый верный ответ — 1 балл.
Ответьте на вопросы. Время на обдумывание ответа — 30 с. В конце все
вопросы быстро зачитываются еще раз. Общее время тура 10–12 мин (включая
сбор бланков и оглашение правильных ответов).
1. Равновесная цена в рыночной экономике — это цена совпадения:
а) спроса и предложения; +
б) производства и потребления;
в) производства и сбыта.
2. Цена товара снизится, если предложение товара:
а) снизится, а спрос останется неизменным;
б) останется неизменным, а спрос возрастет;
в) останется неизменным, а спрос сократится. +
3. Зависимость спроса от цены представляет собой:
а) прямую пропорциональность;
б) обратную пропорциональность; +
в) квадратичную функцию.
4. Футболка стоила в магазине 800 руб. В ночь распродаж она стала сто-
ить 680 руб. На сколько процентов подешевела футболка?
а) 15; +
б) 17;
в) 21.
5. По имеющимся данным определить равновесные цену и количество,
используя графический метод.
Р, руб.
5
20
Qd, спрос 8 2
Qs, предложение 2 5
а) 8;
б) 4; +
в) 6.
53
6. Как отреагируют продавцы иностранных автомобилей на понижение
импортных пошлин на их товар? Ответ обоснуйте:
а) предложение увеличится; +
б) предложение уменьшится.
7. Функция спроса на благо Qd = 15 – Р, функция предложения Qs = –9 +
3Р. Определите равновесие на рынке данного блага. Что произойдет с равнове-
сием, если объем спроса уменьшится на 1 единицу при любом уровне цен?
а) уменьшится на 0,25; +
б) увеличится на 0,25;
в) уменьшится на 0,5.
Тур 2. Мультимедиа.
Время на обдумывание ответа — 1 мин. Общее время тура 7–10 мин:
1. Восстановите элементы графиков кривых спроса и предложения:
2. Укажите, где на графике излишек товара, а где — дефицит:
3. Какие слова и символы скрыты за белыми прямоугольниками?
54
4. Какие слова и символы скрыты за белыми прямоугольниками?
Тур 3. Раунд возможностей.
Время на обдумывание ответа — 2 мин. Общее время тура 15–20 мин.
1. (2 балла) Записать функцию предложения, если графиком является
прямая, проходящая через две точки А(р = 3; Q = 10); В(р = 9; Q = 70), где р —
цена в руб., а Q — количество в штуках. (QS = 10р – 20.)
2. (2 балла) В табл. 11 представлены данные о ценах, объемах спроса и
предложения товара У. Начертите кривые спроса и предложения и определите
равновесную точку. Найдите, каким будет равновесие, если предложение вырастет.
Таблица 11
Цены, объем спроса и предложения товара У
Цена
Объем спроса
(Qd)
Объем
предложения (Qs1)
Объем
предложения (Qs2)
100
10 2 4
120 9 3
6
140 8 4
8
160 7 5
10
180 6 6
12
200 5 7
14
3. (3 балла) Компания производит фонари для кемпинга и продает свою
продукцию по цене p = 500 руб. за шт. При этом стоимость производства одного
фонаря составляет v = 300 руб., постоянные расходы компании f = 700 000 руб.
месяц. Прибыль (в рублях), которую получает компания за месяц, вычисляется
по формуле π(q) = q(p – v) – f. Выясните, каким должен быть объем производства q (единиц продукции) за месяц, если месячная прибыль компании будет
равна 300 000 руб. (5 000).
55
4. (3 балла) Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию
предприятия от цены p (тыс. руб.) заедается формулой q = 100 – 10p. Выручка
предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = qp. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее
240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. (6).
5. (4 балла) Завод по производству чистящих средств выпускает средство
для очистки труб в двух видах упаковок: в пауч-упаковках и в бутылках. За
сутки завод может выпустить 9 ц средства в бутылках или 8 ц в пауч-упаковке.
Торговые представители поставили условие производства не менее 2 ц средства
в каждом из видов упаковки. В табл. 12 приведены себестоимость и цена завода
за 1 ц продукции для обоих видов упаковки.
Таблица 12
Себестоимость и цена завода за 1 ц продукции
для разных видов упаковки
Упаковка
Себестоимость, 1 ц
Цена, 1 ц
Бутылка
15 000 руб.
21 000 руб.
Пауч-упаковка
11 000 руб.
17 500 руб.
Если всё произведенное средство будет продано, какую максимальную
суточную прибыль можно ожидать? (535 000)
6. (4 балла) Производство x тыс. упаковок семян газонной травы обхо-
дится в q = 0,5x2 + x + 7 млн руб. в год. При цене p тыс. руб. за упаковку прибыль от продаж за год (в млн руб.) составляет px − q. Какое наименьшее значение может принимать p, чтобы через три года суммарная прибыль составила
хотя бы 75 млн руб.? (9)
6.2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ С ЭЛЕМЕНТАМИ ВЕБ-КВЕСТА
«ПРОЦЕНТЫ И БАНКОВСКИЕ ОПЕРАЦИИ»
Задание 1. Составьте математическую модель для данной задачи:
1. Вам предлагают открыть вклад в банке и положить на него 120 тыс. руб.
На данный вклад начисляется 6 % от внесенной суммы. Какая сумма будет на
счете через 5 лет?
56
Задание 2. Решите следующие задачи.
1. Некто купил лошадь и, спустя некоторое время, продал ее за 24 писто-
ля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь.
Спрашивается: за какую сумму он ее купил?
2. Что выгоднее и насколько: положить в банк на 2 года 10 тыс. руб. под
10 %, либо положить в банк на 2 года 50 тыс. руб. под 4 %? Решение представь-
те в виде табл.:
Вклад 10 %
Вклад 4 %
расчет
результат
расчет
результат
1 год
2 год
прибыль
Задание 3. Элементы веб-квеста (может использоваться компьютер либо
смартфон):
1. Найдите текст произведения А.С. Пушкина «Капитанская дочка». В до-
кументе найдите, сколько стоил заячий тулупчик, подаренный за оказанную
помощь в поиске дороги Емельяну Пугачеву. По ценам настоящего времени за-
ячий тулупчик стоит 140 000 российских руб. Определить на сколько процентов увеличилась цена тулупчика с 1773 г.
2. Найдите текст романа М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы».
В тексте найдите такой эпизод о Порфирии Владимировиче: «На этот раз его
занимает вопрос: “Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька
Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей
ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолет-
него Порфирия?”». В тексте эпизода найдите, какую сумму высчитал Порфи-
рий Владимирович, и высчитайте, сколько процентов в год платил ломбард,
предположив, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года?
3. (Дополнительное.) С помощью справочно-правовой системы «Кон-
сультант плюс» выясните, на сколько процентов минимальный размер оплаты
труда отличается от средней заработной платы в регионе?
Задание 4. (Дополнительное.) В некотором государстве сменилось руко-
водство и произошел рост цен на 150 %. Сторонники прежнего руководства
требуют возврата к прежним ценам. На сколько процентов для этого необходи-
мо снизить новые цены?
57
6.3. СИСТЕМА ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
(ДЛЯ ТЕМЫ «КРЕДИТЫ»)
В структуре задачи, как компоненте мыслительной деятельности, выде-
ляются:
- условие (У) — предметная область задачи и отношения между объектами;
- обоснование (базис) (О) — теоретические или практические основы пе-
рехода от условия к заключению, что составляет решение задачи;
- решение (Р) — совокупность действий, операций, которую надо произ-
вести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выражен-
ное в заключении;
- заключение (З) — требование отыскать неизвестные компоненты, про-
верить правильность, сконструировать, построить, доказать.
Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ. Если один из
компонентов неизвестен, то в его обозначении для данного типа задач присутствует символ х. Если неизвестны два компонента, то в их обозначении для дан-
ного типа задач присутствуют символы х и y. Если неизвестны три компонента,
то в их обозначении для данного типа задач присутствуют символы х, y и z.
Обучающие задачи:
1. УОРх.
Фирма взяла кредит в сумме 200 млн руб. сроком на один год под 15 %
годовых. Определите погашаемую сумму кредита.
Клиент получил кредит сроком на три месяца в 2 млн руб. Сумма возвра-
та кредита 2,25 млн руб. Определите годовую процентную ставку банка.
2. УОхЗ.
Два банкира купили одинаковые ценные бумаги на сумму 3 640 руб. Когда цена на эти бумаги возросла, они продали часть акций на сумму 3 927 руб.
Первый банкир продал 75 % своих бумаг, а второй 80 % своих. При этом сумма
от продажи бумаг, полученная после сделки вторым банкиром, оказалась на
140 % больше суммы, полученной первым банкиром. После сравнений оказалось, что цена одной бумаги возросла на 37,5 %. Как был выполнен расчет?
3. УхРЗ.
Виктор взял кредит в банке 31 января с условием его погашения таким
образом, чтобы ежемесячно долг уменьшался равномерно (на одну величину).
Месячная процентная ставка составила 18 %, срок кредитования — полгода.
Начисление процентов происходит 25 числа каждого месяца, а выплаты —
58
30 числа. После погашения кредита выяснилось, что общая сумма выплаченных
средств на 63 % превысила сумму кредита. Какая схема погашения кредита —
аннуитетная или с дифференцированными платежами?
4. хОРЗ.
Используя следующие факты, составьте задачу и экономико-математическую модель.
Есть некоторая сумма денег и процент по вкладу 20 % годовых. Часть де-
нежных средств после года снимается со счета. Остальная часть остается по
60 % годовых. Еще через год сумма в 1,44 раза превысила первоначальный
вклад.
Поисковые задачи:
1. УхуЗ.
Предполагается инвестировать в старт-ап проект 10 млн руб. В течение
четырех лет ожидается ежегодный прирост прибыли в объеме 15 %. Получен-
ная прибыль остается инвестированной в проект, проценты начисляются в кон-
це года. Однако, согласно расчетам, после начисления процентов необходимы
дополнительные инвестиции: целое число n млн руб. в первый и второй годы и
целое число m млн руб. в третий и четвёртый годы. У инвестора есть цель уве-
личить начальные вложения хотя бы в два раза за первые два года и увеличить
начальные вложения хотя бы в три раза за весь период сделки. При какие
наименьших значениях m и n это возможно?
2. УОху.
Дмитрий Иванов в честь рождения сына открыл 1 декабря 2015 г. в банке
вклад, который он каждый год пополняет на 10 000 руб. По условиям вклада
банк ежегодно начисляет 10 % на остаток средств. Через 4 года у гражданина
Иванова родился второй сын, и 1 декабря 2019 г. он открыл в другом банке
вклад под 12 % годовых, который ежегодно пополняет на 12 000 руб. Операций
снятия наличных не производится. Через сколько лет после открытия второго
вклада суммы на вкладах окажутся одинаковыми?
3. хОРу.
Банк готов предоставить Оле кредит на 19 месяц со следующими усло-
виями:
- оформление сделки должно пройти 15 января;
- месячная процентная ставка составляет r %, проценты начисляются
1 числа месяца;
- со 2-го по 14-е число денежные средства поступают от Оли в счет ча-
стичного погашения кредита;
59
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца [10].
Если полная выплаченная сумма после окончательного погашения креди-
та на 30 % больше суммы, взятой в кредит, какова процентная ставка?
4. хуРЗ.
Банк выдал кредит на срок 9 месяцев с ежемесячной процентной ставкой
12 %. Сумма долга в конце каждого месяца уменьшается на одну и ту же вели-
чину за счет платежей по кредиту. Определите, сколько процентов составила
переплата?
5. УхРу.
31 декабря 2014 г. Михаил оформил кредит в банке. 31 декабря каждого
следующего года долг увеличивается на а %, затем Михаил переводит очередной платеж. Если он будет выплачивать каждый год по 328 050 руб., то погасит
долг за 4 года. Если по 587 250 руб., то за 2 года [10]. Найдите а.
6. хОуЗ.
В августе 2021 г. планируется взять кредит в банке на пять лет в размере
S тыс. руб. под 20 % годовых (проценты начисляются в январе). Условия его
погашения таковы:
- с февраля по июль каждого года необходимо погасить часть долга;
- в августе 2022, 2023 и 2024 долг остаётся равным S тыс. руб.;
- выплаты в 2025 и 2026 гг. равны по 360 тыс. руб.;
- к августу 2026 г. долг будет выплачен полностью.
Определите, сколько денег будет выплачено банку за 5 лет.
Проиллюстрируйте ваше решение таблицей погашения кредита [10].
Проблемные задачи:
1. Уxyz.
Ольга хочет оформить кредит на 100 000 руб. под 10 % годовых. Сумма в
счет погашения кредита выплачивается один раз в год после начисления процентов и подбирается так, чтобы все суммы, кроме последней, были одинаковыми. На какое наименьшее количество лет может быть оформлен кредит, что
годовые выплаты составляли не более 24 тыс. руб.? [10].
2. xОyz.
Планируется выдать кредит на особых условиях на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита банк увели-
чивает долг заёмщика на 20 % по сравнению с началом года. В конце каждого
из первых трех лет банку выплачиваются только проценты по кредиту, а основной долг при этом не изменяется. За следующие два года долг погашается рав-
60
ными суммами полностью. Как рассчитать наименьший размер кредита, при
котором сумма выплаченных денежных средств превысит 10 млн [10].
3. xyРz.
Николай Петрович обнаружил на своем компьютере документ, открытый
супругой — таблицу выплат и начисления процентов по кредиту (табл. 13).
Таблица 13
Таблица выплат и начисления процентов
Какую сумму кредита и на каких условиях (процентная ставка, сумма погашения, размер годового платежа) планирует оформить супруга Николая Пет-
ровича? Составьте задачу по имеющимся данным.
4. xyzЗ.
Известны две суммы платежей: 56 595 руб. и 81 095 руб., и процентная
ставка 10 %. На основе этих данных составьте задачу о потребительском кредите и решите ее.
6.4. ДЕЛОВАЯ ИГРА НА ТЕМУ «НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ»
Цели:
- образовательная: закрепление знаний по теме «Простые и сложные
проценты», контроль формирования умений по решению задач с использовани-
ем формул простых и сложных процентов, формирование навыков использования метода математического моделирования;
- развивающая: развитие умений по использованию таких мыслительных
операций, как «анализ», «абстрагирование», «синтез»;
- воспитательная: формирование умений работать в группе, формирова-
ние культуры общения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]