Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проектирование и реализация элективных курсов экономико-математической направленности. Учебно-методическое пособие для бакалавров
.pdf
41
5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ
«ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ»
Задача 1. Завод по производству компьютеров выпускает мышки, клавиатуры и игровые видео-джойстики. В табл. 6 представлены прибыль, трудовые
затраты и машинное время, необходимые на изготовление одного изделия, и
ежемесячный спрос на изделия.
Таблица 6
Ресурсы, необходимые на изготовление
одного изделия, и ежемесячный спрос на изделия
Ресурсы
Мышки
Клавиатуры
Джойстики
Прибыль с единицы изделия, ден. ед.
80
110
90
Трудовые затраты на единицу изделия, час.
0,2
0,3
0,24
Машинное время на единицу изделия, час.
0,04
0,055
0,04
Ежемесячный спрос, ден. ед.
15 000
25 000
11 000
Ежемесячно доступно 13 000 ч трудовых ресурсов и 3 000 ч машинного
времени. Как получить максимальную прибыль от этого завода?
Задача 2. Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четы-
рех средств: телевизора, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приво-
дят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 ден. ед. в расчете на
1 ден. ед., затраченную на рекламу.
Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчин ено следующим ограничениям. Полный бюджет не должен превосходить
500 000 ден. ед.; следует расходовать не более 40 % бюджета на телевидение и
не более 20 % бюджета на афиши; вследствие привлекательности для подрост-
ков радио на него следует расходовать, по крайней мере, половину того, что
планируется на телевидение.
Каким должно быть распределение средств по источникам, чтобы при-
быль была максимальной?
Задача 3. Имеются три элеватора, в которых сосредоточено соответ-
ственно 4 200, 1 200 и 3 000 т зерна. Зерно необходимо перевезти пяти хлебозаводам в количестве 1 500, 2 700, 1 600, 1 400 и 1 400 т каждому. Значения стоимости перевозки 1 т зерна от элеваторов до хлебозаводов указаны в табл. 7.
42
Таблица 7
Стоимость перевозки 1 т зерна от элеваторов
до хлебозаводов
Элеваторы
Хлебозаводы
А Б В Г Д I 20
30
50
10
40
II
60
20
40
20
30
III
50
45
25
15
60
Спланируйте перевозки зерна на условия минимизации транспортных
расходов.
Задача 4. Промышленное предприятие производит средство для мытья
пола и средство для чистки ковров. Выпуск одной тонны средства для пола
приносит предприятию прибыль в размере 50 ден. ед., а выпуск одной тонны
средства для чистки ковров — 80 ден. ед. Для выполнения условий ассорти-
ментности необходимо выпустить не менее 400 т средства для пола и не менее
200 т средства для ковров. Предприятие рассчитывает получить прибыль не
менее 40 тыс. ден. ед. В связи с тем, что производство приводит к образованию
вредных отходов, согласно государственному указу, их количество требуется
свести к минимуму, если при выпуске одной тонны средства для пола образует-
ся 0,5 т вредных отходов, при выпуске одной тонны средства для ковров —
1,2 т вредных отходов. Определите объемы производства при соблюдении всех
указанных условий.
Задача 5. Мастер должен назначить на 6 типовых операций 8 рабочих.
Время, которое тратит каждый рабочий на выполнение каждой операции, при-
ведено в табл. 8.
Таблица 8
Время, затрачиваемое на операции
Рабочие
Операции
О1
О2
О3
О4
О5
О6
Р1
29
31
16
16
17
34
Р2
29
25
22
30
24
31
Р3
27
32 – 14
34
30
43
Рабочие
Операции
О1
О2
О3
О4
О5
О6
Р4
21
35 5 32 – 28
Р5
21
36 – 14
24
30
Р6
28
35
25
30
22
16
Р7
27
34
33
26
14
19
Р8
27
34
27
30
37
37
Примечание: знак «–» означает, что этот рабочий не может выполнять данную операцию. Определить расстановку рабочих по операциям, при которой суммарное время на вы-
полнение работ будет минимальным.
Затем решите задачу с аналогичным условием, учитывая, что каждый ра-
бочий может выполнять не более одной операции.
В завершении разработанная программа элективного курса проходит
процедуру рецензирования и может быть использована в учебном процессе.
44
6. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ»
ДЛЯ 10 КЛАССА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО
ПРОФИЛЯ ОБУЧЕНИЯ
Пояснительная записка
В программе данного элективного курса рассмотрены отдельные темы
математики и их приложение к решению задач экономического характера. Данный курс не дублирует, а дополняет школьный курс математики, являясь, кроме
того, информационной поддержкой выбранного профиля обучения.
В процессе работы по изучению данного курса ученики овладевают новыми знаниями, обогащают и применяют свой личный опыт, развивают коммуникативные способности, овладевают умениями, связанными с работой с ин-
формацией.
Знания и умения, приобретенные в результате освоения курса, удовлетворяют индивидуальные образовательные интересы, потребности и склонности
школьников, могут служить основой для дальнейшего изучения, как математики, так и экономики в высших учебных заведениях, способствуют социализа-
ции личности и осознанному выбору профессии в будущем.
Представленный элективный курс обладает практической значимостью,
раскрывает интеллектуальные способности обучающихся, способствует развитию познавательного интереса, а также демонстрирует практическое применение полученных знаний в области математики и экономики, позволяя углубить-
ся в выбранное направление профессиональной деятельности.
В результате изучения данного элективного курса происходит формирование способности учащихся применять полученные знания на практике, в том
числе планировать и проектировать свою деятельность с учетом конкретных
жизненных ситуаций.
Программа составлена для 10 класса социально-экономического профиля.
Программа рассчитана на 1 год обучения. Занятия проводятся 1 раз в неделю по
1 ч. Учебно-тематический план представлен в табл. 9.
Формы занятий — лекции с элементами беседы, эвристические беседы,
практические работы, деловые и интеллектуальные игры. Также возможен
промежуточный и итоговый контроль усвоения материала при помощи тестов,
самостоятельных индивидуальных и групповых работ. Содержание курса приведено в табл. 10.
45
Цели курса: интеллектуальное развитие учащихся, изучение взаимосвязи
математики и экономики с целью развития познавательного интереса, усвоения,
углубления и расширения знаний, формирование качеств мышления, необхо-
димых в современных социально-экономических условиях.
Задачи:
- получение теоретических знаний и навыков для построения математиче-
ских моделей, используемых в экономике;
- формирование умений по применению математического аппарата для
решения экономических задач;
- ознакомление с профессиями, требующими экономико-математических
знаний;
- формирование предприимчивости и экономической грамотности;
- совершенствование умений применять такие мыслительные операции,
как «анализ», «синтез», «абстрагирование».
Образовательные результаты.
Учащиеся должны знать:
- основные понятия курса: налог, наценка, спрос, предложение, произво-
дительность труда и др.
- примеры математических моделей, используемых в экономике;
- структуру метода математического моделирования.
Учащиеся должны уметь:
- пояснять и обосновывать, какой математический аппарат будет исполь-
зован для конкретной экономической задачи или ситуации;
- применять основные понятия, формулы, способы действий;
- извлекать информацию из таблиц и графиков, анализировать получен-
ные данные;
- решать основные задачи на вычисление прибыли, себестоимости, рента-
бельности, величины налога, простых и сложных процентов и др.
Таблица 9
Учебно-тематический план
Тема учебного занятия
Количество часов
Теория
Практика
Математические модели в профессиональной деятельности специали-
ста в сфере экономики
–
1
Математическое моделирование: определение, сфера применения
1
–
Производство: налоги на прибыль, рентабельность, производитель-
ность труда
1
1
46
Тема учебного занятия
Количество часов
Теория
Практика
Математические функции в экономике
1
–
Примеры использования линейной, квадратичной и дробнорациональной функции
–
1
Функция спроса и предложения
1
2
Рыночное равновесие
1
1
Проценты и банковские операции
1
2
Простые проценты и арифметическая прогрессия
2
2
Начисление простых процентов (за различные периоды)
2
2
Начисление сложных процентов (за различные периоды)
2
3
Кредиты и их выплата
2
3
Проект – 2
Всего
14
20
Итого
34
Таблица 10
Содержание элективного курса
Раздел курса
Изучаемые вопросы
Формы работы
Математические модели в
профессиональной деятельности специалиста в сфере
экономики
Профессии в экономической
сфере.
Необходимые компетенции
сотрудников.
Применение математических
моделей для решения про-
фессиональных задач
Семинар-обсуждение
Математическое моделирование: определение, сфера
применения
Определение, специфика,
возможности применения
математического моделиро-
вания.
Математические модели в
экономике
Лекция с элементами беседы
Производство: налоги на
прибыль, рентабельность,
производительность труда
Расчет себестоимости, прибыли и рентабельности орга-
низации.
Вычисление налогов
Деловая игра, практикум
Математические функции в
экономике
Необходимость использования функций, разделы экономики, в которых применяются математические
функции
Лекция
47
Раздел курса
Изучаемые вопросы
Формы работы
Примеры использования линейной, квадратичной и
дробно-рациональной функции
Решение задач с экономическим содержанием, приводящих к исследованию линейной, квадратичной и
дробно-рациональной функции
Практикум
Функция спроса
и предложения
Описание функций спроса и
предложения
Лекция с элементами беседы.
Интеллектуальная игра
«Спрос и предложение».
Практикум по решению задач
Рыночное равновесие
Нахождение точки рыночно-
го равновесия.
Равновесная цена
Проблемная лекция.
Самостоятельная работа
Проценты и банковские опе-
рации
Процент.
Начисление процентов
Лекция.
Практическое занятие с эле-
ментами веб-квеста.
Дискуссия
Простые проценты и ариф-
метическая прогрессия
Вклады. Кредиты.
Простые проценты.
Годовая процентная ставка.
Формула простых процентов
Лекция.
Практикум
Начисление простых процентов (за различные периоды)
Формулы для расчетов.
Процентная ставка за месяц и
день.
Лекция.
Практикум
Начисление сложных процентов (за различные перио-
ды)
Начальный вклад, годовая
ставка, срок хранения, окон-
чательная величина вклада
Лекция.
Практикум.
Деловая игра
Кредиты и их выплата
Схемы выплаты кредитов.
Процентная ставка по кредиту
Лекция.
Практикум
Материал для мотивации
Пробуем ответить вместе с учениками на вопрос: используется ли математика для изучения физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитарных и других явлений? И каким образом. Далее говорим о
расчетах, построениях графиков (делаем акцент на различной рекламной про-
дукции в том числе — диаграммы, баннеры, формулы со скидками). Обобщаем
ответ: это происходит с помощью построения и анализа математических моде-
лей явлений и объектов.
48
Далее говорим о том, что мы остановимся на экономико-математических
моделях (т.к. сектор экономики один из ключевых, с которым мы сталкиваемся
каждый день), затем — об использовании таких моделей в жизни. Они необходимы, например, в следующих ситуациях:
- чтобы рассчитать, сколько рулонов обоев необходимо для ремонта;
- чтобы определить, достаточно ли денег для покупки;
- чтобы оценить экономию при отказе от каких-либо постоянных / перио-
дических трат (например, от каждодневной покупки чипсов или шоколадки по
пути из школы) и т.д.
Делаем вывод о том, что в повседневной жизни экономико-математические
модели распространены, и будет крайне полезным знать о них больше. Попутно
обсуждаем профессии специалистов в области экономики, упоминаем биржи,
торги, финансовых аналитиков (и их существенные зарплаты).
Можно сказать о том, что, работая с числовыми значениями, приходится
сталкиваться с неожиданными вещами, например: «Имеется 100 кг картофеля,
влажностью 99%, который хранится на складе и стоит 30 у.е. за килограмм. По-
сле изменения условий хранения картофель высушивается до 98 % влажности.
На сколько процентов изменилась стоимость картофеля?». Ответ 50 %. Или:
«По ошибке менеджера все цены на товары в магазине были подняты на 300 %.
На сколько процентов необходимо их снизить, чтобы вернуться к прежним це-
нам?». Ответ 75 %. Без понимания математической модели, лежащей в основе
решения подобной задачи, трудно пояснить такие, на первый взгляд, неправдо-
подобные результаты.
6.1. ПРАКТИКУМ «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ,
КВАДРАТИЧНОЙ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ»
Цель: формирование умений по использованию свойств функций для ре-
шения задач с экономико-математическим содержанием, формирование умений
по применению метода математического моделирования к решению задач; раз-
витие таких мыслительных операций, как анализ, абстрагирование, обобщение.
Задачи и методика работы над ними.
Задача 1. Расстояние между двумя фермами А и В по шоссейной дороге
50 км. На ферме А надаивают 100 т коровьего молока в сутки, на ферме В —
80 т коровьего молока. Где целесообразно построить завод по переработке мо-
49
лока, чтобы для его перевозки количество тонно-километров было наименьшим, если завод нельзя строить ближе, чем в 5 км от фермы?
1. Анализ условия и требования. Известно расстояние, производитель-
ность. Далее поясняем, что такое тонно-километры (единица измерения, при-
меняемая при перевозке грузов и объединяющая два показателя: количество
тонн груза и расстояние в километрах), общее количество тонно-километров
изменяется в зависимости от места нахождения завода. Для примера вычислим
его для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 25 км,
10 км.
Расстояние 30 км. 100 × 30 + 80 × 20 = 4 600.
Расстояние 25 км. 100 × 25 + 80 × 25 = 4 500.
Расстояние 10 км. 100 × 10 + 80 × 40 = 4 200.
Делаем предварительный вывод: чем дальше от фермы А находится завод, тем меньшее количество тонно-километров получается.
2. Формализация, построение математической модели. Пусть завод (Z)
будет построен на расстоянии х км от фермы А. Тогда расстояние AZ = x,
BZ = 50 – x. Общее количество тонно-километров будет вычисляться по форму-
ле 100 × x + 80 × (50 – x). Так как завод нельзя располагать ближе, чем в 5 км от
фермы, то x ≥ 5 и 50 – x ≥ 5, а это значит, что 5 ≤ х ≤ 45. Можно сказать, что у
нас есть математическая модель — функция y = 100 × x + 80 × (50 – x), и значение этой функции должно быть наименьшим при условии, что х принадлежит
отрезку [10].
3. Решение задачи внутри модели. Необходимо исследовать функцию
y = 100 × x + 80 × (50 – x). Преобразуем ее y = 20 × x + 4 000. Что мы о ней зна-
ем? Это линейная функция, график — прямая. Построим график, выделим, каким может быть х (рис. 1).
Рис. 1. График линейной функции y = 20 × x + 4 000
х
y
50
Мы видим, что функция принимает наименьшее значение при х = 5, поскольку возрастает на всей числовой прямой. Найдем y = 20 × 5 + 4 000 = 4 100.
4. Анализ проведенного решения, интерпретация результатов. Мини-
мальное количество тонно-километров равно 4 100, при этом завод следует
располагать ближе к ферме А. Как вы полагаете, по какой причине? Так как
производительность на ферме А выше, и требуется больше ресурсов для перевозки продукции.
Задача 2. Для строительства склада заготовлен материал на наружные
стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры склада (в виде
прямоугольного параллелепипеда), чтобы он имел наибольший объём?
1. Анализ условия и требования. В задаче известны параметры стен и
форма склада (прямоугольный параллелепипед). Необходимо установить, какой
объем может быть у данного параллелепипеда, и выбрать его максимум.
2. Формализация, построение математической модели. Изобразим прямо-
угольный параллелепипед (рис. 2).
Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед
Учитывая, что 32 м материала заготовлено для всей наружной стены, по-
лучаем, что периметр нижнего основания составляет 32 м. Значит, AB + BC +
+ DC + AD = 32, используя свойство прямоугольника, имеем AB + BC = 16. Так
как длины отрезков AB и BC неизвестны, то целесообразно взять одну из них за х.
Пусть AB = x, тогда BC = 16 – x. Объем параллелепипеда будет иметь вид
V = х(16 – х)4. Преобразуем выражение V = 64x – 4x
2
. Получаем квадратичную
функцию, для которой необходимо найти максимум.
3. Решение задачи внутри модели. Исследуем полученную функцию на
максимум. Какая кривая является графиков данной функции? Парабола. Как
она расположена? Ветви направлены вниз, проходит через начало координат.
Изобразим схематично график этой функции. В какой точке функция принимает наибольшее значение? В вершине. Как узнать координаты вершины?
. Считаем: .
4. Анализ проведенного решения, интерпретация результатов. Макси-
мальный объем 256 м3. Как он был получен? Составили функцию и нашли ее
максимум.
B D A
C
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]