Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей геодезии и основам координатно-временных систем. Ч.1. Вычислительные работы. Учебное пособие
.pdf
Таблица 2.12
Азимуты
А12
А21
Широты
В1 > В
2
В1 < В2
В1 > В
2
В1 < В2
Долготы
L1 > L2
π +
2π –
π –
L1 < L2
π –
2π –
π +
Азимуты
А12
А21
Широты
В1 > В
2
В1 < В2
В1 > В
2
В1 < В2
Долготы
L1 > L2
2π –
2π –
L1 < L2
2π –
2π –
Номер
действия
Обозначения
Результаты
Номер
действия
Обозначения
Результаты
1 2 3 4 5
6
1. Вычисление В
ср
60
φ1°
– 74°01’09,23”
1
|l°| = |L2 – L1|
30°12’59,72”
61
φ1, рад
– 1,29187933
2
l
рад
0,52737895
62
φ2°
– 47°30’23,73”
3
cos (l/2)
0,96543491
63
φ2, рад
– 0,82914647
4
tg B1 – 1,98911104
64
tg φ1 – 3,49183792
5
tg B2 – 0,94093236
65
tg φ2 – 1,09156069
6
sin B
1
– 0,89344686
66
1,25k2 0,00722651
7
sin B
2
– 0,68527042
67
0,99638019
8
cos B
1
0,44916890
68
tg α1 – 3,47919813
9
cos B
2
0,72828871
69
tg α2 – 1,08760944
10
=
0,32712464
70
α1°
– 73°57'50,96"
11
0,61225270
71
α2°
– 47 24 11,11
12
2×[3]
1,93086982
72
1,2/[67]
1,20435955
13
tg Bср = [3]+[5]/
[12]
– 1,51747335
73
(φ2 – φ1), рад
0,46273285
Вычисление азимутов
2) если
, то вычисляют по табл.2.13.
Таблица 2.13
Вычисление азимутов
Пример. По заданным на референц-эллипсоиде Красовского геодезическим координатам B1, L1, B2, L2 точек 1 и 2 вычислить расстояние S между ними, прямой А12 и обратный А21 азимуты.
Исходные данные. а = 6 378 245 м, b = 6 356 863,02 м, е2 =
0,00669342, е
2
= 0,006738852, B1 = – 63° 18' 34,65", L1 = 10°13'17,62", B2 = –
43°15'24,76", L2 = 40°26'17,34".
Таблица 2.14
Схема решения обратной геодезической задачи
при больших расстояниях
41
Продолжение табл. 2.14
1 2 3 4 5
6
2. Вычисление V
ср
74
0,2(φ2 – φ1), рад
0,09254657
14
1 + tg2 B
ср
3,30272534
75
(α1 – α2), рад
– 0,46357820
15
1/[14] = cos2 B
ср
0,30278024
76
[75]×[72]
– 0,55831472
16
е
2
cos2 Bср
0,00204029
77
[74] + [76]
– 0,46576815
17
Vср
1,00101963
78
bWm 6 338 461,18
3. Вычисление Vi (i = 1,2)
79
[78]·[77]
– 2 952 253,31
18
cos B
2
1
0,20175270
80
s
12
2 952 253,31 м
19
cos B
2
2
0,53044445
20
е
2
cos2 B1
0,00135952 9. Вычисление Δλ
(3)
21
V1
1,00067954
81
tg Bm – 2,51745555
22
е
2
cos2 B2
0,00357414
82
tg B1/tg B
m
0,79012758
23
V2
1,00178549
83
tg B2/tg B
m
0,37376326
4. Вычисление
84
arccos [82]
37°48'09,21"
24
1,00109060
85
arccos [83]
68°03'07,55"
5. Вычисление
86
Δλ°
(3)
30°14'58,34"
25
, рад
0,52795411 10. Вычисление s12
26
30°14'58,35"
87
|| Δλ
(3)
| - | Δλ
(2)
||=Δ
0,01”
27
sin
0,50376707
88
Если Δ≤ε,
28
cos
0,86383953
то→[89]
6. Вычисление
Если Δ>ε, В1>В2,
Пусть ε = 0,05"
29
/(1 – e
2
)
0,32932898
то→[90]
30
[29]×[28]
0,28448789
Если Δ>ε, В1<В2,
31
V1 V2
1,00246623
то→[98]
32
[30] +
0,89674010
89
s12 = s'12,
2 952 253,31 м
33
cos p
0,89453397
Далее→[106]
34
p°
26°33'04,92"
90
|φ1| – π/2
35
p, рад
0,46340879
91
0,2×[90]
36
sin p
0,44699997
92
π/2 – |α1 |
37
sin
/sin p
1,12699576
93
[92]×[72]
38
[37]×[29]
0,37115237
94
[93] + [91]
39
[38] / [31]
0,37023927
95
s01 = [78]×[94]
40
0,003351×p
рад
×[39]
0,00057516
96
2S01
41
, рад
0,52795411
97
s12=|s'12|+2|s01|
42
°
30°14'58,35"
Далее→[106]
43
sin
0,50376707
98
π/2 – |φ2|
44
cos
0,86383953
99
0,2×[98]
7. Вычисление В
m
100
α2 – π/2
101
[100]×[72]
45
[43]
0,16479462
102
[101] + [99]
46
[44]
0,28258319
103
s02 = [102]×[78]
47
[46] + τ
0,89483590
104
2s
02
48
[47]2
0,80073129
105
s12=|s'12|+2|s02|
49
1 – [48]
0,19926871
Далее→[106]
50
0,44639523
11. Определение А'12, А'21
51
cos Bm
0,36916753
106
cos B1/V1
0,44886389
52
B°m
68°20'08,57"
107
cos B2/V2
0,72699068
53
sin Bm
0,92936286
108
cos Bm/Vm
0,36899814
54
sin2 Bm
0,86371533
109
[108]/[106]
0,82207133
42
1 2 3 4 5
6
8. Определение s
12
110
[108]/[107]
0,50756927
55
k2
0,00578121
111
A'12 = arcsin [109]
55°17'33,65"
56
Wm 0,99710520
112
A'21 = arcsin [110]
30 30 06,77
57
Vm 1,00045906
12. Определение А12, А21 по таблицам
58
sin φ
1
– 0,96135417
113
А
12
55°17'35,65"
59
sin φ
2
– 0,73735507
114
А
21
210 30 06,77
Для выполнения задания 7 в Приложении 7 приведены исходные
данные.
Контрольные вопросы к п. 2.2
1. В чем сущность прямой геодезической задачи на земном эллип-
соиде?
2. В чем сущность обратной геодезической задачи на земном эллип-
соиде?
3. Что лежит в основе решения главной геодезической задачи?
4. Раскройте последовательность решения главной геодезической за-
дачи прямым путем.
5. Раскройте последовательность решения главной геодезической за-
дачи косвенным путем.
6. Какая требуется точность вычислений в решении главной геодези-
ческой задачи?
7. Укажите порядок решения прямой геодезической задачи мето-
дом Рунге – Кутта – Ингланда.
8. Укажите порядок решения обратной геодезической задачи по
формулам со средними аргументами.
9. Укажите порядок решения обратной геодезической задачи при
больших расстояниях между пунктами.
Окончание табл. 2.14
43
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
3.1. Оценка точности передачи координат
в астрономо-геодезической сети
3.1.1. Общие сведения об уравнивании астрономо-геодезической сети
(АГС)
Уравнивание обширной астрономо-геодезической сети является заключительной стадией ее создания, позволяющей устранить невязки в сети, повысить точность сети путем оптимального использования избыточных измерений и, наконец, дать оценку этой точности.
Наибольшее распространение получил полигональный метод уравнивания астрономо-геодезических сетей. Почти все существующие варианты полигонального метода уравнивания имеют три этапа:
1) предварительное уравнивание звеньев триангуляции (или полигонометрии) с вычислением в результате этого длин и азимутов отрезков
геодезических линий, являющихся замыкающими звеньев;
2) уравнивание полигонов астрономо-геодезической сети с использованием полученных элементов замыкающих, которые при этом рассматриваются как непосредственно измеренные величины;
3) вставка звеньев путем их вторичного уравнивания между узлами
полигонов, положение которых получено в предыдущем этапе.
Оптимальная обработка астрономо-геодезических сетей даже при
полигональном построении невозможна без тщательного анализа ошибок
создания АГС, причем особое внимание было обращено на такие, которые
приводят к корреляции ошибок различных звеньев сети и тем самым
нарушают строгость полигонального уравнивания, а также искажают
оценку точности сети. В первую очередь было обращено внимание на влияние погрешностей базисных и выходных сторон и азимутов Лапласа в узловых точках полигонов на корреляцию ошибок соседних звеньев АГС.
Было проведено полигональное уравнивание обширного построения
в нашей стране по методу наименьших квадратов с учетом корреляции
ошибок элементов замыкающих звеньев, принимаемых за непосредственно
измеренные величины. Этот опыт подтвердил целесообразность учета выявленных корреляционных зависимостей.
В обширных астрономо-геодезических сетях, подобных созданной в
нашей стране, возникают косвенные эффекты, связанные с влиянием ошибок плановых координат на уклонения отвеса, а через них – на высоты квазигеоида над референц-эллипсоидом. С другой стороны, любые ошибки
высот квазигеоида через редукции линейных измерений при использовании метода проектирования косвенно влияют на плановые координаты.
44
Указанные косвенные влияния следует принимать во внимание при разработке методики уравнивания обширных АГС и в особенности при исследовании их точности.
Задание 8. Оценка точности передачи координат на большие
расстояния с учетом косвенных эффектов, возникающих при использовании метода проектирования
Цель задания – освоить методику оценки точности передачи координат на большие расстояния в астрономо-геодезической сети 1 класса с
учетом косвенных эффектов, возникающих при использовании метода
проектирования.
Анализ ошибок астрономо-геодезической сети является необходимым этапом подготовки к уравниванию сети, позволяющим выбрать оптимальный метод такого уравнивания. Кроме того, предварительный анализ точности сети имеет самостоятельное значение, поскольку он позволяет получить ориентировочную оценку ошибок передачи координат
в пределах сети.
Ограничимся при дальнейшем рассмотрении вопроса точности астрономо-геодезических сетей самым простым случаем полигонального построения. Первоначальными характеристиками точности полигональной
сети являются продольный и поперечный сдвиги звена триангуляции
(их средние квадратические значения обозначим соответственно через mp
и mq), относительная средняя квадратическая ошибка длины выходной или
базисной стороны на конце звена mb/b и средняя квадратическая ошибка
азимута этой стороны на конце звена mα. Разработаны методы оценки точности ошибок передачи координат в пределах одного звена и корреляции
ошибок соседних звеньев по фактически полученным координатным, азимутальным и базисным невязкам в полигонах триангуляции 1 класса.
В рекомендуемом далее примере будем полагать величины mp, mq,
mb/b и mζ заданными. К ним добавим величину радиального сдвига – сред-
нюю квадратическую ошибку превышения квазигеоида в пределах звена
mζ. Зададим также среднюю длину звена L.
Продольный сдвиг звена включает в себя влияние ошибок угловых измерений mpu и влияние ошибок выходных (базисных) сторон mpb.
При этом
. (3.1)
Соответственно, поперечный сдвиг звена включает в себя влияние
ошибок угловых измерений mqu, которое практически независимо от соот-
45
ветствующего влияния на продольный сдвиг, и влияние ошибок азимутов
Лапласа mqα, определяемое из формулы:
. (3.2)
Продольный и поперечные ошибки статистически независимы друг
от друга. Однако за счет ошибок выходных сторон и азимутов Лапласа,
общих для соседних звеньев, имеется корреляция соответственно между
продольным и поперечным сдвигом этих звеньев. Значения коэффициентов корреляции равны:
- для продольных сдвигов:
, (3.3)
- для поперечных сдвигов:
. (3.4)
Пользуясь величинами mp, mb/b, m
, и
ζ
, рассчитаем ошибку пере-
дачи координат по вытянутому ряду триангуляции, образованному звеньями одинаковой длины L. При этом оказывается выгодным использовать
понятие ошибок на 1 км ряда, аналогичных соответствующим ошибкам,
используемым при оценке точности нивелирования. С учетом корреляции
ошибок соседних звеньев имеем следующие формулы для продольной μL,
поперечной μq и радиальной μζ ошибки на один километр ряда:
, (3.5)
, (3.6)
. (3.7)
Если не учитывать косвенных эффектов, то продольный, поперечный
и радиальный сдвиги ряда большого протяжения длиной L1 (в км) определятся из формул:
P
, (3.8)
Q
, (3.9)
46
Z
. (3.10)
За счет косвенных эффектов при строгой обработке сети методом
проектирования происходит перераспределение ошибок между радиальным и косвенным сдвигом, однако полная погрешность положения конечного пункта ряда, равная:
,
остается неизменной. Для вытянутого ряда с равными сторонами с учетом
косвенных эффектов имеем формулы:
, (3.11)
где
(3.12)
представляет собой влияние продольных сдвигов звеньев на продольный
сдвиг всего ряда длиной L1:
(3.13)
есть косвенное влияние ошибок превышений квазигеоида на продольный
сдвиг ряда,
, (3.14)
где
(3.15)
есть влияние ошибок превышений квазигеоида по звеньям на радиальный
сдвиг всего ряда:
(3.16)
есть косвенное влияние продольных сдвигов звеньев на радиальный
сдвиг ряда.
Для поперечного сдвига ряда mQ сохраняется формула (3.9).
В примере по рекомендуемым формулам использованы характеристики точности, близкие к точности элементов астрономо-геодезической сети
РФ. Показано, что при передаче координат на большие расстояния важнейшее значение имеют ошибки азимутов Лапласа и линейных измерений. Выяснено, что минимальными являются радиальные ошибки на 1 км ряда, а
47
максимальными – поперечные ошибки. Косвенные влияния ошибок плано-
Обозначения
Значение
Обозначения
Значение
Обозначения
Значение
R
6 371 км
mp
0,55 м
m
2
p
0,302 м2 L
200 км
mq
0,96 м
m
2
q
0,922 м2 mb/b
1:345 000
mζ
0,42 м
m
2
ζ
0,176 м2 mα
1,17"
Обозначения
Результаты
Формула
Обозначения
Результаты
Формула
0,168 м
2
(3.1)
23,5 см2км
-1
(3.5)
0,644 м
2
(3.2)
28,3 см2км
-1
(3.6)
0,278
(3.3)
8,8 см2км
-1
(3.7)
0,349
(3.4)
= 4,8 см·км
-1/2
μq = 8,8 см·км
-1/2
μζ = 3,0 см·км
-1/2
L1, км
, км
, км
2 000
0,5874
1 936
64
4 000
0,9508
3 514
486
6 000
0,9515
4 516
1 484
8 000
0,5893
4 939
3 061
10 000
0,0024
5 004
4 996
вых построений на передачу высот квазигеоида существенны уже для рядов
триангуляции протяженностью в 4 000 км, а при протяженности 8 000 км
доминируют над влиянием прямых ошибок передачи высот квазигеоида.
При расстояниях более 6 000 км заметно косвенное влияние ошибок высот
квазигеоида на продольный сдвиг ряда.
Установлена заметная корреляция ошибок соседних звеньев триангуляции, с чем следует считаться при строгом уравнивании астрономогеодезической сети. Подобный анализ должен быть проведен при пользовании исходными данными по указанию преподавателя.
Пример. Вычислить продольный, поперечный и радиальный сдвиги
триангуляции при уравнивании астрономо-геодезической сети 1 класса.
Примеры вычислений приведены в табл. 3.1 – 3.4.
Таблица 3.1
Исходные данные
Таблица 3.2
Оценка ошибок на 1 км ряда
Таблица 3.3
Вспомогательные величины
48
Таблица 3.4
Определяемые
величины
Длина ряда L1, км
Формула
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
1
2 3 4 5 6
7
Продольный сдвиг
, м
2
4,70
9,40
14,10
18,80
23,50
(3.8)
, м
2
4,55
8,26
10,61
11,61
11,76
(3.12)
, м
2
0,06
0,43
1,31
2,69
4,40
(3.13)
, м
2
4,61
8,69
11,92
14,30
16,16
(3.11)
, м
2,17
3,06
3,75
4,34
4,85
, м
2,13
2,87
3,26
3,41
3,43
, м
0,24
0,66
1,14
1,64
2,10
, м
2,15
2,95
3,45
3,78
4,02
Поперечный сдвиг
, м
2
15,66
31,32
46,98
62,64
78,30
(3.9)
, м
3,96
5,60
6,85
7,91
8,85
Радиальный сдвиг
, м
2
1,76
3,52
5,28
7,04
8,80
(3.10)
, м2
1,70
3,09
3,97
4,35
4,40
(3.15)
, м
2
0,15
1,14
3,49
7,19
11,74
(3.16)
, м
2
1,85
4,23
7,46
11,54
16,15
(3.14)
, м
1,33
1,88
2,30
2,65
2,96
, м
1,30
1,76
1,99
2,09
2,10
, м
0,39
1,07
1,87
2,68
3,43
, м
1,36
2,06
2,73
3,40
4,02
Контроль
, м
2
6,46
12,92
19,38
25,84
32,30
Вычисление продольного, поперечного и радиального сдвигов ряда
триангуляции
данные.
нивания.
Для выполнения задания 8 в Приложении 8 приведены исходные
Контрольные вопросы к п. 3.1
1. Назовите этапы полигонального метода уравнивания.
2. Раскройте содержание первого этапа полигонального метода урав-
49
3. Раскройте содержание второго этапа полигонального метода урав-
нивания.
4. Раскройте содержание третьего этапа полигонального метода
уравнивания.
5. Назовите первоначальные характеристики точности полигональ-
ной сети.
6. Влияние каких ошибок включает в себя продольный сдвиг звена
триангуляции?
7. Влияние каких ошибок включает в себя поперечный сдвиг звена
триангуляции?
3.2. Нормальная Земля. Фундаментальные геодезические постоянные
3.2.1. Нормальная Земля
Термин нормальная Земля и связанное с ним понятие нормального
гравитационного поля широко используются в различных отраслях знаний и
в технике как аппроксимация, т. е. замена реальной фигуры Земли и ее гравитационного поля. Фигура нормальной Земли и нормальное гравитационное поле строго описываются удобными математическими формулами.
В решении ряда задач геодезии, геофизики и небесной механики аппроксимация реальной фигуры Земли и ее гравитационного поля нормальной Землей и ее полем становится недостаточной. Однако и в этом случае
они сохраняют свое значение как удобная система отсчета. Сначала проводят решение таких задач для нормальной Земли, пользуясь совершенно
строгой теорией, а затем находят поправки к этим решениям. При удачном
подборе параметров нормальной Земли и ее поля возможно линеаризировать решения, связанные с получением поправок, а именно представить
искомые поправки как линейные функции аномалий элементов фигуры реальной Земли и ее гравитационного поля, характеризующих отклонения
реальной Земли от нормальной.
Выбор параметров нормальной Земли в значительной мере условен и
зависит от решаемых задач, а часто даже от традиций в развитии различных наук. В геодезии наибольшее распространение получило представление нормальной Земли в виде тела, внешней поверхностью которого является эллипсоид вращения. Его называют общеземной эллипсоид. Центр
этого эллипсоида совпадает с центром масс реальной Земли, а малая ось –
с некоторым положением средней оси вращения реальной Земли (так как
ось вращения реальной Земли постоянно перемещается в ее теле, то нельзя
говорить о совпадении с мгновенной осью вращения).
Полагают, что нормальная Земля вращается с той же угловой скоростью ω, что и реальная Земля. Соблюдение такого условия необходимо для
сохранения неизменности взаимного положения точек реальной и нормальной Земли.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]