Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей геодезии и основам координатно-временных систем. Ч.1. Вычислительные работы. Учебное пособие
.pdf
Таблица 2.8
i
α
φ
1
A1 B1 2
A1 + 0,5ΔA
1
B1 + 0,5ΔB
1
3
A1 + 0,25(ΔA1 + ΔA2)
B1 + 0,25(ΔB1 + ΔB2)
4
A1 – ΔA2 + 2ΔA
3
B1 – ΔB2 + 2ΔB
3
5
A1 + 1/27(7ΔA1 + 10ΔA2 + ΔA3)
B1 + 1/27(7ΔB1 + 10ΔB2 + ΔB3)
6
A1 + 1/625(28ΔA1 – 125ΔA2 +
546ΔA3 + 54ΔA4 – 378ΔA5)
B1 + 1/625(28ΔB1 – 125ΔB2 +
546ΔB3 + 54ΔB4 – 378ΔB5)
Широта
Расстояние, км
Погрешности
B ≤ 65°
S ≤ 300
MΔB ≤ 0,1 – 0,15 м
MΔL ≤ 0,1 – 0,15 м
MΔA ≤ 0,003"
S ≤ 500
MΔB ≤ 0,3 – 0,7 м
MΔL ≤ 0,3 – 0,7 м
MΔA ≤ 0,03 – 0,04"
75° ≤ B < 80°
S ≤ 100
MΔB ≤ 0,1 м
MΔL ≤ 0,1 м
MΔA ≤ 0,003"
S ≤ 200
MΔB ≤ 1,6 м
MΔL ≤ 1,6 м
MΔA ≤ 0,3"
Значения азимута и широты
Точностная характеристика метода Рунге – Кутта – Ингланда, выполненная моделированием на ПЭВМ для различных координат и расстояний, приведена в табл. 2.9.
Таблица 2.9
Точностная характеристика метода Рунге – Кутта – Ингланда
Таблица составлена на основании результатов вычислений при однократном шаге интегрирования Δх = S.
Формула (2.34) локальной ошибки интегрирования М позволяет при
использовании ПЭВМ применить автоматическое изменение шага в процессе интегрирования. При некоторой заданной ошибке интегрирования ε
на одном шаге схема такого изменения может быть следующей:
31
где Δх
Формулы
Номер шага интегрирования, i
1 2 3 4 5
6
S0 9 065,125 м
9 065,125 м
9 065,125 м
9 065,125 м
9 065,125 м
9 065,125 м
αi 3°29'45,83"
3°35'17,18"
3°35'29,34"
3°41'38,52"
3°37'27,47"
3°32'00,33"
φi 50 07 40,97
51 23 23,91
51 23 23,18
52 39 03,89
51 48 37,04
50 37 58,02
cos α
i
0,9981390
0,9980398
0,9980362
0,9979226
0,9980001
0,9980992
sin αi
0,0609800
0,0625833
0,0626421
0,0642283
0,0632137
0,0616308
cos φi
0,6410740
0,6240162
0,6240191
0,6066674
0,6182672
0,6342883
sin φi
0,7674791
0,7814114
0,7814091
0,7949558
0,7859679
0,7730966
cos2 φi
0,4109759
0,3893962
0,3893998
0,3680453
0,3822543
0,4023216
γi 0,0034617
0,0032719
0,0032800
0,0031001
0,0032198
0,0033888
1+0,6 γ
i
1,002077
1,001968
1,001968
1,001860
1,001931
1,002033
1+0,2 γ
i
1,000692
1,000656
1,000656
1,000620
1,000644
1,000677
Vi 1,001384
1,001311
1,001311
1,001239
1,001287
1,001355
V
3
i
1,004157
1,003938
1,003938
1,003721
1,003866
1,004071
sin αi/cos φi
0,0951216
0,1002911
0,1003849
0,1062003
0,1022433
0,0971653
ΔB"
i
9 085,87"
9 082,98"
9 082,95"
9 079,96"
9 081,97"
9 084,73"
ΔB°i
2°31'25,87"
2°31'22,98"
2°31'22,95"
2°31'19,96"
2°31'21,97"
2°31'24,73"
ΔL"i 863,48"
910,34"
911,19"
963,91"
928,04"
882,01"
ΔL°i
0°14'23,48"
0°15'10,34"
0°15'11,19"
0°16'03,91"
0°15'28,04"
0°14'42,01"
ΔA"
i
662,70"
711,35"
712,02"
766,27"
729,41"
681,88"
ΔA°i
0°11'02,70"
0°11'51,35"
0°11'52,02"
0°12'46,27"
0°12'09,41"
0°11'21,88"
– величина шага интегрирования из точки (х
j+1
j+1
, y
), если М ≤ ε,
j+1
или из точки (хj, yj), если М > ε; i = 1, …, n – номер шага.
Реализация схемы автоматического выбора шага на 20 – 30% сокращает время, необходимое для получения решения, по сравнению с методом интегрирования при постоянном шаге.
Пример. По геодезическим координатам начальной точки В1, L1,
прямому азимуту А12 и расстоянию S вычислить геодезические координаты
конечной точки В2, L2, и обратный азимут А21, пользуясь формулами (2.35),
(2.36) и табл. 2.10. Выполнить оценку точности решения по формулам
(2.37).
Исходные данные: В1 = 50°07'40,97", L1 = 23°45'13,43", А12 = А1 =
3°29'45,83", S = 281 260,08 м, β = 0,00842316.
Таблица 2.10
Схема решения прямой геодезической задачи
(9 085,87" + 4×9 082,95" + 9 079,96") = 9 082,94" = 2°31'22,94".
(863,48" + 4×911,19" + 963,91") = 912,02" = 0°15'12,02".
(662,70" + 4×712,02" + 766,27") = 712,84" = 0°11'52,84".
B2 = B1 + ΔB = 50°07'40,97" + 2°31'22,94" = 52°39'03,91".
L2 = L1 + ΔL = 23°45'13,43" + 0°15'12,02" = 24°00'25,45".
A21 = A12 + ΔA ± 180° = 3°29'45,83" + 0°11'52,84" = 183°41'38,67".
MΔB = 1/336(–381 606,5" – 2 034 580" – 190 679,1" + 1471 279" + 1 135
591") = 4,4"/336 = 0,013".
32
MΔL = 1/336(–36 266,16" – 204 106,5" – 20 242,11" + 150 342,4" +
110 251,2") = – 21,2"/336 = – 0,063".
MΔA = 1/336(–27 833,40" – 159 492,4" – 16 091,67" + 118 164.4" +
85 235,0") = – 18,1"/336 = – 0,054”.
Для выполнения задания 5 в Приложении 5 приведены исходные
данные.
Задание 6. Решение обратной геодезической задачи по формулам
со средними аргументами (способ Гаусса)
Цель задания – освоить методику вычисления расстояния между
пунктами, прямого и обратного азимутов по известным геодезическим
координат.
Способ Гаусса основан на разложении подынтегральных функций
(2.19) в ряд Тейлора по средним аргументам, которыми являются:
;
;
.
Разложение по средним аргументам приводит к выражениям (2.20), в
которых члены, содержащие четные степени производных, обращаются в
нуль. Новые ряды лучше сходятся и имеют более компактный вид.
Особенность метода Гаусса заключается в следующем.
Пусть точка С с координатами B0, L0 и азимутом в ней А0 делит геодезическую линию S (рис. 2.7.) пополам.
Рис. 2.7. Способ Гаусса
Для разностей (В1 – В0) и (В2 – В0) можно получить ряды:
(В1 – В
) =
0
;
(В2 – В
) =
0
.
33
Вычитая первое уравнение из второго, получим:
(В2 – В1) =
. (2.38)
Аналогичным образом получим:
(2.39)
В выражениях (2.39) и (2.38) частные производные берутся по координатам B0, L0, A0 точки С. Однако средние аргументы Bm, Lm, Am соответствуют точкам геодезической линии Bm, Lm, Am (см. рис. 2.7), не совпадающими с точкой С. Поэтому в (2.38) и (2.39) необходимо ввести поправки
за разности (Bm – B0), (Lm – L0) и (Am – A0). Практически в (2.38) и (2.39)
необходимо сделать переход от частных производных (dB/dS)0 к частным
производным вида (dB/dS)m. Такой переход можно сделать на основании
известной связи, которая, например для широты, имеет вид:
. (2.40)
Аналогичные уравнения связи частных производных можно получить для долготы и азимута. Несложные преобразования, связанные с подстановкой выражений типа (2.40) в (2.38) и (2.39), а также выражений для
частных производных (dB/dS)m, (dL/dS)m , (dA/dS)m разных порядков, приводят к следующим рабочим формулам:
, (2.41)
, (2.42)
, (2.43)
где m = 593,602 160;
;
n = 197,867 385;
;
;
34
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
1 2 3
4
B
1
50°07'40,97"
A
m
3°35'42,25"
B
2
52 39 03,91
sin A
m
0,06270464
ΔB
+ 2 31 22,94
cos Am
0,99803213
ΔB"
+ 9 082,94"
S
1
=
/ sin Am
281 260,08 м
B
m
51°23'22,44"
cos6 B
m
0,0590
L
1
23 45 13,43
sin B
m
0,781407
L
2
24 00 25,46
a
1
64 537,624
L
+ 0 15 12,03
a
2
6,070
l"
+ 912,03"
a
3
– 3,859
;
;
;
;
;
;
a7 = 10 000 = 104;
;
.
Из формул (2.41), (2.42), (2.43) получим искомое решение обратной
геодезической задачи:
;
;
;
;
.
;
Формулы (2.41) – (2.43) обеспечивают вычисление расстояния S
с ошибкой 5 – 10 см и азимута с ошибкой 0,05″ при решении обратной геодезической задачи на средние расстояния.
Значения cos Bm для вычисления а1 нужно брать с семью десятичными знаками, значение cos Bm для а4 – с шестью десятичными знаками. Значение cos Bm для остальных коэффициентов а достаточно брать с четырьмя
десятичными знаками.
Пример. По заданным геодезическим координатам В1, L1, B2, L2 точек
1 и 2 вычислить расстояние S между ними, а также прямой А12 и обратный
А
геодезические азимуты (табл. 2.11). Исходные данные: B1 = 50°07'40,97",
21
L1 = 23°45'13,43", B2 = 52°39'03,91", L2 = 24°00'25,46".
Таблица 2.11
Схема решения обратной геодезической задачи
35
Окончание табл. 2.11
1 2 3
4
0,908294
a
4
103 151,380
0,091203
a
5
– 26,393
0,8250
a
6
– 0,043
0,0083
a
7
10 000,000
0,0752
a
8
2,943
0,0076
a
9
0,765
ΔB
3
0,7493
D
2,99607176
0,0008
5 886,0249
cos B
m
0,62402190
0,4565
cos2 B
m
0,389403
– 0,0031
cos3 B
m
0,2430
5 886,4783
cos4 B
m
0,1516
93 691,7795
cos5 B
m
0,0946
– 0,2006
+ 93 691,5467
– 0,0322
912,0300
S
2
=
/cos Am
281 260,08 м
0,2213
Sср
281 260,08 м
0,0006
ΔA = sin B
m
+ 712,84"
912,2519
ΔA
11'52,84"
17 636,312
1/2ΔA
5'56,42"
280 706,597
A12 = Am – 1/2ΔA
3°29'45,83"
tg A
m
0,06282828
A21 = Am ± 180° +
+ 1/2ΔA
183°41'38,67"
Для выполнения задания 6 в Приложении 6 приведены исходные
данные.
Задание 7. Решение главных геодезических задач при больших расстояниях между пунктами
Цель задания – освоить методику вычисления обратной геодезической задачи при больших расстояниях между пунктами.
Метод Рунге – Кутта – Ингланда дает возможность решать прямую
геодезическую задачу на любые расстояния. Действительно, любое большое расстояние можно разделить на части, которые соответствуют, например, средним расстояниям, и применить метод Рунге – Кутта – Ингланда
к каждой части в отдельности. При этом каждую часть большого расстояния можно рассматривать как шаг интегрирования. Во многих случаях решение прямой геодезической задачи на большие расстояния требуется получить с точностью порядка 1 – 2". Это обстоятельство дает возможность
36
выбирать шаг интегрирования длиной до 1 000 км и в конечном итоге получить оптимальный метод решения.
Более сложным является решение обратной геодезической задачи
на большие расстояния. Все существующие методы решения этой задачи
базируются на идее Бесселя, но необходимо наилучшим образом выполнить
аппроксимацию исходной подынтегральной функции. В настоящее время
наилучшей аппроксимацией является аппроксимация дробно-рациональным
выражением с помощью цепных дробей.
Рассмотрим более подробно идею и алгоритм решения обратной геодезической задачи, построенной на ее основе.
Длину геодезической линии S между пунктами Q1 и Q2 можно представить с помощью выражения:
, (2.44)
где
е – первый эксцентриситет референц-эллипсоида.
, (2.45)
Bm – широта точки Q
экстремума геодезической линии;
m
, i = 1,2; (2.46)
,
Nm – радиус кривизны первого вертикала в точке экстремума.
Интегралы в (2.44) выражают длины дуг геодезической линии от
точки экстремума Q2 до точки с широтой Bi.
Если в (2.44) подынтегральные функции представить дробнорациональными выражениями, получим:
, (2.47)
где
Азимуты геодезической линии в точках Q1 и Q2 определяются на основании теоремы Клеро по формулам:
37
, i = 1, 2. (2.48)
, (2.49)
. (2.50)
Формулы (2.47), (2.49), (2.50) в общем виде решают обратную геоде-
а)
б)
в)
зическую задачу. Однако результат решения существенно зависит от взаимного расположения исходных точек Q1, Q2 и точки экстремума Qm.
Рис. 2.8. Взаимное расположение исходных точек и точки экстремума
Взаимное расположение этих точек практически исчерпывается следующими тремя случаями, изображенными соответственно на рис. 2.8, а – 2.8, в.
Имея в виду соображения, положенные в основу вывода формул
(2.44) и (2.47), нетрудно заметить, что в первом случае (см. рис. 2.8, а):
, (2.51)
т. е. искомое расстояние вычисляется по формуле (2.47).
Во втором (см. рис. 2.8, б) и в третьем (см. рис. 2.8, в) случаях искомое расстояние вычисляется соответственно по формулам:
Величины и
в (2.52) и (2.53) вычисляются на основании сле-
, (2.52)
. (2.53)
дующих формул, полученных из (2.47), если учесть, что для точки Qm вы-
полняется равенство
:
, (2.54)
. (2.55)
Взаимное расположение пунктов, соответствующих указанным трем
случаям, влияет и на определение азимутов А12 и А21. Практически оценку
случая, который встретится при решении конкретной задачи, и принятие
решения о том, какую формулу использовать для вычисления
( 2.51),
(2.52) или (2.53), а также как вычислять азимуты, удобно делать на основании анализа сферических разностей долгот Δλ, полученных из трех приближений.
38
На основании исходных формул (2.47), (2.49) и (2.50), а также сделанных пояснений для решения обратной геодезической задачи на большие расстояния можно предложить следующий алгоритм:
1. Определение средней широты Вср по формуле
, (2.56)
где l = L2 – L1.
2. Вычисление сфероидической функции Vср:
. (2.57)
3. Вычисление сфероидической функции Vi:
. (2.58)
4. Вычисление сфероидической функции
:
5. Вычисление сферической разности долгот Δλ
. (2.59)
в первом прибли-
(1)
жении:
6. Вычисление сферической разности долгот Δλ
ближении:
где
;
. (2.60)
во втором при-
(2)
, (2.61)
;
;
;
39
;
(для эллипсоида Красовского).
Причем всегда будем считать l > 0. Тогда Δλ
7. Определение величины Bm:
8. Вычисление расстояния s
′
по формуле (2.47), где
12
(для эллипсоида Красовского), α
муле (2.48).
9. Вычисление сферической разности долгот Δλ
жении:
> 0 и Δλ
(1)
> 0.
(2)
. (2.62)
;
,
вычисляется по фор-
i
в третьем прибли-
(3)
. (2.63)
Величина
может быть как положительной, так и отрицательной.
10. Вычисление расстояния S12:
(2.64)
где ε – малое заданное положительное число, характеризующее ошибку
вычислений (ε ≈ 0,05″).
11. Вычисление азимутов
и
по формулам (2.49) и (2.50).
12. Вычисление азимутов А12 и А21 в зависимости от условий
(табл.2.12, 2.13):
1) если
, то вычисляют по табл.2.12.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]