Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей геодезии и основам координатно-временных систем. Ч.1. Вычислительные работы. Учебное пособие
.pdf
Задание 1. Вычисление длины дуги меридиана
Цель задания – освоить методику вычисления длины дуги меридиана
между точками земной поверхности в триангуляции.
Длина дуги меридиана Sм между точками с широтами В1 и В2 опре-
деляется из решения эллиптического интеграла вида:
, (2.1)
где М – радиус меридиана.
Как известно, интеграл (2.1) не берется в элементарных функциях.
Для его решения используют два способа:
1) раскладывают подынтегральное выражение в степенной ряд и,
ограничиваясь некоторым числом членов ряда, выполняют затем почленное интегрирование, которое, таким образом, сводится к интегрированию
элементарных функций;
2) применяют численное интегрирование методами, известными
в вычислительной математике.
Второй способ в настоящее время является более точным и удобным.
В соответствии с этим способом численное интегрирование можно выполнить, по формуле Симпсона:
, (2.2)
, (2.3)
где В1, В2 – широты концов дуги меридиана;
М1, М2, Мср – значения радиусов кривизны меридиана в точках с ши-
ротами В1, В
и
2
;
.
Для контроля вычислений длину дуги меридиана Sм следует вычислить как сумму дуг Х1 и Х2 меридиана от точки с широтой Вср до точек с
широтами В1 и В2. На основании (2.2) будем иметь (рис. 2.2):
(2.4)
11
где
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
1 2 3
4
а
6 378 245,0 м
а
6 378 245,0 м
е2 0,00669342
е2 0,00669342
а(1 – е2)
6 335 552,717 м
1,25е2 sin2В1
0,00425710
1/6ρ"
8 080 228×10
-13
1,25е2 sin2В2
0,00483777
В2 49°29'58,938"
1,25е2 sin2Вср
0,00454832
В1 45°30'17,221"
1 + 0,25е2 sin2В1
1,00085142
В
ср
47°30'08,080"
1 + 0,25е2 sin2В2
1,00096756
0,25е
2
0,00167336
1 + 0,25е2 sin2Вср
1,00090966
1,25е
2
0,00836678
1 – 1,25е2 sin2В1
0,99574290
sinВ
1
0,71330897
1 – 1,25е2 sin2В2
0,99516223
sinВ
2
0,76040263
1 – 1,25е2 sin2Вср
0,99545168
sinВ
ср
0,73730380
М1 6 368 056,324 м
sin2В
1
0,50880969
М2 6 372511,409 м
тами
и
– значения радиусов кривизны меридиана в точках с широ-
и
, которые определяются по формуле (2.3).
Рис. 2.2. Вычисление длины дуги меридиана
Примечание. При расстояниях между точками до 500 км формула
(2.2) обеспечивает точность вычислений 1 – 2 см. Если дуга меридиана
превышает 500 км, то для вычисления длины дуги рекомендуется разделить ее на части, не превышающие 500 км, и применить формулу (2.2)
к каждой части в отдельности.
Рассмотрим пример вычисления длины дуги меридиана между двумя
точками с широтами В2 = 49°29'58,938" и В1 = 45°30'17,221". По формуле
(2.2) получены результаты вычислений, приведенные в таблице 2.1. Полученные результаты необходимо проверить по формуле (2.4).
Таблица 2.1
Схема вычисления длины дуги меридиана между двумя точками
12
Окончание табл. 2.1
1 2 3
4
sin2В
2
0,57821216
М
ср
6 370 290,021 м
sin2В
ср
0,54361689
(В2 – В1)"
14 381,717"
0,25е2 sin2В1
0,00085142
(В2 – В1)"/6ρ"
0,011620755
0,25е2 sin2В2
0,00096756
Sм 444 165,343 м
0,25е2 sin2Вср
0,00090966
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
1 2 3
4
а
6 378 245,0 м
0,25е2 sin2Вср
0,00090966
(1 – е2)
0,99330658
1,25е2 sin2Вср
0,00454832
а(1 – е2)
6 335 552,717 м
1 + 0,25е2 sin2Вср
1,00090966
1/6ρ"
8 080 228×10
-13
1 – 1,25е2 sin2Вср
0,99545168
В2 49°29'58,938"
0,25е2 sin2В'ср
0,00093867
В1 45°30'17,221"
1,25е2 sin2В'ср
0,00469336
В
ср
47°30'08,080"
1 + 0,25е2sin2В'ср
1,00093867
В'
ср
48°30'03,508"
1 – 1,25е2sin2В'ср
0,99530664
В"
ср
46°30'12,650"
0,25е2 sin2В"ср
0,00088057
е2 0,00669342
1,25е2 sin2В"ср
0,00440284
0,25е
2
0,00167336
1+0,25е2 sin2В"ср
1,00088057
1,25е
2
0,00836678
1–1,25е2 sin2В"ср
0,99559716
sinВ
ср
0,73730380
М
ср
6 370 290,021 м
sinВ'
ср
0,74896699
М '
ср
6 371 402,932 м
sinВ"
ср
0,72541658
М "
ср
6 369 174,032 м
sin2В
ср
0,54361689
(В2 – Вср)"
7 190,859"
sin2В'
ср
0,56095155
(В2 – Вср)"/6ρ"
0,005810378
sin2В"
ср
0,52622921
(Мср+4М "ср+М1)
38 215 042,473 м
(Вср – В1)"
7 190,858"
Х2 222 121,530 м
(Вср – В1)"/6ρ"
0,005810377
Х1 222 043,811м
М1 6 368 056,324 м
Х2 + Х1 = Sм
444 165,341 м
М2 6 372511,409 м
(М2+4М 'ср+Мср)
38 228 413,158 м
Таблица 2.2
Контрольные вычисления
широты точек 1 и 2.
еся определяют по порядковому номеру в списке группы.
Для выполнения задания 1 в Приложении 1 приведены геодезические
Вариант данного задания и всех последующих заданий обучающи-
13
Задание 2. Вычисление длины дуги параллели
Цель задания – научиться вычислять длину дуги параллели между
точками по известной разности долгот между точками и широте параллели.
Длина дуги параллели Sп есть длина части окружности, поэтому она
получается непосредственно как произведение радиуса данной параллели
на разность долгот l крайних точек искомой дуги, т. е.:
(2.5)
где l = L2 – L1;
N – радиус кривизны первого вертикала.
Значение радиуса кривизны первого вертикала N вычисляется по
формуле:
. (2.6)
где а – большая полуось эллипсоида;
е – эксцентриситет эллипсоида.
Для контроля вычислений длину дуги параллели следует определить
как разность длин дуг Y2 и Y1, отсчитываемых от меридиана с долготой L1 –
30' (рис. 2.3). Значения величин Y2 и Y1 получим, пользуясь формулой (2.7):
(2.7)
Рис. 2.3. Вычисление длины дуги параллели
Искомую дугу параллели получим по формуле:
Sп = Y2 – Y1. (2.8)
14
Примечания. 1. Точность формулы (2.5) зависит от разности долгот l.
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
l
0°45'46,882"
1 – 0,25е2 sin2В
0,99888986
В
54 32 19,354
1 – 0,75е2 sin2В
0,99666958
а
6 378 245,0 м
N
6 392 453,854 м
0,25е
2
0,00167336
cosВ
0,58015280
0,75е
2
0,00502006
l"
2 746,882"
sinВ
0,81450766
1/ρ"
4 848 137×10
-12
sin2В
0,66342273
NcosВ
3 708 600,002
0,25е2 sin2В
0,00111014
l"/ρ"
0,01331726
0,75е2 sin2В
0,00333042
Sп 49 388,390 м
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
NcosВ
3 708 600,002
Y1 32 363,641
1/ρ"
4 848 137×10
-12
Y2 81 752,029
(l" + 1800")/ρ"
0,0220439060
Sп = Y2 – Y
1
49 388,388 м
1800"/ρ"
0,0087266466
Если l < 1°, то, удерживая в тригонометрических функциях восемь знаков
после запятой, длину дуги параллели (в средних широтах) можно получить
с ошибкой ± 0,001 м. При l > 1° для обеспечения указанной точности при
вычислении Sп нужно удерживать в тригонометрических функциях более
восьми знаков после запятой. Однако в геодезической практике необходимость в такой точности появляется очень редко.
2. Формулы (2.3) и (2.6) получены с применением цепных дробей.
Пример. Вычислить длину параллели между точками, лежащими на
этой параллели, если даны разность долгот этих точек l = L2 – L1 =
0°45'46,882" и широта параллели В = 54°32'19,354" (табл. 2.3). Решение
проверить по контрольным формулам (2.7) и (2.8) (табл. 2.4).
Таблица 2.3
Схема вычисления длины параллели между точками
Контрольные вычисления
Для выполнения задания 2 в Приложении 2 приведены исходные
данные.
2.1.2. Вычисление длин сторон и площади съемочной трапеции
Задание 3. Вычисление длин сторон съемочной трапеции
Цель задания – научиться вычислять размеры рамок съемочных
трапеций, расположенных на различных широтах.
Таблица 2.4
15
Съемочная трапеция, строго говоря, представляет собой часть по-
верхности эллипсоида, ограниченная меридианами и параллелями (рис.
2.4). Поэтому стороны трапеции равны длинам дуг меридианов и параллелей, вычисляемых по формулам (2.1), (2.5).
Рис. 2.4. Вычисление длин сторон съемочной трапеции
Причем северная и южная рамки являются дугами параллелей а1 и
а2, а восточная и западная – дугами меридианов с, равными между собой.
Диагональ трапеции d. Для получения конкретных размеров трапеции
необходимо упомянутые дуги разделить на знаменатель масштаба m и, для
получения размеров в сантиметрах, умножить на 100. Таким образом, рабочие формулы с учетом (2.1) и (2.5) имеют вид:
(2.9)
где m – знаменатель масштаба съемки;
N1, N2 – радиусы кривизны первого вертикала в точках с широтами
B1 и B2;
Mm – радиус кривизны меридиана в точке с широтой:
,
.
16
Рамки съемочных трапеций карт масштаба 1:100 000 и крупнее изоб-
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
1
2 3 4
а
6 378 245 м
1 – 0,25е2 sin2В1
0,99902
ражаются практически прямыми линиями, так как расхождение между
длиной дуги, например а1 (см. рис. 2.4) и длиной хорды DC = S (пунктирная линия на рис. 2.4) пренебрегаемо мало. Однако, в тех случаях, когда
этим расхождением пренебрегать нельзя, разность (a – S) определяют по
формуле:
где
– стрелка провеса;
, (2.10)
l = LC – LD – разность долгот точек C и D;
N
– радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой
m
.
Формулы (2.9) дают возможность определить размеры искомой трапеции, если она изображается на плоскости без искажений.
Теоретически, если съемочная трапеция крупного масштаба, например 1:10 000, располагается на краю 6-градусной зоны, то длины ее сторон
искажаются в проекции Гаусса на величину, превышающую графическую
точность. Линейное искажение определяется формулой:
(2.11)
где m – масштаб изображения эллипсоида на плоскость;
l – разность долгот концов рамки съемочной трапеции.
Практически съемка масштабов 1:1 000 000 – 1:25 000 выполняется
с использованием 6-градусной зоны, съемка крупного масштаба – с использованием 3-градусной зоны. В указанных случаях искажения длин
рамок съемочных трапеций в проекции Гаусса ничтожно малы и ими пренебрегают.
Пример. Рассчитать размеры трапеции масштаба 1:50 000, ограниченной параллелями В2 = 50°10' и В1 = 50°00'. Интервал трапеции указанного масштаба по долготе будет l = 15' = 900". Величина ΔВ = В2 – В1 = 10'
= 600".
Решение приведено в таблице 2.5
Таблица 2.5
Схема вычисления размеров трапеции
17
Окончание табл. 2.5
1 2 3
4
е2 0,00669342
1 – 0,75е2 sin2В1
0,99705
а(1 – е2)
6 335 552 м
1 – 0,25е2 sin2В2
0,99901
0,25е
2
0,0016734
1 – 0,75е2 sin2В2
0,99704
0,75е
2
0,0050201
1 + 0,25е2 sin2Вm
1,00098
1,25е
2
0,0083668
1 – 1,25е2 sin2Вm
0,99508
В1 50°00'00"
N1 6 390 847 м
В2 50°10'00"
N2 6 390 847 м
Вm 50°05'00"
Мm 6 373 116 м
sinВ
1
0,76604
1/ρ"
4 848 137×10
-12
sinВ
2
0,76791
N1/ρ"
30,984 см
sinВ
m
0,76698
N2/ρ"
30,984 см
sin2В
1
0,58682
Мm/ρ"
30,898 см
sin2В
2
0,58969
a
1
35,849 см
sin2В
m
0,58826
a
2
35,725 см
cosВ
1
0,64279
c
37,078 см
cosВ
2
0,64056
a1 a2
1 280,70 см
2
100l/m
9/5
d2 2 655,48 см2
100ΔB/m
6/5
d
51,531 см
Для выполнения задания 3 в Приложении 3 приведены исходные
данные.
Задание 4. Вычисление площади съемочной трапеции
Цель задания – научиться вычислять площадь съемочной трапеции
по широтам параллелей и долготам и меридианов, которые ограничивают
искомую трапецию заданного масштаба.
Элемент площади съемочной трапеции dP равен произведению дифференциалов дуг меридианов и параллелей, которыми она ограничена, т.е.:
, (2.12)
где M и N – соответственно радиусы кривизны меридиана и первого вертикала, определяемые по формулам (2.3) и (2.6).
Вводя средний радиус кривизны эллипсоида и учитывая,
что
, получим:
,
где b – малая полуось референц-эллипсоида Красовского.
18
Площадь конечной трапеции, ограниченной широтами B2 и B1 и долготами L2 и L1, выражается двойным интегралом:
.
Интегрируя по L в пределах от L1 до L2, получим:
. (2.13)
Раскладывая подынтегральное выражение (2.13) в ряд по биному
Ньютона и выполняя почленное интегрирование полученного ряда, будем
иметь:
(2.14)
Пользуясь формулой (2.14), можно вычислить площадь референцэллипсоида. В этом случае: L2 – L1 = 2π; B1 = 0; B2 = π/2. Например, площадь эллипсоида Красовского равна Р = 510 083 035 км2. Радиус шара, эквивалентного по площади эллипсоида Красовского, равен R = 6 371 116 м.
Поэтому часто для приближенных расчетов Землю принимают за сферу
радиуса R = 6 371 км.
Для вычисления площади съемочной трапеции по формуле (2.14)
необходимо знать широты и долготы параллелей и меридианов, которые
ограничивают искомую трапецию заданного масштаба.
Пример. Вычислить на эллипсоиде Красовского площадь трапеции
масштаба 1:100 000, ограниченной параллелями В2 = 50°20' и В1 = 50°00'
с точностью до 0,001 км2.
Для удобства вычислений представим формулу (2.14) в виде:
,
где
19
;
;
.
Таблица 2.6
Обозначения
Результаты
Обозначения
Результаты
b
6 356,863 м
sin7В
1
0,15480242
e2 0,00669342
(2/3) е
2
0,00446228
1/ρ"
4 848 137×10
-12
(3/5) е
4
0,00002688
L2 – L
1
1800"
(4/7) е
6
0,00000017
sinВ
2
0,76977104
I
0,00002942
sin3В
2
0,45612587
II
0,00000017
sin5В
2
0,27027622
III
0,0
sin7В
2
0,16015148
b2(L2 – L1)"/ρ"
352 641,9 км2
sinВ
1
0,76604444
b2 40409707,2км
2
sin3В
1
0,44953332
sinB2 – sinB1+I+II+III
0,00375619
sin5В
1
0,26379698
P
1 324,590 км
2
Схема вычисления площади трапеции масштаба 1:100 000
Для выполнения задания 4 в Приложении 4 приведены исходные
данные.
Контрольные вопросы к п. 2.1
1. Назовите параметры земного эллипсоида.
2. Какие существуют формулы связи между параметрами земного
эллипсоида?
3. Какие кривые располагаются на поверхности земного эллипсоида?
4. Дайте определение плоских, нормальных и центральных сечений.
5. Как называется кратчайшее расстояние между двумя точками на
поверхности эллипсоида?
6. Как называется нормальное сечение, которое проходит в азимуте
равном 90°?
7. Какие координатные линии существуют на поверхности эллипсоида?
8. Дайте определение главных радиусов кривизны земного эллипсоида.
9. От каких величин зависят длины дуг меридианов и параллелей?
2.2. Решение прямой и обратной геодезических задач
2.2.1. Общие сведения по решению прямой и обратной
геодезических задач
Определение координат некоторой точки по известным координатам
других точек и измеренным или заданным угловым и линейным величинам
называется главной геодезической задачей.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]