Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей геодезии и основам координатно-временных систем. Ч.1. Вычислительные работы. Учебное пособие
.pdf
Такая задача может быть поставлена в различных координатных системах. В высшей геодезии принято решать эту задачу в геодезической системе координат, которая предполагает известными размеры и ориентировку конкретного референц-эллипсоида. В геодезической практике России для этих целей используется референц-эллипсоид Красовского.
Если на поверхности референц-эллипсоида выбрать две произвольные точки Q1 и Q2, то кратчайшее расстояние между ними S называется
геодезической линией. Если при этом точку Q1 назвать начальной, а Q2 –
конечной, то направление Q1Q2 называется прямым направлением и А12 –
прямым азимутом этого направления, а направление Q2Q1 – обратным
направлением и А21 – обратным азимутом (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Главная геодезическая задача на эллипсоиде
Главную геодезическую задачу принято рассматривать в виде двух
задач: прямой и обратной.
Прямая геодезическая задача состоит в том, чтобы по известным
координатам начальной точки B1, L1, прямому азимуту А12 и расстоянию
S между точками Q1 и Q2 определить координаты конечной точки B2, L2
и обратный азимут А21 (см. рис. 2.5).
Обратная геодезическая задача заключается в том, чтобы по координатам начальной и конечной точек B1, L1, B2, L2 определить расстояние S
между ними и азимуты А12 и А21 (см. рис. 2.5).
В геодезической практике прямую и обратную геодезические задачи
приходится решать для различных длин геодезических линий. На практике
установилась определенная градация возможных расстояний, для каждой
из которых существует наиболее удобный метод решения главных геодезических задач.
21
Малые расстояния (от 20 до 200 км) встречаются при вычислении
сторон треугольников и замыкающих звеньев триангуляции 1 класса.
Средние расстояния (от 200 до 800 км) имеют место при вычислении
диагоналей полигонов триангуляции 1 класса, при обработке астрономогеодезической сети, при развитии динамической (ракетной) триангуляции
и других задач.
Большие расстояния (более 800 км) встречаются при ориентировке
референц-эллипсоида, при геодезическом соединении материков методом
космической триангуляции, в радионавигации, при установлении единой
координатной системы, в целях слежения за управляемыми ракетами и т. д.
Для решения главных геодезических задач необходимо установить
уравнения связи исходных и определяемых величин. Наиболее простой
и естественный способ установления таких уравнений связи и в конечном
итоге решения главных геодезических задач заключается в непосредственном решении треугольника Q1PQ2 (см. рис. 2.5), в котором исходные данные и определяемые неизвестные как в прямой, так и в обратной задачах
являются элементами этого треугольника. Например, в случае прямой геодезической задачи исходными данными являются стороны S, Q1P и угол
А12. Из решения треугольника получаются другие его элементы l, β, Q2P,
с помощью которых определяются искомые величины:
L2 = L1 + l; B2 = 90° – Q2L; A21 = 360° – β.
Такой путь решения главных геодезических задач называется прямым. Однако в связи с большими сторонами полярного треугольника
Q1PQ2, достигающими нескольких тысяч километров, его нужно рассмат-
ривать как сфероидический. Это обстоятельство значительно усложняет
решение и требует использования 10-значных таблиц тригонометрических
функций (или соответствующей по точности вычислительной техники).
Поэтому применяют другой путь решения, который называют косвенным.
Косвенный путь решения главных геодезических задач заключается
в определении разностей широт, долгот и азимутов, на основании уравнений связи этих величин с исходными данными. Например, для прямой задачи определяют:
(2.15)
и затем В2 = В1 + dB; L2 = L1 + dL; А21 = А12 ± 180° + dА.
Вид уравнений связи (2.15) устанавливают следующим образом. На
основании рис. 2.6, где Q1 и Q2 – две бесконечно близкие точки на эллипсоиде, dS – отрезок геодезической линии, Q1С и Q2С' – бесконечно малые
дуги параллелей, из треугольника Q1С'Q2 имеем:
22
или
где r – радиус параллели.
MdB = dScosA
rdL = NcosBdL = dSsinA, (2.16)
Рис. 2.6. Косвенный путь решения главных геодезических задач
Из равнобедренного сферического треугольника Q1РС, имея в виду,
что РС = (90° – В), и пользуясь мнемоническим правилом решения сферических треугольников, получим:
(2.17)
Из (2.16) и (2.17) окончательно получим:
(2.18)
где – вторая функция геодезической широты;
– радиус кривизны меридиана эллипсоида в полюсах;
23
е, е' – соответственно первый и второй эксцентриситеты меридиан-
ного эллипса.
Выражения (2.18) являются обыкновенными дифференциальными
уравнениями первого порядка. Эти уравнения лежат в основе практически всех существующих методов решения главных геодезических задач.
Выражения (2.18) дают возможность определить разности (B2 – B1),
(L2 – L1), (A2 – A1 ± 180°) путем их интегрирования между двумя точками
на эллипсоиде.
После интегрирования получим:
(2.19)
Формулы (2.19) непосредственно используются для решения прямой
геодезической задачи. В основе решения обратной геодезической задачи
лежат те же формулы.
Практическая реализация выражений (2.19) встречает существенные
трудности, заключающиеся в том, что в общем виде выражения (2.19) проинтегрировать нельзя, так как переменные В и А не выражаются в замкнутом виде через независимую переменную S. Кроме того, функции V и C зависят от эксцентриситета е.
Поэтому для решения задачи подынтегральные функции в (2.19) раскладывают в степенные ряды по степеням S для малых и средних расстояний или по степеням е2 для больших расстояний. В результате разложения,
например в ряд Тейлора, будем иметь:
где
индекс внизу скобок указывает на то, что частные произ-
(2.20)
водные берутся в начальной точке, т.е. при В1, L1, А12.
После подстановки в (2.20) частных производных, первый порядок
которых имеет вид (2.18), получаются рабочие формулы в виде рядов. Полученные формулы допускают некоторые упрощения. В связи с этим появились широко известные методы решения главных геодезических задач:
метод вспомогательной точки и метод Гаусса, основанный на разложении
в ряд по среднему аргументу.
24
В тех случаях, когда для решения главных геодезических задач применяется разложение в ряд, возникает естественный вопрос о том, сколько
членов ряда нужно использовать для получения решения. Для ответа на
этот вопрос прежде всего необходимо выяснить, какая точность решения
требуется. При этом будем ориентироваться на самое высокоточное построение, которому соответствует триангуляция 1 класса.
Пусть сторона триангуляции 1 класса S = 20 км, средняя квадратическая ошибка измерения углов mβ = 0,7", относительная ошибка измерения
стороны 1:400 000. Тогда линейный сдвиг вершины треугольника из-за
ошибок углов и расстояний равен:
Таким образом, можно считать, что в среднем проекция линейного
сдвига вершины треугольника на меридиан и параллель составляет 0,05 м.
В градусной мере эта величина равна:
При В = 60° получим dL = 0,003".
Так как координаты в триангуляции передают от пункта к пункту,
то для того, чтобы исключить ошибки вычислений, В и L нужно вычислять на порядок точнее, т. е. с ошибкой не ниже 0,0002 – 0,0003".
Уравненные на станции направления в триангуляции 1 класса определяются с ошибкой 0,01", поэтому вычислять их нужно с ошибкой не ниже 0,001".
При решении главных геодезических задач с использованием рядов,
чтобы определить требуемое число членов ряда, вводят понятие малой величины первого порядка. За эту величину принимают отношение S к одному из радиусов кривизны эллипсоида M, N, R, например (S/R). Малой величиной n-го порядка будет (S/R)n. Тогда необходимое число членов ряда
равно такому порядку малости n, которое соответствует требуемой точности вычислений координат и азимутов. Например, при S ≤ 30 км, что является обычным в триангуляции 1 класса, величина (S/R) ≈ 1/200. Приведем
таблицу значений малых величин различных порядков для этого случая
(табл. 2.7).
25
Таблица 2.7
Порядок малости
величины
(S/R)n, S ≤ 30 км
Выражение малой величи-
ны в градусной мере
ρ"(S/R)
n
1
× 10
2
1000"
2
× 10
4
5"
3
× 10
6
0,02"
4
× 10
8
0,0001"
Значение малых величин различных порядков при S ≤ 30 км
Из таблицы видно, что при S ≤ 30 км для решения главных геодезических задач нужно учитывать четыре первых члена разложения (2.20).
Нетрудно заметить, что при S > 30 км возникает необходимость удерживать большее число членов разложения для обеспечения той же точности
решения. Таким образом, при увеличении S исходные формулы становятся
сложнее и решение главных геодезических задач усложняется.
Разложение в ряд Тейлора является одним из методов решения дифференциальных уравнений (2.18), основанным на аппроксимации искомого
решения у = φ (х) степенным рядом в функции от исходных данных х.
В настоящее время, в связи с широким использованием ПЭВМ, появилась возможность применять другие, более эффективные, численные
методы решения дифференциальных уравнений (2.18), основанные на
непосредственном вычислении приращения функции Δу в зависимости от
приращения Δх независимой переменной. К таким методам относится метод Эйлера и Рунге – Кутта.
В геодезической практике наибольшее распространение получил метод Рунге – Кутта и его модификации. Отличительной особенностью этих
методов является простота программирования, высокая точность решения,
универсальность и единообразие вычислений при любых расстояниях. При
этом решение прямой геодезической задачи сводится к задаче Коши, в которой необходимо найти решение обыкновенного дифференциального
уравнения:
у' = φ (х, у), (2.21)
в виде
у = φ (х), (2.22)
удовлетворяющего начальным условиям у (х0) = у0, которым соответствуют
исходные данные В1, L1, А12 в начальной точке.
Идея метода Рунге – Кутта кратко состоит в следующем.
Решение уравнения (2.7) в точке х
запишется в виде:
j+1
26
где
(2.23)
(2.24)
Коэффициенты γi, αi, βij в (2.23) и (2.24) подбираются из условия,
чтобы несколько первых членов разложения (2.23) в ряд Тейлора по степеням h совпали с соответствующими членами разложения по степеням h
точного решения уj (хi + h).
Пусть i = 2, j = 0, тогда
(2.25)
где
(2.26)
Раскладывая (2.26) в ряд Тейлора, получим:
где f = f (х0, у0).
Подставляя формулу (2.27) в (2.25), получим:
(2.28)
Разложение точного решения имеет вид:
(2.29)
27
(2.27)
Сравнивая соответствующие коэффициенты при hf,
,
в формулах (2.29) и (2.28), получим:
γ1 + γ
=1;
2
;
, (2.30)
откуда
; γ1 = 1 – γ2, (2.31)
где γ2 – произвольная не равная нулю постоянная.
При γ2 = 0,5 получим:
; k1 = hf (x0, y0); k2 = hf (x0 + h, y0 + k1). (2.32)
Формулы (2.32) являются решением по методу Рунге – Кутта 2-го
порядка. При i = 1,2,…., n получим в общем случае более точные формулы
Рунге – Кутта n-го порядка.
Решение (2.32) имеет простой геометрический смысл. В точке (х0, у0)
вычисляется тангенс угла наклона k1/h функции у = φ (х). Используя его,
продвигаются на шаг h вперед и вычисляют тангенс угла наклона k2/h.
Каждый тангенс угла наклона имеет вес, равный единице. Среднее значение тангенса из двух вычисленных принимают за окончательный, чтобы
сделать шаг от (х0, у0) к (х1, у1).
Пробные шаги, которые дают информацию для окончательного решения, можно планировать различными способами. Метод выбора пробных точек влияет на точность и эффективность решения. Этим обстоятельством можно объяснить появление модификаций классического метода
Рунге – Кутта, которые отличаются большой эффективностью решения. Из
современных модификаций наиболее удобным в практическом отношении
оказался метод Рунге – Кутта – Ингланда, который дает возможность
надежно оценить точность решения, не определяемую в обычном методе
Рунге – Кутта.
Метод Рунге – Кутта – Ингланда в настоящее время является наиболее оптимальным по точности и эффективности решения прямой геодезической задачи на любые расстояния.
Обратная геодезическая задача принципиально может быть решена
методом Рунге – Кутта и его модификациями. Однако практическая реализация метода в этом случае требует итерационного решения, снижая,
таким образом, его эффективность по сравнению с существующим методом Гаусса.
,
28
Поэтому наилучшим численным методом для решения обратной геодезической задачи на малые и средние расстояния является метод Гаусса,
основанный на разложении подынтегральной функции (2.19) в ряд со
средними аргументами.
В основу существующих методов решения главных геодезических
задач для больших расстояний положена идея Бесселя, в соответствии с
которой от геодезических элементов на эллипсоиде переходят к вспомогательной сфере, осуществляя на ней решение полярного сферического треугольника и определяя искомые величины. После этого вычисляют и вводят в решение поправки, необходимые для перехода вновь на поверхность
эллипсоида.
Практическая реализация этой идеи, т. е. формул Бесселя связана с
трудностями вычислений эллиптических интегралов,
Существующие модификации формул Бесселя направлены на аппроксимирование подынтегральной функции аналитическим выражением,
удобным для практических расчетов.
Задание 5. Решение прямой геодезической задачи методом Рунге –
Кутта – Ингланда
Цель задания – освоить методику вычисления геодезических координат пункта по известным координатам другого пункта, азимуту направления и расстоянию между ними.
Метод Рунге – Кутта – Ингланда состоит в том, что решение дифференциального уравнения первого порядка в точке х
имеет вид:
j+1
, (2.33)
где
;
;
;
Ошибка интегрирования на одном шаге (локальная ошибка) определяется по формуле:
,
– шаг интегрирования.
29
где
Применяя (2.33) к решению интегралов (2.19), получим рабочие
формулы:
где
;
(2.35)
, (2.34)
.
Для эллипсоида Красовского:
С = 6 399 698,9 м, β = 0,0084 2316.
Значения αi и φi приведены в табл. 2.8.
Локальные ошибки для координат и азимута вычисляются по формулам:
(2.36)
, ;
, i = 1,…,6 – номер пробного шага.
;
(2.37)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]