Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
.pdf
Г. СЕКЕЙ
ПАРАДОКСЫ
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
Издание второе, переработанное и дополненное
Перевод с английского В. В. Ульянова
под редакцией В. В. Сазонова
МоскваИжевск
2019
УДК 519.21
ББК 22.17
С28
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Секей Г.
Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике: Пер.
с англ. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 272 стр.
Книга венгерского математика, содержащая собрание неожиданных выводов
и утверждений из теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Она написана живо и увлекательно, представленный в ней материал можно использовать для иллюстрации в вузовских лекциях по теории вероятностей, а некоторые разделы — в работе школьных математических кружков.
Для математиков разной квалификации, для всех изучающих теорию вероятностей и математическую статистику.
ISBN 978-5-4344-0739-7
c
Институт компьютерных исследований, 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.17
Оглавление
Предисловие редактора перевода и переводчика .......... 9
Предисловие к русскому изданию .................. 12
Предисловие редактора серии .................... 13
Введение ................................ 16
Г
ЛАВА I. Классические парадоксы теории вероятностей ..... 18
1. Парадокс игры в кости. «Азартные игры» в мире физических
частиц................................. 18
2. ПарадоксдеМере.......................... 22
3. Парадоксразделаставки ...................... 26
4. Парадокснезависимости ...................... 29
5. Парадоксыбриджаилотереи.................... 33
6. Парадокс раздачи подарков; травмы, причиненные лошадьми;
телефонныевызовы;опечатки ................... 38
7. Санкт-петербургскийпарадокс................... 43
8. Парадокс смертности населения. Безвозрастный мир атомов
ислов................................. 50
9. ПарадоксзаконабольшихчиселБернулли ............ 54
10.ПарадоксдеМуавра;экономияэнергии.............. 58
11.ПарадоксБертрана.......................... 63
12.Парадоксизтеорииигр.Парадоксгладиатора .......... 67
13.Ещенесколькопарадоксов ..................... 74
а) Парадокс событий, происходящих почти наверно . . . . . 74
б) Парадоксвероятностииотносительнойчастоты...... 74
в) Парадоксы,связанныесбросаниеммонеты ........ 74
г) Парадоксусловнойвероятности............... 76
д) Парадоксслучайныхвременожидания........... 77
е) Парадокстранзитивности .................. 78
ж) Парадокс измерения регулярности игральной кости . . . . 80
6ОГЛАВЛЕНИЕ
з) Парадоксднярождения.................... 81
и) Парадоксгербовирешек................... 81
к) Ребромонеты ......................... 82
л) ПарадоксБореля........................ 83
м) Парадоксусловныхраспределений ............. 84
н) Какигратьвпроигрышнуюигру .............. 84
о) Парадоксстрахования..................... 85
п) Абсурдныерезультаты,ЛьюисКэрролл........... 86
р) Парадокссмертнойказни................... 86
с) Парадокстрехдверей—заключаемсделку......... 87
т) Парадоксдвухконвертов................... 88
у) Парадокспсихологическихценностей ........... 88
Г
ЛАВА II. Парадоксы в математической статистике ........ 90
1. ПарадоксБайеса........................... 92
2. Парадоксоценокматематическогоожидания........... 97
3. Парадоксоценокдисперсии ....................104
4. Парадоксметоданаименьшихквадратов .............106
5. Парадоксы корреляции . . .....................109
6. Парадоксырегрессии ........................116
7. Парадоксыдостаточности......................121
8. Парадоксыметодамаксимальногоправдоподобия........123
9. Парадоксинтервальныхоценок ..................127
10.Парадокспроверкигипотез.....................132
11.ПарадоксРеньиизтеорииинформации..............136
12. Парадокс t-критерияСтьюдента ..................140
13.Ещенесколькопарадоксов .....................144
а) Парадокс типичного и среднего . . . . . ..........144
б) Парадоксоценивания.....................145
в) Парадоксточностиизмерения ................145
г) Парадоксальноеоцениваниевероятности..........145
д) Чембольшеданных,темхужевыводы ...........146
е) Парадоксравенстваматематическихожиданий ......148
ж) Парадоксальная оценка для математического ожидания
нормальногораспределения .................148
з) Парадокспроверкинормальности..............149
и) Парадокслинейнойрегрессии................150
к) ПарадоксСетурамана.....................150
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
л) Парадокс минимаксной оценки . . . . . ..........151
м) ПарадоксРоббинса ......................151
н) Парадоксбайесовскоймодели................152
о) Парадоксдоверительныхинтервалов ............153
п) Парадокс проверки независимости; являются ли эффек-
тивныелекарстваэффективными?..............153
р) Парадокскомпьютернойстатистики.............155
Г
ЛАВА III. Парадоксы случайных процессов ............ 156
1. Парадоксветвящихсяпроцессов..................157
2. Марковскиецепиифизическийпарадокс.............159
3. Парадоксброуновскогодвижения .................164
4. Парадокс времени ожидания (Ходят ли автобусы чаще в обрат-
ном направлении?) . .........................169
5. Парадоксслучайныхблужданий..................174
6. Биржевыйпарадокс;мартингалы..................176
7. Ещенесколькопарадоксов .....................181
а) ПарадоксИаковаиЛавана ..................181
б) Парадокс процессов с независимыми приращениями . . . 182
в) Парадоксзабитыхголов ...................182
г) Парадоксожидаемоговремениразорения .........184
д) Парадоксоптимальныхправилостановки .........186
е) Парадоксвыбора .......................186
ж) ПарадоксПинскераостационарныхпроцессах ......188
з) Парадоксы голосования и выборов; случайные поля . . . 189
Г
ЛАВА IV. Парадоксы в основаниях теории вероятностей. Разные
парадоксы ............................. 193
1. Парадоксыслучайныхнатуральныхчисел ............196
2. ПарадоксБанаха–Тарского.....................200
3. ПарадоксметодаМонте-Карло...................202
4. Парадокс неинтересных чисел; невычислимая вероятность . . . 206
5. Парадоксслучайныхграфов ....................210
6. Парадоксматематическогоожидания ...............212
7. Парадокспервойцифры.......................214
8. Парадокс нулевой вероятности (Можно ли из ничего получить
что-то?)................................217
9. Парадоксбезграничноделимыхраспределений .........219
8ОГЛАВЛЕНИЕ
10.Парадоксыхарактеризации.....................224
11.Парадоксыфакторизации......................226
12.Парадокснеразложимыхипростыхраспределений .......230
13.Ещенесколькопарадоксов .....................232
а) Парадоксделенияраспределенийпополам.........232
б) Патологическиевероятностныераспределения ......234
в) Парадокспродавцагазет ...................236
г) ПарадоксКестена .......................236
д) Парадоксстохастическогогейзера..............237
е) Парадоксвероятностивквантовойфизике.........238
ж) Парадокскриптографии ...................239
з) Парадокспоэзииитеорииинформации...........241
ЛАВА V. Парадоксология ...................... 243
Г
Обозначения .............................. 245
Таблицы ................................ 246
Литература по теории вероятностей ................. 257
Именной указатель .......................... 260
Предметный указатель ........................ 266
Предисловие редактора перевода
и переводчика
Любопытный отыскивает редкости только
затем, чтобы им удивляться; любознательный же — затем, чтобы узнать их и перестать удивляться.
Р. Декарт
Настоящая книга представляет собой замечательное собрание неожиданных, противоречащих «здравому смыслу» выводов и утверждений, которых немало в теории вероятностей, математической статистике, теории
случайных процессов и анализ которыхведет к более глубокому пониманию
этих предметов. Автор показывает, как разрешение различных парадоксов,
связанных со случайностью, способствовало возникновению и развитию
теории вероятностей и ее приложений. В книге рассматриваются как парадоксы, ставшие уже классическими, так и неожиданные результаты последних лет, разбросанные по журнальным статьям. Детально разбирается
около 50 парадоксов. Для каждого приводится история его возникновения
и рассказывается о первых, не всегда удачных попытках его разрешения,
затем формулируется сам парадокс и дается его объяснение с точки зрения
современных представлений, рассматриваются различные обобщения парадокса, важнейшие понятия и факты из теории вероятностей и ее применений, на установление которых повлияло разрешение данного парадокса.
Кроме детально разобранных в книге приводятся также более 50 парадоксов, подробный анализ которых предлагается провести читателям.
Глава I «Классические парадоксы теории вероятностей» содержит разбор таких широко известных задач, как парадокс де Мере, задача о справедливом разделе ставки, парадокс Бертрана, петербургская игра и т.п. Для
читателей, которые только начинают изучение теории вероятностей, эта глава интересна тем, что в ней в увлекательной доступной форме излагаются
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА И ПЕРЕВОДЧИКА
фундаментальные понятия теории вероятностей: классическая и геометрическая вероятности, условные вероятности, функция распределения, плотность, моментные характеристики, пуассоновское и нормальное распределения, закон больших чисел и центральная предельная теорема. Основная
часть главы проста для понимания и может быть использована в работе
школьных математических кружков. Для тех, кто уже знаком с теорией
вероятностей, будет интересна история возникновения и решения классических парадоксов. Любопытны также задачи, подробный анализ которых
оставлен читателям, например парадокс Бореля о случайной точке на поверхности шара, задача о страховании имущества и др. Заканчивается глава
двумя софизмами Льюиса Кэрролла, связанными с понятием вероятности.
В главе II «Парадоксы в математической статистике» рассматриваются
вопросы, касающиеся оценок по методам наименьших квадратов и максимального правдоподобия, регрессии, достаточных статистик, доверительных интервалов, проверки гипотез и т.д. Иными словами, она содержит
богатый материал, который можно использовать в курсах лекций по математической статистике, иллюстрируя границы применимости статистических методов и обращая внимание на то, что статистические выводы
справедливы лишь при выполнении определенных вероятностных условий.
Некоторые утверждения просты, например: не все случайные величины
с нулевым коэффициентом корреляции независимы. Однако большая часть
парадоксов менее очевидна, например парадокс о существовании оценок
более эффективных, чем оценки максимального правдоподобия.
Главы III и IV посвящены парадоксам, обнаруженным сравнительно
недавно, например парадоксам случайных процессов, моделирующих броуновское движение, избирательные кампании, деятельность фондовой биржи и т. п. В главе IV шире, чем в других главах, представлены связи теории
вероятностей с другими науками. Здесь и теория чисел, и квантовая физика,
и моделирование псевдослучайных чисел на ЭВМ, и нестандартный анализ,
и криптография. Обсуждаются и чисто вероятностные неожиданные факты,
такие как существование небезгранично делимых компонент у безгранично
делимых распределений.
В последней главе на нескольких примерах иллюстрируется мысль
автора о том, что математика, как и большинство разделов науки, — это
история парадоксов.
Книга написана живо и увлекательно. Ее материал можно использовать
в вузовских курсах лекций по вероятности и статистике и при самостоятель-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]