Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
.pdf
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА И ПЕРЕВОДЧИКА 11
ном изучении этих дисциплин для более глубокого и активного овладения
предметом.
При работе над переводом с автором поддерживался постоянный контакт, что способствовало быстрому решению возникавших вопросов. Русский перевод несколько отличается от английского оригинала, в него внесены изменения и уточнения, предложенные автором для русского издания.
Москва, февраль 1989 г. В. Сазонов
В. Ульянов
Предисловие к русскому изданию
Я очень рад переводу моей книги на русский язык, это большая честь
для меня, так как на мои исследования по теории вероятностей оказали
влияние работы многих советских математиков. Отмечу, что совместная
с И. Ружей монография по алгебраической теории вероятностей (Wiley,
1988) была вдохновлена в основном трудами А. Я. Хинчина, Ю. В. Линника
и И.В. Островского. Я никогда не видел Хинчина и Островского, но встречался с Ю. В. Линником, а также с А. Н. Колмогоровым и Б.В. Гнеденко. Все
они стимулировали мои дальнейшие исследования и обещали содействие
в публикации книги по парадоксам теории вероятностей. К сожалению, ни
Линнику, ни Колмогорову не пришлось прочитать эту книгу, но в 1987 г.
в Москве я смог подарить экземпляр книги на английском языке профессору Гнеденко, который был со мной очень любезен. Здесь я еще раз хочу
поблагодарить его за гостеприимство.
Надеюсь, что моя книга понравится советским читателям и они прочтут
ее с интересом.
Будапешт, май 1988 г. Габор Секей
Предисловие редактора серии
Приступай к решению своих проблем правильно и начинай с ответов. Тогда, возможно, однажды ты найдешь главный вопрос.
«Отшельник в журавлиных перьях»
в книге Р. ван Гулика «Убийства в китайском лабиринте»
Дело не в том, что они не видят решения.
Дело в том, что они не видят проблемы.
Г.К. Честертон. «Острие булавки»
из сборника «Скандальное происшествие с отцом Брауном»
Все возрастающая специализация и растущее многообразие направлений в математике привели к появлению множества монографий и учебников
по различным специальным вопросам, число которых постоянно увеличивается. Однако «дерево» математических знаний и связанных с математикой
наук растет не только благодаря появлению новых ветвей. Достаточно часто случается так, что направления, считавшиеся совершенно различными,
оказываются вдруг связанными.
Математические знания и уровень их применения в различных науках за последние годы в значительной степени изменялись: теория меры
(нетривиально) используется в экономической географии и теоретической
экономике; алгебраическая геометрия взаимодействует с физикой; лемма
Минковского, теория кодирования и структура воды встречаются в теории
упаковки и покрытия; теория гомотопий оказывается полезной в математическом программировании, при изучении квантовых полей и дефектов кристаллов; алгебры Ли связаны с фильтрацией; при прогнозировании и в электротехнике применимы пространства Штейна. И в дополнение к этому
14 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
возникли такие новые дисциплины, как «экспериментальная математика»,
«вычислительная гидродинамика», «вполне интегрируемые системы», «хаос, синергетика и дальний порядок», которые почти невозможно подогнать
под уже существующие схемы классификации. Эти дисциплины опираются
на различные разделы математики. Наша программа «Математика и ее применения» посвящена новым направлениям и таким (новым) взаимосвязям,
как:
— центральное понятие, играющее важную роль в нескольких различных
областях математики и/или других науках;
— новые применения результатов и идей из одной области научных ис-
следований в другой области;
— влияние, которое оказывают результаты, проблемы и понятия одной
области исследований на развитие другой области.
В рамках программы «Математика и ее применения» делается попытка издания книг, тщательно отобранных в соответствии с изложенными
выше принципами. С помощью таких книг, которые скорее заинтересовывают читателей, чем дают полную информацию о предмете, и являются более интригующими, чем энциклопедическими, мы надеемся способствовать лучшему взаимопониманию специалистов в разных областях
науки.
Поскольку объем научных исследований, проводимых в Советском Союзе, Восточной Европе и Японии, очень велик, было решено обратить особое внимание на работы, выполненные в этих регионах. Таким образом,
было решено начать издание трех региональных серий в рамках главной
программы «Математика и ее применения».
Прогресс в математике, как и в других науках, во многом определяется такими вопросами и/или результатами, которые заставляют, так
сказать, встряхнуть наши прежние представления и увидеть, что новые решения и естественны, и прекрасны. Парадоксы, т. е. противоречащие интуиции, но верные результаты, возможно, являются лучшим примером проблем такого вида. Теория вероятностей — наука о случайных событиях — всегда была особенно богата парадоксами, много их
и сейчас.
Изучение и понимание какой-либо области науки с помощью парадоксов есть, видимо, один из лучших способов развить в себе настоя-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 15
щую интуицию. Для теории вероятностей подобная книга была бы идеальной.
Ничем не объяснимая эффективность математики в науках . . .
Эуген Вигнер
Что ж, если вам известна лучшая роль,
займитесь ею.
Брюс Бейрнсфатер
То, что сейчас доказано, когда-то существовало лишь в воображении.
Уильям Блейк
До тех пор, пока алгебра и геометрия двигались различными путями, их развитие
было медленным, а применение ограниченным.
Но когда эти науки объединились, они почерпнули друг у друга свежие силы и в результате быстро двинулись вперед к совершенству.
Жозеф Луи Лагранж
Бассам, март 1986 г. Михель Хазевинкель
Введение
Самое прекрасное и глубокое переживание, выпадающее на долю человека, —
это ощущение таинственности. Оно лежит в основе религии и всех наиболее глубоких тенденций в искусстве и науке. Тот,
ктонеиспыталэтогоощущения,кажется мне, если не мертвецом, то, во всяком
случае, слепым.
Альберт Эйнштейн. Мое кредо, 1934
Замечательно, что науке, начинавшейся
с рассмотрения азартных игр, суждено
было стать важнейшим объектом человеческого знания . . .
Пьер Симон Лаплас. Аналитическая
теория вероятностей, 1812
Как и любая другая область науки, математика отражает противоречия
окружающего нас мира. Поэтому история математики, естественно, полна интересных парадоксов, и некоторые из них служили отправной точкой
больших изменений. Особенно богата парадоксами математика случайного.
По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Цель
данной книги — показать, каким образом эта стремительно прогрессирующая и широко применяемая область знаний развивалась из парадоксов.
В книге сделана попытка остановиться на тех волнующих моментах, которые предшествовали или сразу следовали за решением ряда знаменитых
парадоксов, редко упоминаемых в монографиях. В книге рассматриваются
не только интересные, но не очень значительные «жемчужины» теории вероятностей, лежащие в стороне от главных направлений ее развития; напротив, центральное место в книге занимают противоречия, разрешение которых в наибольшей степени способствовало преодолениюфундаментального
1
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Мое кредо. Т. 4. — М.: Наука, 1967.
1
ВВЕДЕНИЕ 17
кризиса в математике случайного. В книге изложены также проблемы, которые первоначально не рассматривались как парадоксы. В книге о парадоксах, очевидно, должна отражаться история развития теории вероятностей,
и поэтому в начале разбираются старейшие парадоксы этой науки.
Важно различать парадоксы и софизмы. Первые — это справедливые,
хотяи неожиданные утверждения, в то время как вторые — ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, формально кажущихся правильными. И парадоксы, и софизмы очень интересны и поучительны, но эта
книга главным образом посвящена парадоксам (за исключением, например,
1
«парадоксов» в IV/1)
. При формулировке парадоксов я стремился к тому,
чтобы каждый парадокс был ясен сам по себе. Хотя, очевидно, читателю,
не играющему в бридж или незнакомому с нормальными распределениями,
будет труднее в тех случаях, когда эти специальные понятия лежат в основе
парадоксов. Однако, читая книгу последовательно с самого начала, читатель
найдет определения важнейших понятий. (Правила игры в бридж в книге
не излагаются, однако все необходимое для понимания соответствующего
парадокса в ней можно найти.)
Книга состоит из четырех основных глав. Обсуждение каждого парадокса проходит по схеме, состоящей из пяти частей: история, формулировка,
объяснение парадокса, замечания и, наконец, список литературы. В конце каждой главы содержится еще несколько парадоксов. Они разбираются
кратко, но не потому, что они менее важны и интересны, а потому, что лежат
несколько в стороне от главного направления книги.
Первый, кто вдохновил меня на создание книги о парадоксах теории вероятностей, был мой покойный учитель — профессор Альфред Реньи. Эту
идею поддержал А. Н.Колмогоров во время нашей встречи в Будапеште
в 1972 г. В 1976 г. в течение семестра я работал в университете Амстердама, где профессор А. Балкема привлек мое внимание к нескольким интересным парадоксам. Вдохновляющими были и обсуждения моих лекций
в университете Джонса Хопкинса, в Колумбийском и Йельском университетах, в Массачусетском технологическом институте. Мне посчастливилось
также встречаться и обсуждать вероятностные проблемы с Джорджем Пойа
в Станфордском университете и в Будапеште. Я признателен ему за его советы. Особую благодарность необходимо выразить некоторым моим коллегам
из Будапештского университета им. Лоранда Этвеша и Математического
института Венгерской академии наук. Их имена часто встречаются в книге.
Наконец, следует отметить, что английское издание книги является
переработанным и дополненным вариантом венгерского издания.
1
То есть парадоксов в п. 1 гл. IV.
ГЛАВА I
Классические парадоксы теории
вероятностей
Классика — это то, что все хотели бы прочитать, но никто читать не хочет.
Марк Твен
Опытом каждый называет свои ошибки.
Оскар Уайльд
. . . истинной логикой для этого мира является исчисление вероятностей, занимающееся нахождением величин вероятностей, которые учитывает или должен учитывать любой здравомыслящий человек.
Дж. Клерк Максвелл
Размышления о случайном (например, золотые правила игроков
в азартные игры) были уже в древнейшие времена, но математические вычисления вероятностей и вероятностные парадоксы появляются в письменных источниках начиная лишь с XV века. Хотя сегодня теория вероятностей
имеет столько же общего с азартными играми, как и геометрия — с измерениями площадей при земляных работах, тем не менее первые парадоксы
возникли из популярных азартных игр.
1. Парадокс игры в кости. «Азартные игры» в мире
физических частиц
а) История парадокса
Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних
веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова «al-zar», переводимого как «игральная кость».
1. ПАРАДОКС ИГРЫ В КОСТИ.«АЗАРТНЫЕ ИГРЫ» В МИРЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ 19
Карточные игры стали популярны в Европе лишь в XIV веке, в то время
как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена
1-й династии и позднее в Греции, а также в Римской империи. (Согласно
греческой легенде игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат скучающих в ожидании битвы при Трое. Павсаний, писатель,
живший во II веке, упоминает написанную в V веке до нашей эры картину
Полигнота, на которой изображены Паламедей и Ферсит, играющие в кости.) Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре
в кости» («De Ludo Aleae») Джероламо Кардано (1501–1576 гг.), которая
в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет как была написана. Видимо,
поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она
была уже решена в работе Кардано. Галилей также написал трактат на эту
тему где-то между 1613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости» («Sopra le Scoperte dei Dadi»), но
в собрании сочинений Галилея, изданном в 1718 г., название изменили на
следующее: «О выходе очков при игре в кости» («Consideratione sopra il
Giuoco dei Dadi»).
б) Парадокс
Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает
1
налюбуюизграней1,2,3,4,5или6
. В случае бросания двух костей
сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ...,6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5
и 10=4+6=5+5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью
способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10,
когда бросают три?
в) Объяснение парадокса
Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время
ее считали страшно трудной. И Кардано,иГалилей отмечали необходимость учета порядка выпадания чисел. (В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 10 могут
получаться следующим образом: 9=3+6=6+3=4+5=5+4
и 10=4+6=6+4=5+5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9
1
На обычной игральной кости сумма очков на противоположных гранях равна 7, т. е.
падение кости на грань 1 обозначает выпадение 6 и т. д. — Прим. перев.
20 ГЛАВА I
можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 — лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. (Поскольку две кости дают
6 × 6=36различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 — лишь 3/36.) В случае трех костей ситуация меняется
на противоположную: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 — уже
26 способами. Так что 10 более вероятно, чем 9.
г) Замечания
(i) Несмотря на простоту задачи о костях, некоторым великим математикам не удавалось ее решить, так как они забывали о необходимости учета
порядка выпадений костей. (Эту ошибку часто допускают даже в наши
дни.) Ошибались и Лейбниц, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, и Даламбер, один из величайших авторов знаменитой Французской энциклопедии. Однажды Даламберу задали следующий
вопрос: с какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? Ответ ученого был 2/3, так как он считал,
что есть лишь три возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка)
и среди них только один неблагоприятный, т. е. когда выпадают две решки.
Даламбер пренебрегал тем, что три возможных исхода не равновероятны.
Правильным ответом является 3/4, потому что из равновозможных исходов
герб-герб, герб-решка, решка-герб и решка-решка только последний является неблагоприятным. Точка зрения Даламбера была даже опубликована
в Энциклопедии в 1754 г. в статье «Герб и решка» («Croix on pile»).
(ii) Задача о костях некоторым образом связана с направлениями физики XIX и XX веков. Предположим, что вместо игральной кости мы имеем
дело с физическими частицами. Каждая грань кости соответствует теперь
фазовой ячейке, в которой частица оказывается случайным образом и которая характеризует состояние частицы. В этом случае игра в кости эквивалентна модели Максвелла– Больцмана для физических частиц. В этой
модели, используемой обычно для молекул газа, каждая частица с равными шансами попадает в любую ячейку, так что при описании множества
равновозможных исходов следует учитывать порядок так же, как и в задаче
о костях. Существует другая модель, в которой частицы неразличимы, и поэтому при подсчете равновозможных исходов порядок не надо принимать
во внимание. Эта модель названа именами Бозе и Эйнштейна. Используя эту терминологию, можно сказать, что суть нашего парадокса в том,
что игра в кости описывается моделью Максвелла –Больцмана, а не Бозе –
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]