Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
.pdf
1. ПАРАДОКС ИГРЫ В КОСТИ.«АЗАРТНЫЕ ИГРЫ» В МИРЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ 21
Эйнштейна. Следует отметить, что ни одна из этих моделей не корректна
для связанных электронов, так как в этом случае в каждой ячейке может
оказаться не более одной частицы. Используя терминологию игры в кости,
можно сказать, что если на одной кости выпала 6, то ни на какой другой кости 6 уже выпасть не может. Это модель Ферми – Дирака. Возникает вопрос,
применение какой модели корректно в конкретной ситуации. (Кроме указанных трех моделей, существует множество других.) Вообще говоря, мы
не можем выбрать какую-либо модель, исходя лишь из логических соображений. В большинстве случаев решить этот вопрос позволяют опыт либо
наблюдения. Однако в случае с игральной костью очевидно, что корректна
модель Максвелла –Больцмана, а в данный момент это все, что нам нужно.
(iii) Кардано был знаменитым астрологом, и он предсказал день своей
смерти — 21 сентября 1576 года, за 10 лет до этой даты. Когда этот день
наступил, Кардано находился в добром здравии и ему пришлось совершить
самоубийство, чтобы подтвердить свою репутацию астролога.
д) Литература
Классической монографией по истории классической теории вероятностей является книга
Todhunter I. History of the Mathematical Theory of Probability, которая первоначально была опубликована в 1865 г. и переиздана в 1949 г. издательством «Publishing
House Chelsea».
Описание предыстории и ранних периодов развития теории вероятностей можно найти в книге
David F. N. Games, Gods and Gambling. Griffin, London, 1962.
Следующие книги посвящены историческим и философским аспектам ранней
теории вероятностей:
Hacking I. The Emergence of Probability. Cambridge University Press, 1973.
Майстров Л. Е. Развитие понятия вероятности. М.: Наука, 1980.
Читатели, которых интересует начальная история теории вероятностей, могут
найти дополнительную информацию в журналах Biometrica и Archive for the History
of Exact Sciences.
Английский перевод первой монографии о задачах, связанных с игрой в кости, а также подробную биографию автора монографии Джероламо Кардано можно
найти в книге
Ore Ø. Cardano, the Gambling Scholar. Princeton University Press, Princeton, 1953.
1
Полезно также прочитать «Очерк истории теории вероятностей» в книге Б.В. Гнеденко
«Курс теории вероятностей», М.: Наука, 1988. — Прим. перев.
1
22 ГЛАВА I
2. Парадокс де Мере
а) История парадокса
Существует старая история, впервые рассказанная, видимо, Лейбницем, о том, как известный французский игрок XVII века шевалье де Мере
по дороге в свое имение в Пуату встретил Блеза Паскаля,одногоиззнаменитейших ученых XVII века. Де Мере поставил перед Паскалем две задачи,
обе связанные с азартными играми. Первой задачей был рассматриваемый
парадокс (вторая — разбирается в следующем параграфе). Обе задачи Паскаль обсуждал в 1654 г. в своей переписке с Пьером де Ферма,другим
высокоодаренным ученым, жившим в Тулузе. Оба ученых пришли к одинаковому результату, что весьма обрадовало Паскаля. В своем письме он
отмечал: «Я вижу, что истина одинакова и в Тулузе, и в Париже». Эй-
штейн Оре, профессор Йельского университета, утверждал, что парадоксы,
приписываемые де Мере, на самом деле были широко известны значительно раньше, дело лишь в том, что Паскаль о них не знал. Неверно также,
что шевалье был страстным игроком, парадоксы его интересовали скорее
теоретически, чем практически, и поэтому его не удовлетворило, что Паскаль «всего лишь» решил задачу, подтвердив правильный ответ, который
де Мере уже знал. Шевалье не смог понять, каким образом разрешается
парадокс.
б) Парадокс
При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что
по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух 1 одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы
получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24
как раз в 6 раз больше 4.
в) Объяснение парадокса
Если правильную игральную кость бросают k раз, то число возможных
k
(и равновероятных) исходов равно 6
.В5kслучаях из этих 6kкость не
ляжет на шестерку, и, следовательно, вероятность выпадения по крайней
мере один раз 1 при k бросаниях равна
k
− 5k)6k=1−(5/6)k,
(6
2. ПАРАДОКС ДЕ МЕРЕ 23
что больше 1/2, если k =4. С другой стороны, величина 1 − (35/36)k,
которая получается аналогично, все еще меньше 1/2 для k =24и превосхо-
дит 1/2, начиная с k =25. Так что «критическое значение» для одной кости
равно 4, а для пары костей равно 25. Это безусловно правильное решение
на самом деле не удовлетворило де Мере, так как сам ответ он уже знал,
но из решения так и не понял, почему ответ не согласуется с «правилом
пропорциональности критических значений», утверждающим, что если вероятность уменьшается в шесть раз, то критическое значение возрастает
вшестьраз(4 : 6 = 24 : 36). Абрахам де Муавр (1667–1754 гг.) в своей книге
«Доктрина шансов» («Doctrine of Chances»), опубликованной в 1718 г., доказал, что «правило пропорциональности критических значений» недалеко
от истины, так как если p — вероятность некоторого события (например, вероятность «выбросить» единицу есть p =1/6), то критическое значение k
можно найти, решая уравнение
x
(1 − p)
=1/2
(это уравнение имеет решение, если p заключено строго между 0 и 1).
Критическое значение k есть наименьшее целое число, превосходящее x.
Решение приведенного выше уравнения дается формулой
2
x = −ln 2ln(1 − p)=ln2(p + p
/2+...), (∗)
где ln означает натуральный логарифм (по основанию e =2,71 ...). Из вида
2
решения ясно, что если p
пренебрежимо мало, то p убывает почти пропор-
ционально возрастанию критического значения, как де Мере и предполагал.
Де Муавр использовал приближенную формулу x ≈ ln 2/p ≈ 0,69/p для
исследования вопросов, связанных с Лондонской лотереей. В этом случае
значение p было 1/32, а для p =1/32 точное значение x =22,135 ...,вто
время как приведенная выше формула дает приближение 22,08, что достаточно близко к истинному значению. Парадокс де Мере возникает потому,
2
что для p =1/6 величина p
/2 (и другие слагаемые знаменателя в форму-
ле (∗)) не настолько мала, чтобы ею можно было пренебречь. Таким образом,
«правило пропорциональности критических значений» является правилом
асимптотически верным, ошибка от его применения растет с ростом p.Это
и есть настоящее решение данного парадокса.
г) Замечания
(i) Типично неверное решение задачи де Мере восходит к Кардано.
Он рассуждал следующим образом: вероятность получения пары единиц
24 ГЛАВА I
равна 1/36, следовательно, для того чтобы с вероятностью 1/2 получить пару единиц по крайней мере один раз, нужно бросить кость ровно 18 раз.
Рассуждая таким образом, мы придем к тому, что если кость бросают более 36 раз, то вероятность выпадения пары единиц больше 1, что, конечно,
невозможно.
(ii) Существуют некоторые «случайные величины», которые подчиняются «правилу пропорциональности». (Мы рассмотрим эти случайные
величины в парадоксе 8.) Некоторые из этих случайных величин играют
важную роль в ядерной физике, в которой критическое значение называется периодом полураспада. Период полураспада обратно пропорционален
постоянной распада, которая соответствует p.
(iii) Число бросаний правильной игральной кости до первого выпадения единицы есть величина, зависящая от случая, иными словами, слу-
чайная величина. Обозначим эту случайную величину через v.Возмож-
ными значениями v являются 1, 2, 3, 4,.... Вероятность того, что v = k
k−1
(где k — произвольное положительное целое число), равна (5/6)
/6.Так
что среднее или математическое ожидание величины v (определяемое как
взвешенное среднее ее значений с весами, равными соответствующим вероятностям) равно
2
1 · 1/6+2· 5/6 · 1/6+3(5/6)
/6+4(5/6)3/6+...=6.
В более общем случае, если p — вероятность появления некоторого события A и мы повторяем независимые испытания до тех пор, пока A не
произойдет, математическое ожидание числа необходимых испытаний равно 1/p. Таким образом, эти математические ожидания подчиняются «правилу пропорциональности»: для получения пары единиц в среднем потребуется в шесть раз больше бросаний, чем для получения одной единицы.
(iv) До сих пор мы использовали интуитивное представление о вероятностной независимости. К этому мы вернемся позднее.
(v) Объяснение парадокса де Мере не стало широко известным.
В 1693 г., спустя почти сорок лет после того, как проблема была решена Паскалем, Самьюэл Пепис (президент Королевского общества с 1684 г.)
предложил Ньютону почти точно такую же задачу. Ньютон также нашел
правильный ответ, который в свою очередь не удовлетворил Пеписа.
(vi) Дрейдель («Dreydel» или «draydl») — это древняя игра, похожая на
игру в кости. (Она также напоминает английскую игру «положи-и-возьми».)
В дрейдель играют евреи во время праздника Ханука. Сравнительно недавно Фейнерман обнаружил (см. ссылку ниже), что эта игра несправедлива,
2. ПАРАДОКС ДЕ МЕРЕ 25
Рис. 1. Грани одной игральной кости, размеченной обычным способом, и грани
двух костей, размеченных нестандартно. При бросании двух симметричных костей,
размеченных нестандартным образом (б,ив), вероятности того, что в сумме получится 2, 3, ..., 12, совпадают с соответствующими вероятностями при бросании
двух обычных игральных костей.
если число играющих больше двух, хотя, как это ни парадоксально, никто
этого не заметил в течение более 2000 лет!
Дрейдель — это четырехсторонний волчок, стороны которого обозначаются буквами N, G, H и S (соответствующими буквам иврита: нун,
гимел, хей и шин). В игре участвует произвольное число игроков, каждый из которых делает ставку, равную некоторой денежной единице, чтобы начать игру. Игроки по очереди запускают волчок до тех пор, пока по
взаимному согласию не прекращают игру. Выплаты (игроку, который запускал волчок) соответствуют каждому из четырех возможных исходов:
N — игрок ничего не получает, H — получает половину общей ставки,
G — забирает всю общую ставку, S — делает еще одну ставку. В том слу-
чае, когда при запуске волчка получается G и игрок забирает всю общую
ставку, все игроки вновь делают ставки для продолжения игры. Если обозначить число игроков через m, то математическое ожидание выигрыша
при n-мзапускеволчкаравноE
образом, если m>2,тоE
— строго убывающая последовательность. Сле-
n
= m/4+(5/8)
n
n−1
(m − 2)/8.Таким
довательно, первый игрок (который запускает волчок при n =1, M +1,
2m +1,...) всякий раз имеет больший ожидаемый выигрыш, чем второй
игрок. . .
д) Литература
Ore Ø. «Pascal and the invention of probability theory», The American Math.
Monthly, 67, 409–419 (1960). В этой статье сделан обзор результатов недавних ис-
следований, связанных с ролью де Мере и Паскаля.
26 ГЛАВА I
R´enyi A. Letters on Probability,Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 1972. [Имеется перевод в книге Реньи А. Трилогия о математике. — М.: Мир. 1980.] Эта книга знакомит
читателя с ранним периодом развития теории вероятностей в форме четырех выдуманных писем (якобы написанных Паскалем Ферма).
Schnell E. D. «Samuel Pepys, Isaac Newton and the Probability», The American
Statistician, 14, 27–30 (1960). Это статья о переписке между Ньютоном и Пеписом.
За исключением первого письма Паскаля (которое исчезло), переписка между
Паскалем и Ферма опубликована в книге Smith D. E. A Source Book in Mathematics,
McGraw-Hill, New York, 1929, 546–565 (есть новое издание 1959 г.).
Feinerman R. «An ancient unfair game», The American Math. Monthly, 83, 623–625
(1976).
Trachtenberg F. M. «The game of dreidel made fair», The College Mathematics
Journal, 27 (1966), 278–281.
3. Парадокс раздела ставки
а) История парадокса
Этот парадокс был впервые опубликован в Венеции в 1494 г. в обзоре средневековой математики. Автор Фра Лука Пачоли (1445–1509 гг.)
назвал свою книгу «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» («Summa de arithmetica, geometria, proportion!
et proportionalita»). В этой книге впервые использовалось слово «миллион»
и объяснялась двойная бухгалтерия. Интересно отметить, что в Милане Фра
Лука близко подружился с Леонардо да Винчи, и благодаряэтой дружбе Лео-
нардо иллюстрировал работу Фра Лука «О божественных пропорциях» («De
Divina Proportione»),опубликованную в Венеции в 1509 г. Недавно Эйштейн
Оре обнаружил итальянскую рукопись, датированную 1380 г., в которой
также упоминается парадокс раздела ставки. Многое указывает на арабское
происхождение задачи или по крайней мере на то, что в Италию задача
попала вместе с арабским учением. Как бы ни стара была проблема, фактом остается, что для ее правильного решения потребовалось очень много
времени. Сам Пачоли даже не видел связи этой задачи с теорией вероятностей; он рассматривал ее как задачу о пропорциях. Неверное решение дал
Никколо Тарталья (1499–1557 гг.), хотя он был достаточно гениален, чтобы
в математической дуэли за одну ночь открыть формулу корней кубического
уравнения. После нескольких неудачных попыток Паскаль и Ферма в конце
концов в 1654 г. независимо друг от друга нашли правильный ответ задачи.
3. ПАРАДОКС РАЗДЕЛА СТАВКИ 27
Это открытие было настолько важным, что многие считают этот год временем рождения теории вероятностей, а все предшествующие результаты
относят к ее предыстории.
б) Парадокс
Два игрока играют в безобидную игру (т. е. у обоих шансы победить
одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий,
получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась
до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл
5 партий, а второй — 3). Как справедливо следует разделить приз? Хотя в действительности эта проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых величайших ученых решить ее, а также неверные противоречивые ответы создали легенду о парадоксе. Согласно одному
ответу приз следовало разделить пропорционально выигранным партиям,
1
т. е. 5:3
. Тарталья предложил делить в отношении 2:1.(Наиболеевероят-
но, что он рассуждал следующим образом: так как первый игрок выиграл
на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для
победы 6 партий, то первый игрок должен получить одну треть от приза,
а оставшуюся часть следует разделить пополам.) На самом деле справедливым является раздел в отношении 7:1, что сильно отличается от предыду-
щих результатов.
в) Объяснение парадокса
И Паскаль, и Ферма рассматривали эту проблему как задачу о вероятностях. Так что справедливым будет раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Покажем, что в случае, когда первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму игроку
для победы требуется выиграть три, справедливое отношение равно 7:1.
Следуя идее Ферма, продолжим игру тремя фиктивными партиями, даже если некоторые из них окажутся лишними (т. е. когда один из игроков уже выиграл приз). Такое продолжение делает все 2 · 2 · 2=8воз-
можных исходов равновероятными. Поскольку только при одном исходе
второй игрок получает приз (т. е. когда он выигрывает все три партии),
а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является
отношение 7:1.
1
Как утверждает Б.В. Гнеденко, этот ответ предложен Пачоли. — Прим. перев.
28 ГЛАВА I
г) Замечания
(i) Общее решение для случая, когда первому игроку для получения
приза требуется выиграть еще n партий, а второму — m партий, также было
найдено Паскалем и Ферма.Для первого игрока шансы получить приз равны
−n−m+1
2
j=n
n + m −1
n+m−1
(Здесь число фиктивных партий равно n + m −1 ивсевозможные2
j
.
n+m−1
исходов равновероятны.) В 1654 г. весь Париж говорил о возникновении
новой науки — теории вероятностей. Спустя несколько месяцев в Париж
из Голландии приехал молодой гений Христиан Гюйгенс, чтобы обсудить
с Паскалем или Ферма вероятностные проблемы, которыми он тоже интересовался. Однако случилось так, что он не встретился ни с одним из них.
(Паскаль был поглощен религией и не принимал гостей, а Ферма жил вдали от Парижа.) Тем не менее о наиболее интересных результатах Гюйгенс
узнал. Вскоре он вернулся в Голландию и начал писать книгу по теории
вероятностей. Эта замечательная работа, которая, в частности, содержит
решение задачи о разделе ставки для трех игроков, была опубликована
в 1657 г. под названием «О расчете в азартных играх» («De Ratiociniis in
Aleae Ludo») в виде части (пятой книги) труда Схоутена «Математические
этюды» («Exercitationes Mathematicarum»). В работе Гюйгенса 16 страниц;
она начинается с предисловия и содержит решения 14 задач, связанных
с азартными играми.
(ii) Прекрасную идею Ферма о продолжении игры в 1977 г. (!) использовал Андерсон (см. ссылку ниже). Он доказал следующую поразительную
теорему: игрок, который подает первым, имеет одинаковые шансы выиграть
в N партиях раньше своего соперника независимо от того, подают ли игро-
1
ки поочередно или подает тот, кто выигрывает предыдущую партию
.
д) Литература
Anderson С. L. «Note on the advantage of the first serve», J. Combinatorical Theory
(A) 23, 363 (1977).
1
Эту теорему комбинаторными методами раньше доказал Кингстон (см. Kingston J. G.
Comparison of Scoring systems in two-sided competitions, J.Comb. Theory (A), 20, 357–362,
(1976)). Андерсону принадлежит простое доказательство теоремы с использованием идеи Ферма. — Прим. перев.
4. ПАРАДОКС НЕЗАВИСИМОСТИ 29
Jordan K. Chapters on the Classical Calculus of Probabilities,Akad´emiai Kiad´o,
Budapest, 1972.
4. Парадокс независимости
а) История парадокса
Сначала определим понятие независимости для двух случайных событий A и B. Обозначим их вероятности через P(A) и P(B),ипусть
P (AB) — вероятность того, что наступят и A,иB.(СимволP широко
используется для обозначения вероятности события, поскольку не только
в английском, но и во многих других языках начальной буквой слова «вероятность» является P — probabilitas в латинском, probabilit´e во французском, probabilidad в испанском, probabilit´a в итальянском языке и т. д.) Пусть
A — произвольное событие и B — событие, имеющее положительную вероятность. Вероятность события A при условии, что событие B произошло,
иными словами, условную вероятность A относительно B, будем обозначать P (A |B) и определять отношением
P (A |B)=P (AB)/P (B).
Два события A и B называются независимыми, если справедливо равенство
P (A |B)=P (A),
т. е. если условная вероятность равна безусловной. Если записать предыдущее соотношение в виде
P (AB)=P (
A) · P (B), (∗)
то мы получаем простое равенство, симметричное по A и B, в котором даже
не надо предполагать, что вероятность P(B) положительна. Следовательно,
предпочтительнее начать со следующего определения: два события A и B
независимы, если выполнено равенство (∗).
Математическое определение независимости, как правило, согласуется
с нашим обычным представлением о независимости. Например, если мы
бросаем две кости, то события «шестерка на первой кости» и «шестерка на второй кости», очевидно, независимы как в общепринятом смысле,
так и математическом. Это согласование, однако, наблюдается не всегда.
С. Н.Бернштейн обратил внимание на следующий парадокс.
30 ГЛАВА I
б) Парадокс
Предположим, что бросают две правильные монеты. Пусть событие A — «на первой монете выпал герб», событие B — «на второй монете
выпал герб» и событие C — «на одной (и только на одной) монете выпал
герб». Тогда события A, B и C попарно независимы, но любые два из них
однозначно определяют третье.
в) Объяснение парадокса
Во-первых, A и B, очевидно, независимы, поскольку результаты первого бросания не зависят от результатов второго. С другой стороны, события A и C (а также B и C) на первый взгляд кажутся зависимыми, но так как P (AC)=P (A) · P (C)=1/4 ианалогичноP (BC)=
= P (B) · P (C), они на самом деле независимы. Справедливо также, что
любые два события определяют третье, поскольку каждое событие (A,
B и C) происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно одно
из двух других событий. Этот парадоксальный феномен показывает, что
попарная независимость событий не означает их независимость в совокупности. Если мы хотим выразить последнее, то должны предполагать
больше, чем попарную независимость. События из некоторой совокупности называются взаимно независимыми, если для любого конечного набора событий из этой совокупности A
, A2, ..., Anвыполняется свойство
1
мультипликативности
P (A
...An)=P (A1) · P (A2) · ...· P (An), (∗∗)
1A2
т. е. если вероятность совместного события равна произведению индивидуальных (маргинальных) вероятностей.
г) Замечания
(i) Если события A
, ..., Anне независимы, то можно утверждать
1,A2
лишь, что
− (1 − 1/n)
n
P(A1A2, ..., An)−
− P (A
)P (A2) · ...· P (An) (n − 1)n
1
−n/(n−1)
.
(ii) Несколько простых парадоксов можно разрешить только с помощью понятия независимости. Рассмотрим следующую задачу. Юноша со-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]