Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
.pdf
5. ПАРАДОКС СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ 211
извольное число. В 1920 г. Эрдеш и Реньи доказали, что если
p
(1 − ε)log
n
2
n
,
то вероятность того, что граф является связным, стремится к 0 с ростом n.
С другой стороны, если
p
(1 + ε)log
n
2
n
,
то эта вероятность стремится к 1. (Говорят, что граф является связным,
если из каждой вершины можно по ребрам попасть в любую другую вершину.) Таким образом, вероятность (log
n)/n играет роль «водораздела».
2
За последние два десятилетия теория случайных графов была обобщена
на графы с бесконечным числом вершин. В связи с такими бесконечными
графами Эрдеш и Реньи обратили внимание на следующий парадокс.
б) Парадокс
Говорят, что два графа G
однозначное соответствие между множествами вершин графов G
при этом две вершины в G
ствующие вершины в G
2
и G2изоморфны, если существует взаимно
1
1
соединены тогда и только тогда, когда соответ-
1
также соединены.
и G2;
У изоморфных графов мощности множеств их вершин одинаковы, но
лишь одного этого недостаточно для изоморфизма. Однако если множества
вершин бесконечны, точнее, их мощность совпадает с мощностью множества натуральных чисел, и если любые две вершины в каждом графе
соединяются с вероятностью 1/2 независимо от других ребер, то эти графы
изоморфны с вероятностью 1. Следовательно, в этом смысле все бесконечные случайные графы одинаковы!
в) Объяснение парадокса
Говорят, что граф универсален, если для произвольных последовательностей вершин u
существует вершина w, отличная от u
дой вершиной u
, ..., unи v1,v2, ..., vn(отличных друг от друга)
1,u2
и viи такая, что w соединена с каж-
i
инисоднойvi. Легко показать, что если графы G1и G
i
универсальны, то они и изоморфны. Вероятность того, что случайные графы, о которых говорится в парадоксе, не универсальны, равна 0 (т. е. w
существует с вероятностью 1).
2
212 ГЛАВА IV
г) Замечания
Помимо исследований по случайным графам за последние несколько
лет был проведен анализ и других случайных структур (случайных матриц,
случайных алгебраических уравнений, случайных степенных рядов и т. д.),
который также дал интересные результаты. Например, Н. Б. Маслова дока-
зала следующую теорему: если коэффициенты X
случайного алгебраиче-
j
ского уравнения
n
Xjzj=0
j=1
являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями (но сами величины не равны тождественно 0) и
E|X
2+ε
< ∞
|
j
для некоторого положительного ε, то число действительных корней этого
уравнения распределено нормально с математическим ожиданием
2
ln n
π
и стандартным отклонением
π−1(1 − 2π−1)lnn.
2
д) Литература
Erd¨os P., Spencer J. Probabilistic Methods in Combinatorics,Akad´emiai Kiad´o,
Budapest, 1974. [Имеется перевод: Эрд¨еш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы
в комбинаторике. — М.: Наука, 1978.]
Маслова Н. Б. «О распределении числа вещественных корней случайных полиномов», Теория вероятн. и ее примен., т. XIX, вып. 3, 488–500, 1974.
Mehta M.L. Random Matrices, Academic Press, New York, 1967.
6. Парадокс математического ожидания
а) История парадокса
Одна известная теорема в теории вероятностей утверждает, что если X
и Y — случайные величины с конечными математическими ожиданиями, то
математическое ожидание их суммы существует и равно сумме их математических ожиданий E(X + Y )=E(X)+E(Y ).Легкопоказать,чтодаже
6. ПАРАДОКС МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ 213
если математические ожидания E(X) и E(Y ) не существуют, но существу-
ет E(X + Y ),тоE(X + Y ) зависит только от распределений случайных
величин X и Y ,т.е.E(X + Y ) можно полностью определить, не зная
совместного распределения X и Y . Удивительно, но для трех случайных
величин это неверно.
б) Парадокс
Если X, Y и Z — произвольные случайные величины, для которых
E(X +Y + Z) существует, то это математическое ожидание не всегда определяется лишь индивидуальными распределениями X, Y и Z.
в) Объяснение парадокса
Определим случайные величины X, Y и Z двумя различными способами. В обоих случаях их распределения будут одинаковыми, но математические ожидания E(X + Y + Z) —различными.
Пусть U — случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0, 1).Тогдаясно,что1 − U и V =(2
U − 1) так же равномерно
распределены на (0, 1).Если
π
X = Y =tg
U
2
и Z = −2X,тоX + Y + Z =0,ипоэтомуE(X + Y + Z )=0. С другой
стороны, если
X =tg
и
π
U,Y=tg
2
Z = −2tg
π
(1 − U )
2
π
V,
2
то неравенство X +Y +Z>0 справедливо с вероятностью 1, следовательно,
математическое ожидание E(X + Y + Z ) также положительно, точнее
E(X + Y + Z)=
4
π
ln 2.
г) Замечания
(i) Поскольку E(X +Y +Z )=E(X +Y )+Zи E(X + Y +Z + W )=
= E(X + Y )+(Z + W ), математические ожидания сумм трех и четырех
214 ГЛАВА IV
случайных величин однозначно определяются двумерными распределениями. Однако неизвестно, остается ли это справедливым, когда число слагаемых в сумме больше четырех.
(ii) Ружа и Секей показали, что для каждой случайной величины X
можно так определить действительное число E(X),чтоэточислоравнома-
тематическому ожиданию этой случайной величины, если оно существует
и конечно, при этом для независимых X и Y всегда справедливо равенство
E(X + Y )=E(X)+E(Y ).
Наш парадокс показывает, что такое обобщенное математическое ожидание
не существует у сумм случайных величин, которые не обязательно являются независимыми [для случайных величин, определенных в части в),
величина E(X + Y + Z) равнялась бы нулю, так как E(X )=E(Y )
и E(Z)=−2E(X)].
д) Литература
Ruzsa I. Z., Sz´ekely G.J. «An extension of expectation», Zeitsch’ Wahrsch’ theorie
verw. Geb., 53, 17–20 (1980).
Simons G. «An unexpected expectation», Annals of Prob., 5, 157–158 (1977).
7. Парадокс первой цифры
а) История парадокса
Приблизительно сто лет назад, в 1881 г., Саймон Ньюкомб в«Амери-
канском математическом журнале» (Amer. J. Math.) обратил внимание читателей на один интересный эмпирический факт. Однако вскоре это открытие
было забыто и сделано вновь спустя 60 лет физиком Фрэнком Бенфордом,
работавшим в компании «Дженерал Электрик». Закон получил имя Бенфорда. (Ньюкомб — не единственный ученый, с которым обошлись несправедливо. Закон эпонимии саркастически утверждает, что ни одна теорема,
ни одно научное открытие не были названы именем первооткрывателя.)
У.Уивер в «Леди Удача» изложил историю Бенфорда: «Мне рассказали, что
приблизительно двадцать пять лет назад один инженер, работавший в компании «Дженерал Электрик», по дороге на службу нес книгу, содержавшую подробную таблицу логарифмов. Он держал книгу сбоку корешком
вниз. Взглянув на книгу, он заметил, что наиболее загрязнены края страниц в начале книги, затем они становятся чище — как будто чаще всего
7. ПАРАДОКС ПЕРВОЙ ЦИФРЫ 215
смотрят первые страницы, реже — страницы в середине книги и совсем
редко — последние страницы. «Это странно, — подумал он. — Это означает, что людям чаще всего приходится искать логарифмы чисел, которые начинаются с 1, чуть реже — чисел, начинающихся с 2 и так далее,
и, наконец, реже всего — логарифмы чисел, начинающихся с 9. Но это
совершенно невозможно, так как людям нужны значения логарифмов самых разных чисел, поэтому различные цифры должны быть представлены
одинаково».
б) Парадокс
Рассмотрим какую-нибудь таблицу, например таблицу целых степеней
двойки, или любую таблицу физических постоянных, или таблицы демографической статистики. Как правило, окажется, что первая цифра (=0)чисел
в таблице не будет равномерно распределена на множестве 1, 2, 3, ..., 9.
Цифра 1 встречается чаще всего, затем идет 2 и так далее, 9 будет самой
редкой цифрой. Согласно закону Бенфорда относительная частота первых
цифр, не превосходящих k, равна не k/9 (что означало бы равномерность
распределения), a lg(k +1)(где lg означает log
). Следовательно, относи-
10
тельные частоты для 1, 2, ...,9 приблизительно равны 30 %, 17 %, . . . , 5 %.
(Закон Бенфорда можно сформулировать иным образом, а именно, мантиссы логарифмов распределены почти равномерно на интервале (0, 1).) Закон
Бенфорда не утверждает, что 1 — наиболее часто встречающаяся первая
цифра по всех таблицах (каждый может придумать таблицу, в которой единиц вообще не будет), но все-таки единица как первая цифра в таблицах
появляется обычно чаще, чем, например, девятка.
в) Объяснение парадокса
Существуют несколько вероятностных и невероятностных подходов
к объяснению закона Бенфорда. Сначала рассмотрим невероятностный подход.
Проанализируем таблицу степеней двойки. Первой цифрой числа 2
является 1, если существует такое целое число s,что10s 2n< 2 · 10s.
Если n (и, следовательно, s) достаточно велико, то s/n приблизительно
равно lg2. Это означает, что среди первых n степеней двойки каждая lg 2-я
начинается с 1. Аналогично, по закону Бенфорда, доля степеней двойки,
которые начинаются с цифры, не превосходящей k, приблизительно равна lg(k +1).
n
216 ГЛАВА IV
Вероятностный подход немного сложнее. Опять нам нужно начать с того факта, что первая ненулевая цифра положительного случайного числа X
не превосходит k, если существует целое число s, для которого
s
10
X<(k +1)·10s.
Следовательно, закон Бенфорда имеет место только тогда, когда вероятность того, что дробная часть {lg X} не превосходит lg(k +1),вточно-
сти равна lg(k +1). Для этого достаточно, чтобы дробная часть {lg X}
была равномерно распределена на интервале (0, 1). Теперь рассмотрим
первый вопрос: при каких условиях на распределение случайной величины X распределение {lg X } приблизительно равномерно? Во-вторых, почему таблицы очень часто обладают этим свойством? Хотя первый вопрос изучался несколькими математиками (например, Р. Пинк хэмом
и Дж. Кемперманом) и получены достаточно хорошие результаты, на вто-
рой вопрос удовлетворительных ответов нет. Они часто приводят к путаной «философии» и даже к числовому мистицизму. По закону Бенфорда, человек, например, считает арифметически: 1, 2, 3, . . . , природа
0
же автоматически берет логарифм от чисел и считает e
, ex,e2x, ....
Бенфорд утверждает, что числовые характеристики в природе складываются из геометрических прогрессий, для которых (как и для степеней
двойки) закон Бенфорда справедлив. Бенфорд приводит несколько примеров из различных областей науки и производства, которые иллюстрируют закон Вебера– Фехнера, открытый в XIX веке. Согласно этому закону зависимость между раздражителем и ощущением — логарифмическая. К сожалению, аналогии, приводимые Бенфордом, удовлетворительного ответа на второй вопрос тоже не дают. Дальнейшие подробности
можно найти в обзорной статье Р. Райми, в которой содержится обширная
библиография.
г) Замечания
(i) Если нам нужно найти вероятность p
того, что k (k =1, 2, ..., 9)
k
есть первая цифра числа, наугад взятого из числовой таблицы, и мы предполагаем существование определенного решения и его инвариантность относительно изменения масштаба (о масштабе единиц данных в таблице
ничего не говорится), то мы приходим к логравномерному распределению
=lg(k +1)− lg k.
p
k
8. ПАРАДОКС НУЛЕВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 217
(ii) Анализируя вторые или третьи и т.д. цифры, обнаружим, что влияние «эффекта Бенфорда» практически отсутствует, если вообще существует,
т. е. вторые, третьи и другие цифры распределены почти равномерно.
д) Литература
Benford F. «The law of anomalous numbers», Proc. Amer. Phil. Soc., 78, 551–572
(1938).
Newcomb S. «Note on the frequency of use of the different digits in natural
numbers», Amer.J.Math., 4, 39–40 (1881).
Raimi R. A. «The first digit problem», The American Math. Monthly, 83, 521–538
(1976).
Diaconis P. The distribution of the leading digits and uniform distribution mod 1,
Ann. Probab. 5, 1977, 72–81.
8. Парадокс нулевой вероятности
(Можно ли из ничего получить что-то?)
а) История парадокса
Вероятность невозможного события есть нуль, обратное же неверно:
вероятность попадания в центр мишени равна нулю, но это событие не
является невозможным. Вероятность попадания в любую из тысячи фиксированных точек также нулевая, но кажется, что это событие более правдоподобно, чем попадание в центр. Следовательно, возникает вопрос: можно
ли сравнить «шансы» событий, имеющих нулевую вероятность, или нет?
Другая проблема состоит в том, что вероятность попадания в какую-то конкретную точку мишени равна нулю, но хороший стрелок в мишень наверняка попадет, поэтому объединение событий, имеющих нулевую вероятность,
может дать событие, имеющее вероятность 1, т.е. из ничего, когда его много, действительно, что-то получается. Возможно ли это на самом деле? Этот
парадокс подобен известному уже две с половиной тысячи лет парадоксу
Зенона о невозможности движения. Зенон утверждал, что летящая стрела
в каждое мгновение неподвижна (или, иными словами, перемещение стрелы за нулевой интервал времени также должно быть равно нулю), поэтому
невероятно, что стрела вообще движется. Вопрос здесь тот же самый: как
может случиться, что сложение многих «ничто» дает в результате «нечто»?
Таким образом, нашему парадоксу по существу несколько тысяч лет, однако
218 ГЛАВА IV
его удовлетворительное объяснение появилось лишь в последние десятилетия благодаря исследованиям Абрахама Робинсона (1918–1974 гг.).
б) Парадокс
Возьмем наугад точку из интервала (0, 1). Тогда вероятность того, что
мы взяли именно точку 1/2, равна нулю так же, как и вероятность выбора
любой из точек 1/100, 2/100, 3/100, . . . , хотя последнее событие кажется более правдоподобным. Действительно ли невозможно различить вероятности
этих двух событий?
в) Объяснение парадокса
В ходе развития арифметики вводились все более сложные типы чисел:
после натуральных чисел и дробей появились нуль, отрицательные, действительные (= рациональные + иррациональные) и комплексные числа.
В 1960-х годах множество чисел пополнилось в результате введения бесконечно малых чисел, или просто бесконечно малых. Со времен Ньютона
и Лейбница в дифференциальном и интегральном исчислениях использовалось словосочетание «бесконечно малые», однако оно применялось чисто
символически без четкого определения или обоснования. Именно из-за отсутствия обоснования бесконечно малые были изгнаны в прошлом веке из
строгой математики, однако не исчезли совсем (так как физики использовали их постоянно). Математики перешли к «эпсилон-дельта»-анализу,
который до сих пор соответствует духу университетского образования. Теория Робинсона закладывает прочный логический фундамент «под» применение бесконечно малых, и в будущем веке, видимо, возобновят обучение студентов оригинальным эвристическим идеям Ньютона и Лейбница.
(В университетах штата Висконсин и в Массачусетсом технологическом
институте студенты уже сейчас могут, если захотят, выбрать вместо эпсилон-дельта-теории Вейерштрасса теорию Робинсона.) Бесконечно малые
можно обычно использовать в вычислениях подобно другим числам. Хотя
деление на нуль запрещено, деление на бесконечно малое строго определено: величиной, обратной к бесконечно малой, является бесконечно большое
число, и наоборот, величина, обратная к бесконечно большому числу, всегда есть бесконечно малая. До появления теории Робинсона считали, что
рациональные и иррациональные (т. е. действительные) числа заполняют
всю числовую прямую. Исследуя отдельную точку на числовой прямой под
«математическим микроскопом» Робинсона, мы видим не только эту точку,
9. ПАРАДОКС БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 219
но и множество бесконечно малых, которые бесконечно близки к ней. Из
уважения к Лейбницу этот образ называется «монадой». С помощью бесконечно малых можно разрешить многие парадоксы, в частности парадокс
Зенона и парадокс нулевой вероятности. Суть в том, что нужно делать
различие между нулем и бесконечно малыми числами. Например, каждому подмножеству некоторого интервала можно приписать вероятность так,
что эта вероятность равна нулю только для пустого подмножества, соответствующего невозможному событию, а для любого другого события вероятность положительна, хотя, возможно, и бесконечно мала. Далее, для множества A, имеющего вероятность P (A) в традиционном смысле, получим
вероятность, отличающуюся от P(A) самое большее на бесконечно малое.
(Эта новая вероятность не сигма-аддитивна, а лишь аддитивна.) Теперь мы
действительно можем сказать, что вероятность выбора одной точки, например центра интервала, меньше вероятности выбора одной из двух точек:
разница есть бесконечно малое число.
г) Замечание
Ньютон попытался сформулировать законы природы в математической
форме, таким образом, он приблизился к границе между конечными и бесконечными величинами. А Робинсон воспринял саму бесконечность (следуя
примеру Г. Кантора и других) и сделал ее привычной для всех математиков.
д) Литература
Luxemburg W.A. J. (ed.) Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and
Probability, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1969.
Robinson A. «Non-standard analysis», Proc. Nederl. Akad. Wetensch, 64, 432–440
(1961).
Robinson Л. Non-standard Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1966.
9. Парадокс безгранично делимых распределений
а) История парадокса
Понятие безгранично делимого распределения ввел в 1929 г. Б. де Финетти. Распределение F называется безгранично делимым, если для лю-
бого положительного целого числа n найдутся n независимых одинаково
распределенных случайных величин таких, что функция распределения их
220 ГЛАВА IV
суммы совпадает с F .ПустьF1и F2— функции распределения двух независимых случайных величин. Обозначим функцию распределения их суммы
через F
∗ F2. Операция ∗ называется сверткой. Очевидно,
1
(F
∗ F2) ∗ F3= F1∗ (F2∗ F3),F1∗ F2= F2∗ F
1
1
(это означает, что алгебраически функции распределения с операцией свертки образуют коммутативную полугруппу). Функция распределения F является ∗-безгранично делимой (по указанному выше определению), если для
всех натуральных чисел n существует функция распределения F
,дляко-
n
торой
F
∗ Fn∗ ...∗ F
n
. /0 1
n раз
n
= F.
Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми. Два года спустя Райков получил аналогичный результат для
пуассоновских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из
них следует, что нормальные распределения можно разложить только на
нормальные, и аналогичный факт верен для пуассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично
делимыми.
б) Парадокс
Существуют функции распределения, которые не безгранично делимы,
но их свертка безгранично делима.
в) Объяснение парадокса
Покажем, что показательное распределение можно представить в виде
свертки распределений, которые не являются безгранично делимыми. Рассмотрим показательное распределение с параметром λ =1, его плотность
−x
вероятности равна e
,еслиx>0,и0дляx<0. Это распределение,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]