Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
.pdf
6. ПАРАДОКС РАЗДАЧИ ПОДАРКОВ 41
Рис. 2. Распределение Пуассона с параметрами λ =2и λ =5.
а другой исход — «неудачей». Пример испытаний Бернулли дают последовательные бросания несбалансированной монеты. Пусть b
— вероятность
k
того, что при n испытаниях Бернулли будет k успехов (например, вероятность того, что выпадет ровно k гербов при n бросаниях несимметричной
монеты). Тогда
n
=
b
k
pk(1 − p)
k
n−k
,k=0, 1, ..., n.
Таким образом, число успехов S
ная величина, которая принимает значение k с вероятностью b
в n испытаниях Бернулли есть случай-
n
. Говорят,
k
что случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, ..., n имеет
биномиальное распределение, если она принимает значение k свероятностью b
раз является k-м членом в разложении биномаp +(1−p)
биномиальной формулеp +(1− p)
. Прилагательное «биномиальное» указывает на тот факт, что bkкак
k
n
= b0+ b1+ b2+ ... + bn. Пуассон
n
,посколькупо
обнаружил, что если делать p все меньше и меньше и в то же время увеличивать n так, что произведение np = λ остается постоянным, то b
к r
. Следовательно, распределение Пуассона является приближением для
k
стремится
k
биномиального распределения. Возможность широкого применения и большая важность пуассоновского распределения не были поняты в середине
прошлого века; более того, о нем почти полностью забыли. Однако после
1894 г. это распределение использовали при изучении странного феномена. За 20 лет между 1875 и 1894 годами в 14 различных кавалерийских
42 ГЛАВА I
корпусах германской армии была собрана статистика трагических случаев,
когда солдат был убит ударом копыта. Согласно 280 наблюдениям
1
196 солдат погибли таким образом, т. е. в среднем за год λ =0, 7.Еслибычисло
трагических исходов подчинялось распределению Пуассона с параметром
λ =0, 7, то можно было бы ожидать, что при 280 наблюдениях в 139 случа-
ях смертей нет, в 97 случаях — 1 смерть, в 34 случаях — 2 смерти и т. д. А что
показала статистика? В действительности данные были соответственно 140,
91, 32 и т. д.; практика и теория оказались в столь хорошем согласии, что
вряд ли можно было ожидать большего.
Это сравнение появилось в 1898 г. в знаменитой монографии Л.Бортке-
вича. Название его книги «Закон малых чисел» отражает тот факт, что при
пуассоновской аппроксимации p стремится к 0 при увеличении n. (Название
достаточно двусмысленно, так как оно наводит на ошибочную мысль о том,
что пуассоновское приближение в каком-то смысле противоположно закону
больших чисел, который обсуждается ниже.) Пуассоновское распределение стало широко применяться лишь в XX веке. Например, пуассоновским
распределением приближенно описывается количество определенного вида
товаров, проданное в течение конкретного дня, число молекул гемоглобина,
видимое под микроскопом, число забастовок и войн в году, число опечаток в тексте или число телефонных соединений с определенным номером
в течение фиксированного дня. Если среднее число молекул гемоглобина
или опечаток, или телефонных соединений равно λ,тоихчислоимеет
распределение Пуассона с параметром λ.ЕслиN — число телефонных линий, доступных для телефонного обмена, то число занятых линий приблизительно имеет распределение Пуассона. Проблемы такого вида изучались
датским математиком А.К. Эрлангом (1878–1929 гг.). В 1906 г. он установил,
что лучшее приближение можно получить, если использовать следующее
усеченное пуассоновское распределение:
= cλk/k!, где k =0, 1, ..., N
e
k
и
N
c =
k=0
λk/k!
−1
.
С тех пор это распределение называется распределением Эрланга.
1
280 наблюдений = 20 лет×14 корпусов. — Прим. перев.
7. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС 43
д) Литература
Haight F. A. Handbook of the Poisson Distribution, Wiley, New York, 1967.
Montmort P. R. Essay d’analyse sur les jeux de hazard, Paris, 1708.
Sheynin O. B. «S.D. Poisson’s work in probability», Archive for the History of Exact
Sciences, 18, 245–300 (1978).
Stigler S. M. «Poisson on the Poisson distribution», Statistics and Probabillity
Letters, 1, 33–35 (1982).
Takas L. «The problem of coincidence», Archive for the History of Exact Sciences,
21, 229–245 (1980).
7. Санкт-петербургский парадокс
а) История парадокса
Теория вероятностей, которая начиналась с исследования результатов
азартных игр, развилась в универсальную теорию, нашедшую применения во многих областях жизни. Поэтому совсем неудивительно, что почти
все крупные научные журналы последовали примеру английского журнала
«Труды по философии» и регулярно публиковали статьи по теории вероятностей. Все больше и больше ученых считали, что теория вероятностей —
это не что иное, как путеводитель по жизни, здравый смысл, выраженный
в числах. Однако в начале XVII века Академия наук в Санкт-Петербурге опубликовала статью, математические вычисления в которой, казалось,
противоречили здравому смыслу. Статью написал Даниил Бернулли,иблагодаря ему петербургский парадокс стал известен. Однако впервые проблему
поднял его двоюродный брат Николай Бернулли и упомянул о парадоксе
в письме к Монмору в сентябре 1713 г. (Бернулли — знаменитая семья
математиков, несколько членов которой занимались теорией вероятностей,
особенно Якоб Бернулли, о котором еще пойдет речь ниже в связи с законами больших чисел.)
б) Парадокс
Единичное испытание в петербургской игре состоит в бросании правильной монеты до тех пор, пока не выпадет решка; если это произойдет
r
при r-м бросании, игрок получает 2
долларов из банка. Таким образом,
с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос в следующем: сколько
следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра стала безобидной?
44 ГЛАВА I
Безобидность петербургской игры рассматривается в классическом смысле:
среднее значение (или математическое ожидание) чистого выигрыша должно быть равно 0. Однако, как ни удивительно, это естественное требование
невыполнимо, какую бы (конечную) сумму денег игрок ни заплатил.
в) Объяснение парадокса
Потери банка имеют бесконечное математическое ожидание, так как
k
вероятность окончания игры при k-м бросании равна 1/2
игрок получает 2
k
долларов. Тогда банк в среднем должен заплатить
1
2
· 2+
1
4
· 4+
1
· 8+... =1+1+1+...
8
,ивэтомслучае
долларов, что составляет бесконечно большую сумму денег, так что игра
стала бы безобидной при бесконечном взносе. Хотя все математические вычисления корректны, результат неприемлем, поэтому некоторые математики
предположили реализуемые модификации.
(i) Бюффон, Крамер и другие предложили исходить из естественного
предположения об ограниченности ресурсов (т.е. банк имеет лишь ограниченное количество денег). Пусть в банке есть миллион долларов. Тогда
математическое ожидание выигрыша для игрока равно
2
1
1
+
20
+ ...· 106=19+1,90 ...≈ 21
21
2
·2+
1
·4+...+
4
1
2
(мы учли, что 2
1
·210+
10
2
20
> 106). Следовательно, при вступительном взносе игрока,
равном 21 доллару, игра станет в некоторой степени выгодной для банка.
(ii) В. Феллер отметил, что можно так определить вступительный взнос,
что петербургская игра станет безобидной. Обозначим через n число игр,
в которых участвовал игрок. Игру можно считать безобидной, если отношение суммарного выигрыша N
к суммарному вступительному взносу R
n
сходится к 1 при n, стремящемся к бесконечности, точнее, если для любого ε>0
P|N
− 1| <ε→ 1 при n →∞.
n/Rn
Феллер доказал, что петербургская игра становится безобидной, если положить R
ной для R
= nlog2n. Как следует из парадокса, игра не может быть безобид-
n
= cn,гдеc — произвольная конечная постоянная. Однако если
n
вступительный взнос может зависеть от числа игр, в которых участвовал
игрок, то (согласно теореме Феллера) петербургский парадокс разрешается.
n
г) Замечания
7. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС 45
(i) Соотношение (∗) выражает свойство устойчивости величины N
Аналогичные свойства наблюдаются и при R
= cn в «Парадоксе Бернулли
n
n
для закона больших чисел».
(ii) По результатам 2084 игр Бюффон обнаружил, что игра становится
безобидной при вступительном взносе, приближенно равном 10 долларам.
(iii) Следующий парадокс близок санкт-петербургскому парадоксу.
(Я услышал о нем от Сэма Гутмана после моего выступления на семинаре
Дадли в Массачусетском технологическом институте в 1983 г.) Предполо-
n
жим, что вам предоставлена возможность выиграть (−2)
роятностью 2
−n
, n =1, 2, 3,... Это вас радует или огорчает? Ответ: вы
долларов с ве-
и обрадованы, и огорчены. Вы обрадованы потому, что такая лотерея эквивалентна двухступенчатой лотерее, в которой на первом шаге определяется,
в какой из лотерей, каждая из которых для вас выгодна (математическое
ожидание выигрыша положительно), вы участвуете на втором шаге. Точнее, с вероятностью (2
выигрываете (−2)
j
долларов с вероятностью
−j
2
или с вероятностью (2
k
выигрываете (−2)
долларов с вероятностью
−k
2
−1+2−2+2−4
−1+2−2+2−4
(2
−3+2−6+2−8
−3+2−6+2−8
(2
) вы участвуете в лотерее, в которой
)(j =1, 2, 4),
) вы участвуете в лотерее, в которой
)(k =3, 6, 8),
и т. д. В каждой из лотерей на втором шаге возможны три выигрыша, и математическое ожидание выигрыша положительно. Так что вы рады. Однако
исходную лотерею можно переделать и в лотереи с тремя выигрышами,
в каждой из которых математическое ожидание отрицательно. Выигрышами
1
в первой лотерее являются (−2)
7
и т. д. Так что вы одновременно огорчены. [Для тех, кто знаком с по-
(−2)
, (−2)2, (−2)3, во второй — (−2)4, (−2)5,
нятием условного математического ожидания, переформулируем парадокс
иначе. Представим себе, что условное математическое ожидание E(X |Y )
определено не как обычно, а какxP (dx|Y ),гдеP (dx |Y ) определено
обычным образом. Тогда существуют случайные величины X, Y и Z такие, что E(X |Y ) > 0 >E(X |Z) с вероятностью 1! Действительно, пусть
n
X — конечный выигрыш в лотерее, т. е. X =(−2)
с вероятностью 2−s.
Положим Y =1, если нам досталась первая «положительная» лотерея
.
46 ГЛАВА I
(т. е. X =(−2), (−2)2или (−2)4), положим Y =2, если нам досталась
вторая лотерея (т.е. X =(−2)
3
, (−2)6или (−2)8)ит.д.ПустьZ =1,
если нам досталась первая «отрицательная» лотерея (т. е. X =(−2), (−2)
3
(−8)
), и Z =2, если нам досталась вторая лотерея (т.е. X =(−2)4, (−2)5,
7
ит.д.]
(−2)
(iv) Истории об играх, аналогичных петербургской, восходят к античным временам. Хорошо известен рассказ о короле, решившем щедро наградить золотом своего старого верного крестьянина. Однако вместо золота
крестьянин вежливо попросил дать ему одно кукурузное зернышко в первый день, два зернышка во второй, четыре зернышка в третий день и так
далее. Король восхитился скромностью своего поданного и с удовольствием приказал выполнить его просьбу. Не прошло и месяца, как королевство
разорилось. Эта история напоминает старое изречение «Когда богатый человек встречается с умным, вполне вероятно, что умный станет немного
богаче, а богатый — немного умнее».
Более современный пример предложения петербургского типа относится к Кену Харрелсону (Ken Harrelson), игроку высшей бейсбольной лиги в
составе команды Cleveland Indians в 1969–1971 годах. Как сообщает Смит
(Smith, 1988, с. 157), Харрелсон предложил Гейбу Полу (Gabe Paul), главному менеджеру команды Cleveland Indians, сделку петербургского типа,
согласно которой Харрелсон не будет получать зарплату в течение всего
бейсбольного сезона, «если не считать 50 центов, которые удваиваются
всякий раз, когда Харрелсон добегает до базы». Таким образом, зарплата
Харрелсона составит 50 центов, если он перебежит лишь к одной базе, составит один доллар, если он пробегает 2 базы, два доллара за три базы и т.д.
Гейб Пол был достаточно умен, чтобы отклонить предложение, особенно
если учесть, что за тот сезон Харрелсон 30 раз успешно перебегал к базам!
Наконец, в популярном телевизионном шоу «Кто хочет стать миллионером» игрокам дается шанс выиграть некую сумму вплоть до одного
миллиона долларов. Игрокам предлагается последовательность вопросов,
каждый с четырьмя вариантами ответа. Если игрок правильно отвечает на
вопрос, он может либо выйти из игры с уже выигранной суммой, либо
рискнуть и удвоить выигрыш при правильном ответе на новый вопрос или
потерять все при неверном ответе.
(v) Важное приложение петербургского парадокса, данное Дурандом
(Durand, 1957), относится к оценке общих фондов так называемыхкомпаний
«роста». (Компания «роста» — это та, прибыль которой растет существенно
быстрее, чем в среднем в экономике. Фонды или акции этих компаний,
2
,
7. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС 47
или даже сами компании, часто называются акциями «роста») Рассмотрим
это приложение подробнее, так как оно отвечает современным финансовым
тенденциям.
Сначала отметим, что в настоящее время (осень 1999 года) наблюдается беспрецедентный рост стоимости акций компаний, которые отно-
1
сятся к компаниям «роста»
. Этот феномен породил оживленную дискуссию о том, являются ли инвесторы достаточно мудрыми, покупая, или
глупыми, не покупая эти акции, до того момента, когда их цена стала
еще выше.
С одной стороны, есть люди, которые, подобно Алану Гринспену
(Alan Greenspan), в то время председателю Федеральной резервной системы
2
, высказывают озабоченность инфляционным давлением из-за роста
США
цен акций. (В своей ныне знаменитой речи 5 декабря 1996 Гринспен спросил: «Как узнать, когда чрезмерно взлетающие, благодаря необъяснимому
воодушевлению, цены активов затем подвергнутся неожиданному и продолжительному спаду, как это происходило в Японии в течение последних 10
лет?». Чуть позже начался драматический период нестабильности мировых
финансовых рынков.)
С другой стороны, есть многочисленные совместные фонды, скупающие значительные объемы акций высокотехнологичных компаний. (Действительно, Уолл Стрит Джорнал сообщал 19 ноября 1999 года о том,
что 59 совместных фондов возросли в цене более чем на 100% за период с 1 января по 17 ноября 1999 года. Например, один совместный фонд,
Nicholas-Applegate Global Technology Fund, вырос в цене за этот период на
325 %, или приблизительно увеличивался на 1 % ежедневно. В Уолл Стрит
Джорнал задавался вопрос, сочтут ли «терпеливые инвесторы» такую величину достаточной.)
Возвращаясь к парадоксу, сначала напомним, что в петербургской проблеме выплаты составляют 2, 4, 8, 16,... с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8,
1/16 соответственно. Следуя Дуранду (Durand (1957)), мы теперь пред-
1
Читателям наверняка знакомы названия таких компаний «роста», как America Online,
Microsoft, Intel, Dell Computers, Cisco Systems, Oracle, Inktomi, Network Solutions, Yahoo!,
GoSNet, CMGI, Ciena, Excite@@Home, Daleen Technologies, DoubleClick, eBay, Verisign, Veritas
Software, 12 Technologies, Qualcomm, Broadvision, Lucent Technologies, Akamai Technologies,
Amazon, corn, Red Hat, Xilinx, STMicro electronics, Liberte Technologies, Citrix Systems, Triquint
Semiconductor, Altera, Portal Software. И это лишь небольшая часть из многочисленной
группы высокотехнологичных компаний «роста», акции которых продемонстрировали
экспоненциальный рост в 90-е годы.
2
3 февраля 2000 года Алан Гринспен был утвержден председателем Федеральной резерв-
ной системы США на четвертый четырехлетний срок — Прим. перев.
48 ГЛАВА I
положим, что вероятность выпадения решки составляет не 1/2,а1/(1 +
+ i),гдеi =1. При оценке ценных бумаг i представляет собой учетную
ставку.
Далее, предположим, что соответствующие выплаты не удваиваются
теперь на каждом шаге, а заменяются последовательностью возрастающих
выплат, согласно которой Петр платит Павлу c дукатов, если при первом
бросании выпала решка, платит c(1 + g) дукатов, если решка выпала при
втором бросании, c(1+g)2 дукатов, если при третьем бросании тоже выпала
решка, и т.д. Игра продолжается до первого появления герба. Например,
если до завершения игры было сделано пять бросаний, то Павел получил
всего
c + c(1 + g)+c(1 + g)
2
+ c(1 + g)3=
c(1 + g)
g
4
− 1
.
При оценке растущих в цене ценных бумаг величина g представляет собой
скорость роста.
Считая, что герб и решка появляются с вероятностями i/(1 + i) и
1/(1 + i) соответственно, Дуранд показал, что математическое ожидание
дохода Павла равно ряду
∞
k+1
c(1 + g)
(1 + i)
k−1
k
c/(i − g), если g<i,
=
∞, если g i.
(1)
Таким образом, если g<i, то средний ожидаемый доход Павла со-
ставляет c/(i − g). С другой стороны, при g i ряд расходится и средний
выигрыш Павла равен бесконечности. В последнем случае практичный Павел разумно откажется платить соответствующий вступительный взнос.
Предположим теперь, что речь идет не о бросании монет, а «Петр» —
это компания «роста» и «Павел» — перспективный покупатель акций Петра. Тогда широко распространенный подход состоит в вычислении действительной цены акций Петра путем дисконтирования с учетом всех будущих
дивидендов. Иными словами, действительная цена выражается через текущую оценку предсказанных будущих дивидендов.
Обозначим через E
и Bnразмер дохода Петра на каждую акцию и
n
стоимость по бухгалтерским книгам на каждую акцию соответственно в
n-м году. Далее, пусть D
есть общие, выплаченные Петром, дивиденды
n
на каждую акцию в n-м году. После секундного размышления ясно, что
7. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС 49
изменения в стоимости по книгам за год равны разности между прибылью
и выплаченными дивидендами, то есть
B
− Bn= En− D
n+1
n
при всех n>1.
При вычислении действительной цены акций Петра общепринятым
для Павла является предположение о том, что отношения r = E
p = D
− B
n
годом, есть E
не зависят от n. Из этого предположения вытекает, что B
n/En
, изменение стоимости по книгам в n +1-м году по сравнению с n-м
, умноженное на некоторую постоянную:
n
B
− Bn= En− Dn=(1−p)En=(1− p)rBn.
n+1
n/Bn
n+1
−
Следовательно, и дивиденды, и стоимость по книгам, и прибыль растут с
постоянной скоростью g =(1−p)r. В этом контексте сумма (1) представляет
собой бесконечный ряд дивидендных выплат, начиная с величины в D
дукатов, и растущей со скоростью g, и дисконтируемой со скоростью i.
Если i>g,тосумма(1)сходитсяк
p
E
1
, (2)
i − g
что дает действительную цену акций Петра.
Если i g, то ряд (1) равен бесконечности. В этом случае мы получаем
аналог петербургского парадокса, когда прием дисконтирования с равномерной скоростью всех предсказанных дивидендов на бесконечно удаленный
момент времени дает парадоксальный результат.
Таким образом, петербургский парадокс приводит к объяснению недавних (осень, 1999) цен акций «роста». В текущий момент ставки дисконта
находятся около минимальных исторических значений. В контексте статьи
Дуранда это означает, что i очень мало. Далее, покупатели акций «роста»,
видимо, считают, что скорость роста, которую мы обозначили через g,будет
постоянно оставаться высокой. В сложившейся ситуации мы имеем не только неравенство i<g,ноболеетого—i/g ≈ 0. Дисконтируя также доходы
и дивиденды на бесконечном промежутке времени и используя формулы
оценки (1) и (2), мы получим в результате оценку действительной стоимости для акций компании «роста» настолько высокой, насколько осмелится
оценщик.
и
1
50 ГЛАВА I
д) Литература
Aaronson J. «Sur le jeu de Saint-Petersbourg», Comptes Rendus des Seances de
1’Acad´emie des Sciences,S´er. A–B, 286 (1978), A839–A842.
Arntzenius F. and McCarthy D. «The two envelope paradox and infinite
expectations», Analysis (Oxford), 57 (1997), 42–50.
Cs¨org¨o S. and Simons G. «On Steinhaus’ resolution of the St. Petersburg paradox»,
Probability and Mathematical Statistics, 14 (1993–1994), 157–172.
Bernstein P.L. Against the Gods: The Remarkable Story of Risk. Wiley, New York,
1996.
Dehling Н. G. «Daniel Bernoulli and the St. Petersburg paradox», Nieuw Archiefvoor
Wiskunde (4), 15 (1997), 223–227.
Dutka J. «On the St. Petersburg paradox», Archive for History of Exact Sciences, 39
(1988), 13–39.
Durand D. «Growth stocks and the Petersburg paradox», The Journal of Finance,
12 (1957), 348–363.
Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications,NewYork,
John Wiley, 1969. [Имеется перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее
приложения. — М.: Мир, 1984.]
Hin˘cin A. Ja. «Su una legge dei grandi numeri generalizzata», Giorn. Ist. Ital. d.
Attuari, 7, 365–377 (1936).
Martin-L¨of A. «A limit theorem which clarifies the ’Petersburg paradox’», J. Appl.
Prob., 22, 634–643 (1985).
Thorp Е. О. «Optimal gambling systems for favorable games», Review of the
International Statistical Institute, 37 (1969), 273–293.
8. Парадокс смертности населения. Безвозрастный мир
атомов и слов
а) История парадокса
Математические исследования по смертности населения и продолжительности жизни начались на раннем этапе развития капитализма благодаря потребностям страховых компаний. Вслед за результатами, полученными Джоном Граунтом (1662 г.), ван Худденом и Джоном де Уиттом
(1671 г.), Эдмунд Галлей (открывший комету, названную его именем) опубликовал в 1693 г. статью о таблицах смертности, которая положила начало
математической теории страхования жизни. Следующий парадокс (замеченный Даламбером) показывает одну из «зубодробильных» проблем новой теории.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]