Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теплофизики. Учебное пособие
.pdf
Р.Клаузиус в качестве критерия для оценки необратимости
процессов предложил функцию состояния названную
энтропией (от греч. entropia - поворот, превращение).
1.4.1 Обратимые циклы
Общий произвольный прямой цикл
или цикл теплового двигателя
Назначение теплового двигателя – превращать теплоту в
работу. Для этого необходимо совершать процесс расширения.
Для непрерывного производства работы процесс расширения
следует производить многократно. После каждого процесса
расширения необходимо возвращать тело в исходное
состояние. Совокупность процессов расширения и сжатия с
получением полезной работы за счёт теплоты называется
прямым циклом или циклом теплового двигателя.
Рассмотрим в координатах p-v общий произвольный цикл
теплового двигателя 1-2-a-b-1 (рис.12). Линия расширения
рабочего тела 1-a-2 проходит выше линии сжатия 2-b-1.
Подводимая теплота Q1 (источник полезной работы) в
процессе расширения забирается у горячего источника, а
отводимая теплота Q2 в процессе сжатия передаётся холодному
источнику. Цикл совершается по часовой стрелке.
Положительная работа в цикле равна площади (1-а-2-2’-1’-
1), затраченная (отрицательная) работа равна площади (2-2’-1’1-b-2), полезная реализуемая работа +L равна площади (1-а-2b–1).
Рассмотрим цикл как обычный процесс с началом и концом
в точке 1. В соответствии с первым законом термодинамики
можно записать
Q1 – /Q2/ = ΔU + L
Для функции состояния ΔU = 0 так как начало и конец
процесса в общей точке 1. Следовательно, полезная работа
цикла равна
31
L = Q1 – /Q2/
1
2
1
21
1
1
)(
Q
Q
Q
QQ
Q
L
t
Рис.12. Общий произвольный прямой цикл.
Основной характеристикой прямого цикла является
термический КПД показывающий какая доля подведённой
теплоты превращается в полезную работу
Общий произвольный обратный цикл
или цикл холодильной машины
Назначение холодильной машины – переносить теплоту от
менее нагретого тела к более нагретому. Самопроизвольно
такой процесс в природе не происходит, поэтому для его
осуществления требуется затрата энергии.
Рассмотрим в координатах p-v общий произвольный цикл
холодильной машины 1-2-a-b-1 (рис.13). Линия расширения
рабочего тела 1-a-2 проходит выше линии сжатия 2-b-1.
В произвольном цикле холодильной машины теплоту Q2
называют холодом. В результате совершения цикла теплота Q1
отводится от цикла, при этом затрачивается работа -L. Цикл
совершается против часовой стрелки.
По первому закону термодинамики для цикла
32
Q2 – /Q1/= ΔU – L
21
22
QQ
Q
L
Q
Так как ΔU=0, то
L = /Q1/– Q2
Рис.13. Общий произвольный обратный цикл
Основной характеристикой обратного цикла является
холодильный коэффициент показывающий какая доля
затраченной работы идёт на производство холода
Прямой обратимый цикл Карно – цикл
идеального теплового двигателя
Французский физик и военный инженер Сади Карно в 1824
в книге "Размышления о движущей силе огня и о машинах,
способных развивать эту силу" обосновал идеальный
термодинамический цикл о «получении движения из тепла». В
современной термодинамике этот цикл служит эталоном
совершенства циклов.
Прямой цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат
(рис.14). Все процессы в цикле являются обратимыми.
33
1
21
q
qqt
a
b
v
v
TRq ln11
d
c
v
v
TRq ln22
d
c
a
b
v
v
v
v
1
2
1
21
1
T
T
T
TT
t
Рис.14. Прямой обратимый цикл Карно
Термический КПД цикла Карно
(a)
В циклах, составленных из попарно одинаковых процессов,
отношение параметров в сходственных точках одинаково, т.е.
Подставив полученные соотношения в (а), получим
где Т1 – температура горячего источника или Т
Т2 – температура холодного источника или Т
min
;
max
.
Из анализа термического КПД прямого обратимого цикла
Карно следует:
34
Термический КПД не зависит от свойств рабочего тела,
21
2
qqq
a
d
v
v
TRq ln11
а зависит только от температуры горячего и холодного
источников.
Так как Т2 >0 и Т
< ∞, то термический КПД цикла Карно
1
меньше 1.
Практически цикл Карно с использованием в качестве
рабочего тела газа не применяется, так как изотермический
подвод и отвод теплоты с конечной скоростью не реализуется.
Кроме того, полезная работа в цикле на единицу рабочего тела
мала.
Обратный обратимый цикл Карно – цикл
идеальной холодильной машины
В обратном цикле Карно (рис.15) изотермическое
расширение с подводом теплоты происходит при T2<Т1
Рис.15. Обратный обратимый цикл Карно
Холодильный коэффициент обратного цикла Карно
35
b
c
v
v
TRq ln22
b
c
a
d
v
v
v
v
21
2
TTT
max
min
max
minmax
1
T
T
T
TT
эк
t
i
i
эл
ti
T
T
1
2
1
Так как
то
1.4.2 Значение цикла Карно в термодинамике
Докажем, что в заданном интервале температур нельзя
совершить прямой цикл с более высоким КПД, чем у цикла
Карно.
Рассмотрим некоторый произвольный обратимый прямой
цикл (рис.16). Проводим к нему две касательные изотермы Т
и Т
и две касательные адиабаты. Получаем цикл Карно a-b-c-
min
max
d-a эквивалентный произвольному циклу в диапазоне
рассматриваемых температур.
Разбиваем произвольный цикл сеткой адиабат на n
элементарных циклов (например, 1-2-4-5-1) и заменяя
процессы подвода и отвода теплоты в них на изотермы
(например, процессы 1-2 и 4-5 на 1-3 и 4-6), получаем n
элементарных циклов Карно (например, 1-3-4-6-1) с
сохранением ΔQ1i и ΔQ2i. Такая замена возможна с точностью
до бесконечно малых второго порядка.
Для эквивалентного цикла Карно
Для элементарного цикла Карно
36
Для произвольного цикла, принимая его как сумму
n
эл
tini
пр
t
1
1
эк
t
пр
t
ot
элементарных циклов
Рис.16. Сравнение термического КПД произвольного прямого
цикла и эквивалентного ему цикла Карно.
Так как для всех элементарных циклов Т
k
эк
то η
ti
< η
t
и η
пр
t
< η
эк
t
1i
< Т
max
и Т
2i
> Т
min
Отсюда следует, что термический КПД цикла Карно имеет
наибольшее значение в интервале температур от Т
Поэтому прямой цикл Карно является эталоном для оценки
степени совершенства любого цикла теплового двигателя. Эта
оценка осуществляется по относительному термическому КПД
max
до Т
min
.
,
1.4.3 Математическое выражение второго закона
термодинамики для циклов
Обратимые циклы
1. Прямой обратимый цикл Карно
Преобразуем выражение для термического КПД прямого
37
обратимого цикла Карно следующим образом
1
2
1
2
11
T
T
q
q
t
0
2
2
1
1
T
q
T
q
1
1
T
q
2
2
T
q
0
2
2
1
1
i
i
i
i
T
Q
T
Q
n
i
i
i
i
i
T
Q
T
Q
1
2
2
1
1
0)(
0
2
2
1
1
T
dQ
T
dQ
0
T
dQ
С учётом знаков подведённой и отведённой теплоты,
получаем
Величины
и
называют приведёнными теплотами.
Сумма приведённых теплот для прямого обратимого цикла
Карно равна нулю.
2. Произвольный прямой обратимый цикл
Разбиваем сеткой адиабат произвольный цикл на
элементарные циклы. С точностью до бесконечно малых
второго порядка заменяем элементарные циклы
элементарными циклами Карно, как это было сделано в разделе
1.4.2 и показано на рис.16.
Для элементарного i-го цикла Карно (например, 1-3-4-6-1)
можно записать
Суммируем для всех n элементарных циклов
при n → ∞
или
Полученный круговой интеграл называют интегралом
Клаузиуса. Он представляет математическое выражение
второго закона термодинамики для обратимых циклов.
38
Необратимые циклы
1
2
1
2
11
T
T
q
q
t
0
2
2
1
1
T
q
T
q
0
2
2
1
1
i
i
i
i
T
Q
T
Q
0
2
2
1
1
T
dQ
T
dQ
0
T
dQ
0
T
dQ
1. Необратимый прямой цикл Карно
С учётом знака теплоты, получаем
Сумма приведённых теплот необратимого цикла Карно
меньше нуля.
2. Произвольный необратимый цикл
Также как и при рассмотрении произвольного обратимого
цикла рассматриваем элементарные преобразованные циклы
Карно.
Для каждого элементарного цикла Карно можно записать
Или, окончательно для всего необратимого произвольного
цикла
или
Этот интеграл представляет математическое выражение 2-
го закона термодинамики для необратимых циклов. Обобщая
выражения интеграла Клаузиуса для обратимых и необратимых
циклов, получаем общее математическое выражение 2-го
закона термодинамики для циклов
1.4.4. Энтропия и математическое выражение второго
закона термодинамики для процессов
Равенство 0 кругового интеграла Клаузиуса для обратимых
39
циклов свидетельствует о том, что подинтегральное выражение
T
dQ
dS
является дифференциалом функции состояния, которую
Клаузиус назвал энтропией и обозначил буквой S.
Соотношение
является математическим выражением второго закона
термодинамики для обратимых процессов.
Так как температура Т всегда положительна, то знак
изменения энтропии всегда соответствует знаку изменения
теплоты, т.е. знаки dQ и dS совпадают. Размерность энтропии
Дж/К. Используя математические выражения первого и
второго законов термодинамики для обратимых процессов,
можно записать (для 1 кг рабочего тела)
T·ds = cv·dT + p·dv; T·ds = cp – v·dp
Для определения изменения энтропии в необратимых
процессах рассмотрим произвольный необратимый процесс 1а-2 (рис.17). Возвратим тело в исходное состояние обратимым
процессом 2-в-1.
Рис.17. Произвольный необратимый цикл.
В полученном произвольном цикле, состоящем из 2
процессов, один из процессов необратимый. Поэтому и
полученный цикл также необратимый. Для него можно
записать
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]