Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности. Учебное пособие-2
.pdf
61
P{ln l(x1,…,xn) C R = R1} = , (13.3)
P{ln l(x1,…,xn) > C R = R0} = , (13.4)
где C = ln C.
Контроль показателей типа наработки
Считаем, что значения наработки имеют экспоненциальное
распределение, т.е. плотность вероятности есть
f(t,T) = T–1exp(–t/T),
где T – средняя наработка.
В процессе контроля фиксируется суммарное по всем образцам изделия
число отказов r и суммарная наработка tΣ. План контроля зависит не от
абсолютных значений уровней T0 и T1, только от их отношения T0/T1. Он
задается парой чисел: браковочным числом отказов rбр и предельной
суммарной наработкой t
. Испытания прекращаются при достижении
max
одного из этих значений.
Правило принятия решения таково:
первым достигается tΣ t
первым достигается r = rбр при tΣ < t
при r < rбр приемка,
max
браковка.
max
Параметры плана контроля определяются из уравнений (13.3), (13.4).
Действительно, при экспоненциальном распределении наработки отношение
правдоподобия имеет вид
l = [T
–r
exp(–tΣ/T1)] / [T
1
–r
exp(–tΣ/T0)],
0
откуда
ln l = –tΣ/T1 – r ln T1 + tΣ/T0 + r ln T0 = r ln(T0/T1) – (tΣ/T0)(T0/T1 – 1). (13.5)
Уравнение (13.3) после ряда преобразований приобретет вид
P{2tΣ/T1 2[r ln(T0/T1) – C] / (1 – T1/T0) T = T1} = ,
откуда следует, что
2[r ln(T0/T1) – C] / (1 – T1/T0) = χ
2
1–β
(2r).
Аналогично из уравнения (13.4) получим
2[r ln(T0/T1) – C] / (T0/T1 – 1) = χ
2
(2r). (13.6)
α
Из последних двух равенств вытекает, что
откуда
2
χ
(2r) (1 – T1/T0) = χ
α
2
χ
(2r) / χ
1–β
2
(2r) (T0/T1 – 1),
1–β
2
(2r) = T0/T1.
α
62
Рассматривая это равенство как уравнение относительно r, находим значение
Nrk
k
N
C
бр
1
0
бр
r
k
k
N
C
rбр. Поскольку число отказов дискретно, отношение T0/T1 также должно
принимать некоторый дискретный набор значений.
Подставим r = rбр в (13.6) и выразим из него C:
C = rбр ln(T0/T1) – χ
2
(2r) (T0/T1 – 1) / 2. (13.7)
α
tΣ = t
При tΣ = t
и правую часть (13.7), получим, что
max
Значения параметров rбр и t
должно выполняться равенство ln l = C. Приравняв (13.5) с
max
t
max/T0
для наиболее часто встречающихся на
max
= χ
2
(2r)/2.
α
практике значений T0/T1, α, β затабулированы.
Контроль показателей типа вероятности
Показатель надежности в этом случае представляет собой вероятность
некоторого события. В ходе испытаний проводится N независимых опытов
по осуществлению этого события, в каждом из которых фиксируется его
результат: успех, если событие имело место, и неуспех (отказ, срыв) в
противном случае. Например, при контроле вероятности безотказной работы
P(t) в каждом опыте фиксируется, проработало ли изделие безотказно время
t; при контроле Kг – работоспособно ли изделие в выбранный момент
времени и т.п. Как только число отказов достигает установленного
браковочного норматива rбр, изделие бракуется; если после выполнения всех
N опытов число отказов оказывается меньше rбр, изделие принимается.
Значения параметров плана контроля N и rбр при заданных значениях
P0, P1, α и β определяются как решения системы уравнений:
N–k
P
(1 – P0)k = α;
0
n–k
P
(1 – P1)k = β.
1
Эти уравнения непосредственно вытекают из определений P0, P1, α и β. На
практике для нахождения N и rбр имеются соответствующие таблицы.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем смысл отношения правдоподобия?
2. Каково общее правило принятия решения при одноступенчатом
контроле с помощью оценочного норматива?
3. В каком случае и зачем берется логарифм отношения
правдоподобия?
4. Каково правило принятия решения при одноступенчатом контроле
показателя типа наработки?
5. Каково правило принятия решения при одноступенчатом контроле
показателя типа вероятности?
63
6. Может ли при одноступенчатом контроле быть принято решение до
m
k
k
m
k
km
RxfRxfl
1
0
1
1
),(),(
0 1 2 3 mус m
l
m
A
Cус
B
Браковка
Приемка
Продолжение
испытаний
достижения заданного объема испытаний (т.е. при tΣ < t
или при числе
max
опытов меньшем, чем N), а если да, то какое?
14. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОНТРОЛЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НАДЕЖНОСТИ
Общие положения
Недостатком одноступенчатого контроля является невозможность
принятия решения о соответствии (приемки) до истечения заданного
времени. Для преодоления этого недостатка была разработана схема
последовательного контроля, в которой можно принять решение, как только
полученные результаты испытаний позволяют это сделать.
Процедура последовательного контроля проводится поэтапно. В ней
также используется отношение правдоподобия, вычисляемое после каждого
этапа испытаний. Для m-го этапа оно определяется как
, (14.1)
где xk – результат испытаний, полученный на k-м этапе.
После каждого этапа принимается решение о приемке, браковке или
продолжении испытаний. Правило принятия решения выглядит следующим
образом (рис. 14.1):
lm B приемка,
lm A браковка,
B < lm < A продолжение испытаний.
Здесь A и B – некоторые постоянные, удовлетворяющие условию 0 < B < A.
Рис. 14.1. Последовательный контроль по отношению правдоподобия
вероятностью 1 когда-нибудь обязательно закончится.
В математической статистике доказано, что данная процедура с
64
Параметры A и B выбираются исходя из значений рисков. Для них
α
β1
A
α 1β
B
α
β1
A
α 1β
B
справедливы неравенства
,
. (14.2)
В самом деле, пусть на m-м этапе произошла браковка, т.е. lm A. В этом
случае числитель отношения правдоподобия есть вероятность браковки при
R = R1, равная 1–β, а знаменатель – вероятность браковки при R = R0, равная
α. Отсюда вытекает первое из неравенств (14.2). Пусть теперь на m-м этапе
произошла приемка, т.е. lm B. В этом случае числитель отношения
правдоподобия есть вероятность приемки при R = R1, равная β, а знаменатель
– вероятность приемки при R = R0, равная 1–α. Отсюда вытекает второе из
неравенств (14.2).
Если положить
,
, (14.3)
то произойдет незначительное увеличение рисков, которым на практике, как
правило, можно пренебречь. Поэтому для упрощения A и B обычно
выбираются в соответствии с (14.3).
Существенным недостатком последовательного контроля является то,
что объем испытаний (длительность, число опытов) заранее не известен и
может оказаться больше допустимого. Поэтому на практике обычно
используется последовательный контроль с усечением. При этом если
испытания не закончились до некоторого заранее установленного момента
(mус), то они прекращаются, и решение принимается аналогично тому, как
это делается при одноступенчатом контроле с помощью оценочного
норматива, т.е. сравнением lm с Сус: lm Cус – приемка, lm > Cус – браковка
(рис. 14.1). При усечении риски увеличиваются, поэтому оно должно
производиться при достаточно большом mус, чтобы возрастание рисков было
незначительным, и им можно было пренебречь.
Так же, как и в случае одноступенчатого контроля, для упрощения
обычно рассматривается не само отношение правдоподобия, а его логарифм.
Далее общая схема будет конкретизирована для показателей типа
наработки и типа вероятности.
Контроль показателей типа наработки
Считаем, что значения наработки имеют экспоненциальное
распределение, т.е. плотность вероятности есть
f(tk,T) = T–1exp(–tk/T),
где T – средняя наработка.
Отсюда
lm = [T
–m
exp(–tΣ/T1)] / [T
1
–m
exp(–tΣ/T0)],
0
откуда
65
ln lm = –tΣ/T1 – m ln T1 + tΣ/T0 + m ln T0 = m ln(T0/T1) – (tΣ/T0)(T0/T1 – 1).
)/ln(
1/
10
10
TT
TT
a
)/ln(
]β)/α1ln[(
10
0
TT
r
1/
]α)1(β/ln[
10
TT
r
rус
r0
0
t0/T0 tус/T0 tΣ/T0
Приемка
Браковка
Продолжение
испытаний
Приравнивая ln lm к ln A и ln B, можно получить уравнения границ
областей браковки и приемки соответственно. При этом номер этапа m равен
зафиксированному числу отказов r, которое выражается как функция от
отношения tΣ/T0. В результате получаются уравнения параллельных
наклонных прямых в координатах tΣ/T0 и r: r = at/T0 + r0 – граница области
браковки, r = a(t/T0 – t0/T0) – граница области приемки, где t/T0 и r0 – точки
пересечения прямых с осями координат (рис. 14.2).
Если A и B взять в соответствии с (14.3), то для параметров этих
уравнений имеем:
;
; t0/T0 = –
.
Значения этих параметров для наиболее часто встречающихся на практике
значений T0/T1, α, β затабулированы.
Рис. 14.2. Последовательный контроль показателя типа наработки
Для усечения целесообразно выбирать значение rус = (1,5…2,5) rбр, где
rбр – браковочный уровень при одноступенчатом контроле с теми же
значениями T0, T1, α, β. В качестве tус берется продолжительность испытаний
при одноступенчатом контроле, соответствующая браковочному уровню rус.
Эти значения берутся из таблиц планов одноступенчатого контроля.
Контроль показателей типа вероятности
В этом случае каждый этап испытаний представляет собой очередной
опыт, который может быть успешным или неуспешным. Например, при
контроле вероятности безотказной работы успех означает безотказную
работу объекта в течение заданного времени. Пусть xk – результат k-го этапа:
1, при успехе;
xk =
0, при отказе (неуспехе).
66
Вероятность получить результат xk при вероятности успеха P есть
kk
xx
PP
1
)1(
rrm
x
x
xx
x
x
xx
P
P
P
P
PPPP
PPPP
m
m
m
m
0
1
0
1
1
0
1
000
1
1
1
111
1
1
)1()1(
)1()1(
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
ln
1
1
ln
ln
P
P
P
P
P
P
a
1
0
0
1
0
ln
1
1
ln
α
β1
ln
P
P
P
P
r
1
0
0
ln
β
α1
ln
P
P
m
r
rус
r0
0
m0 mус m
Приемка
Браковка
Продолжение
испытаний
f(xk, P) =
.
Поэтому
lm =
,
где r – общее число отказов. Отсюда
ln lm = (m – r) ln(P1/P0) + r ln[(1–P1)/(1–P0)].
Приравнивая ln lm к ln A и ln B, получим уравнения границ областей
браковки и приемки соответственно. В результате получаются уравнения
параллельных наклонных прямых в координатах m и r: r = am + r0 – граница
области браковки, r = a(m – m0) – граница области приемки, где m0 и r0 –
точки пересечения прямых с осями координат (рис. 14.3).
Рис. 14.3. Последовательный контроль показателя типа вероятности
Если A и B взять в соответствии с (14.3), то для параметров этих
уравнений имеем:
Значения этих параметров для наиболее часто встречающихся на практике
значений P0, P1, α, β затабулированы.
Для усечения целесообразно выбирать значение rус = (2…3) rбр, где
rбр – браковочный уровень при одноступенчатом контроле с теми же
значениями P0, P1, α, β. В качестве mус берется число опытов при
одноступенчатом контроле, соответствующее браковочному уровню rус. Эти
значения берутся из таблиц планов одноступенчатого контроля.
,
,
.
67
Контрольные вопросы и задания
1. В чем преимущество и недостаток последовательного контроля по
сравнению с одноступенчатым?
2. Почему границы областей приемки и браковки представляют собой
параллельные прямые?
3. Почему возникает необходимость усечения при последовательном
контроле?
4. Какой параметр используется для определения условия окончания
испытаний при усеченном последовательном контроле и как осуществляется
его выбор при контроле разных показателей надежности?
5. Какова должна быть минимальная продолжительность испытаний,
чтобы можно было принять решение о приемке?
6. Какое минимальное число опытов при контроле показателя типа
вероятности надо провести, чтобы можно было принять решение о браковке?
15. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НАДЕЖНОСТИ
Общие положения
Оптимизационные задачи надежности возникают при нахождении
оптимальных путей обеспечения надежности. При этом, как правило,
требуется или минимизировать затраты, необходимые для достижения
требуемой надежности, или максимизировать надежность при ограничении
на затраты.
К числу основных оптимизационных задач надежности относятся:
• оптимальное резервирование (более подробно рассмотрено ниже);
• оптимизация системы ЗИП – обеспечение заданной надежности при
минимальных затратах на запасные элементы и принадлежности;
• оптимальное управление запасами – выбор политики пополнения
запасных элементов, минимизирующей издержки;
• оптимальное обнаружение и поиск отказов – минимизация времени или
стоимости проверок, обеспечивающих контроль работоспособности и
определение места отказа;
• оптимизация системы технического обслуживания (ТО) – нахождения
стратегий ТО, максимизирующих те или иные показатели надежности
или минимизирующих стоимость ТО.
Постановка задач оптимального резервирования
При обеспечении надежности при помощи резервирования ставится
задача сделать это как можно более экономично, т.е. с наименьшими
суммарными затратами на резервные элементы, или же добиться наибольшей
надежности при ограничении на затраты.
68
Как правило, под затратами понимается стоимость, однако в каких-то
1
)1(1)(
i
z
iii
pzR
случаях могут рассматриваться масса, габаритные размеры и т.п. Выбор
характеристики определяется конкретным видом системы и ее назначением.
В некоторых случаях приходится рассматривать и несколько
ограничивающих факторов сразу.
При наличии одного ограничивающего фактора рассматриваются
следующие две задачи оптимального резервирования.
1. Минимизировать затраты (C), необходимые для обеспечения
заданной надежности (R0):
min { C R R0 }.
2. Максимизировать надежность (R) при ограничении на затраты (они
должны быть не более C0):
max { R C C0 }.
Первая задача имеет смысл, когда низкая надежность может привести к
катастрофическим последствиям, в силу чего ограничение накладывается
именно на надежность. Вторая задача – когда последствия отказов не столь
серьезны, а надо оптимальным образом распорядиться имеющимися для
повышения надежности средствами.
Обычно рассматриваются системы, представляющие собой
последовательное соединение независимых участков. Под участком в данном
случае понимается часть системы, для резервирования которой могут
использоваться однотипные элементы. Предполагается, что показатель
надежности имеет вероятностный характер (коэффициент готовности,
коэффициент оперативной готовности, вероятность безотказной работы), а
суммарные затраты на резервирование складываются из затрат на отдельные
элементы.
Тогда
R(z1,…,zm) = i Ri(zi),
C(z1,…,zm) = i ci zi.
Здесь zi – число резервных элементов i-го типа; Ri(zi) – надежность i-го
участка при наличии для него zi резервных элементов; ci – затраты на один
резервный элемент i-го типа; произведение и сумма берутся при i = 1,…,m;
m – число участков (типов элементов).
В частности, в простейшем случае, когда в системе имеется только по
одному основному элементу каждого типа и каждый участок может
рассматриваться как группа из нескольких параллельных элементов (одного
основного и zi резервных), что справедливо, когда резерв является
нагруженным, а состояния всех элементов независимы,
,
где pi – вероятность работоспособности элемента i-го типа.
69
Если различные варианты построения системы изобразить графически
R
C
○
○
○
○
○
○
○
1 2 3
4
5
в виде точек на плоскости с координатами C и R, то все они образуют
некоторое множество (рис. 15.1). Варианты, расположенные на линии,
огибающей это множество слева и сверху, обладают наибольшей
надежностью при определенной стоимости или наименьшей стоимостью при
данной надежности. Все остальные варианты заведомо хуже, и их
рассмотрение не имеет смысла.
В общей теории оптимизации множество вариантов, лежащих на
указанной огибающей, называется множеством Парето. В теории надежности
элементы этого множества, упорядоченные по возрастанию C и R (1, 2, 3, 4, 5
на рис. 15.1), называют доминирующей последовательностью. Для решения
задач оптимального резервирования требуется построение этой
последовательности.
Рис. 15.1. Множество вариантов и доминирующая последовательность
Метод наискорейшего покоординатного спуска
Для построения доминирующей последовательности имеется целый
ряд методов. Ниже будет описан простейший из них, называемый методом
наискорейшего покоординатного спуска. Он является, вообще говоря,
приближенным, однако во многих практически важных случаях дает точное
решение.
Суть этого метода состоит в следующем:
1) определяется «нулевой» вариант построения системы, в котором
резерв отсутствует;
2) рассматриваются варианты, в каждом из которых введено по одному
резервному элементу; для каждого из этих вариантов подсчитываются
приращения показателя надежности системы ΔR и ее стоимости ΔC;
3) выбирается вариант с максимальным отношением ΔR/ΔC; резерв,
принятый в данном варианте, фиксируется и в дальнейшем не
пересматривается;
одному резервному элементу каждого типа (включая вариант с добавочным
4) рассматриваются варианты, в каждом из которых вводится еще по
(множество Парето)
70
резервным элементом уже принятого типа); подсчитываются значения ΔR и
ΔC; далее все повторяется, начиная с п. 3).
Получившаяся в результате последовательность выбранных вариантов
оказывается доминирующей.
Формальные алгоритмы, реализующие указанный метод, приведены
ниже. В них через m обозначено число типов элементов системы, zi – число
резервных элементов i-го типа, R(z1,…,zm) и C(z1,…,zm) – соответственно
надежность и стоимость системы с данным числом резервных элементов; для
оператора присваивания использовано обозначение «».
Алгоритм для решения задачи 1:
1. Для всех i = 1,…,m zi 0.
2. Для всех i = 1,…,m
ΔiR R(z1,…,z
ΔiC C(z1,…,z
i–1,zi
i–1,zi
+1,z
+1,z
,…,zm) – R(z1,…,zm),
i+1
,…,zm) – C(z1,…,zm),
i+1
gi ΔiR/ΔiC.
3. Найти i*, при котором gi максимально;
zi* zi* +1.
4. Если R(z1,…,zm) ≥ R0, то перейти к п. 5, иначе перейти к п. 2.
5. R R(z1,…,zm), C C(z1,…,zm);
конец.
Для решения задачи 2 алгоритм будет таким же, за исключением п. 4,
который приобретает вид:
4. Если C(z1,…,zm) > C0, то zi* zi* –1 и перейти к п. 5, иначе перейти к
п. 2.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие характеристики могут рассматриваться как затраты в задачах
оптимального резервирования?
2. В каких ситуациях имеет смысл каждая из двух основных задач
оптимального резервирования?
3. Почему не имеет смысла рассматривать варианты, не
принадлежащие множеству Парето?
4. Исключив точки 3–5 на рис. 15.1, найдите доминирующую
последовательность для оставшегося множества вариантов.
5. Объясните смысл изменения п. 4 в алгоритме решения задачи 2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]