Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории надежности. Учебное пособие-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

11. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ.

Признак

классификации

Виды испытаний

Цель испытаний

Определительные испытания, проводимые для определения численных значений показателей надежности объекта.

Контрольные испытания, проводимые для проверки соответствия объекта заданным требованиям к надежности.

Место проведения

Лабораторные испытания, проводимые в лабораторных или заводских условиях.

Эксплуатационные испытания, проводимые в условиях эксплуатации объекта.

Методы и условия проведения (для лабораторных испытаний)

Нормальные испытания – испытания, методы и условия проведения которых максимально приближены к эксплуатационным для объекта.

Ускоренные испытания – испытания, методы и условия проведения которых обеспечивают получение информации о надежности в более короткий срок, чем при нормальных испытаниях.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

НАДЕЖНОСТИ

Общие положения

Испытания на надежность классифицируются на основании нескольких признаков (табл. 11.1).

Таблица 11.1. Классификация испытаний на надежность

Различие в постановке задачи определительных и контрольных испытаний влечет и разницу в их результатах:

 результат определительных испытаний – число или несколько

чисел;

 результат контрольных испытаний – решение о соответствии

(приемке) или несоответствии (браковке) объекта (приемка и браковка означают здесь лишь вывод о соответствии или несоответствии объекта требованиям по надежности, но не вывод его пригодности или непригодности вообще).

Несмотря на принципиальные различия в постановке задачи при контрольных и определительных испытаниях, на практике они вполне совместимы, т.е. по одним и тем же статистическим данным можно решить обе задачи, применив лишь разную обработку этих данных.

При организации испытаний следует обратить внимание на следующие

факторы:

 режим эксплуатации (непрерывный или циклический);  условия окружающей среды (климатические, электрические и т.п.);

части);

 объекты сбора статистики (объект в целом или его отдельные

 режим контроля функционирования (непрерывный, периодический,

в конце испытаний);

 режим восстановления работоспособности (без восстановления, с

восстановлением, с заменой);

 состав фиксируемой информации;  правило прекращения испытаний;  формы учетных документов;  состав и обязанности членов испытательных групп.

Планы испытаний

План испытаний – совокупность правил, устанавливающих объем

выборки, порядок проведения испытаний, критерии их завершения и принятия решений. Для его задания часто используется запись из трех частей, заключаемых в квадратные скобки:

[N, наличие замены или восстановления, условие прекращения испытаний].

Здесь N обозначает число испытываемых образцов. На втором месте ставится буква U при отсутствии замены или восстановления отказавших в ходе испытаний образцов и буква R при наличии замены или восстановления. Наконец, на третьем месте указывается условие прекращения испытаний, для записи которого используются следующие обозначения:

T – длительность испытаний, т.е. испытания прекращаются в заранее установленный момент времени;

r – число отказов (восстановлений), т.е. испытания прекращаются по достижению фиксированного числа отказов (восстановлений);

(r, T) – число отказов (восстановлений) и длительность испытаний, т.е. испытания прекращаются по достижению фиксированного числа отказов (восстановлений), если это произошло до истечения заданного периода времени, или по истечению этого периода;

TΣ – суммарная наработка, т.е. испытания прекращаются при достижении суммарной наработкой заданного значения.

Несколько примеров:

[10, U, r = 10] – план, при котором испытывается 10 образцов, отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются, испытания прекращаются при отказе последнего образца;

[1, R, r = 5] – испытывается один образец, который восстанавливается после отказов, испытания прекращаются в момент восстановления после пятого отказа;

[5, U, (r = 5, T = 240 ч)] – испытываются пять образцов, замены и восстановления нет, длительность испытаний ограничена 240 ч;

[5, R, TΣ = 1000 ч] – испытываются пять образцов, которые восстанавливаются после отказов, испытания заканчиваются, когда суммарная наработка достигнет 1000 ч.

Интервальная оценка показателей надежности

Ранее уже приводились формулы для статистической оценки основных показателей надежности. Эти формулы дают оценки, называемые точечными, поскольку результатом является одно число, т.е. точка на числовой прямой. Информация о точности такой оценки или степени доверия к ней при этом отсутствует.

Пусть, например, на испытаниях зафиксирована суммарная наработка tΣ = 1000 ч и общее число отказов r = 1. Тогда точечная оценка средней наработки на отказ T

= tΣ/r = 1000 ч. Точно такое же значение получилось

бы при tΣ = 2000 ч и r = 2; tΣ = 5000 ч и r = 5; tΣ = 10000 ч и r = 10 и т.д. Однако интуитивно ясно, что в каждом последующем случае оценка становится точнее и внушает больше доверия, поскольку она строится на основании все большего объема наблюдений.

Кроме того, если за время испытаний не было ни одного отказа (r = 0), то точечная оценка вообще не существует.

Поэтому помимо точечной оценки желательно получить некоторые границы для оцениваемого показателя, т.е. найти интервал, который с достаточно большой вероятностью содержит внутри себя (накрывает) неизвестный показатель. Такие оценки называются интервальными.

Пусть R – некоторый показатель надежности. Если

P{Rн < R} = γн,

то Rн – нижняя доверительная граница для показателя надежности R с (односторонней) доверительной вероятностью γн. Если

P{R < Rв} = γв,

то Rв – верхняя доверительная граница для показателя надежности R с (односторонней) доверительной вероятностью γв.

Можно построить и двусторонний доверительный интервал (Rн, Rн), для которого

P{Rн < R < Rв} = γ*,

где γ* – двусторонняя доверительная вероятность.

Рассмотрим связь между односторонней и двусторонними доверительными вероятностями. Легко видеть, что 1 – γ* = (1 – γн) + (1 – γв). Поэтому

γ* = γн + γв – 1.

Если γн = γв = γ, то

γ* = 2γ – 1,

откуда

γ = (1 + γ*)/2.

Границы доверительного интервала зависят от результатов испытаний. При фиксированной доверительной вероятности точность оценки будет возрастать с увеличением объема наблюдений (т.е. длина доверительного

интервала будет сокращаться). При фиксированном объеме наблюдений



dk



ndk

повысить точность оценки, т.е. сузить интервал, можно только за счет уменьшения доверительной вероятности, и наоборот, увеличить доверительную вероятность можно только, расширив интервал.

Доверительные границы для показателя типа вероятности

Для оценки вероятности безотказной работы p = P(t) обычно используется следующий план испытаний. Проводятся n опытов, каждый из которых состоит в испытаниях одного образца в установленных условиях эксплуатации в течение времени t, если до этого времени образец не отказал, либо до возникновения отказа, если отказ возник до истечения времени t. Опыты могут проводиться параллельно (одновременно) или последовательно. По завершению всех n опытов фиксируется общее число отказов d.

Точечная оценка вероятности p выражается формулой

p^ = 1 – d/n = (n–d)/n.

Для построения доверительных границ используется тот факт, что d имеет биномиальное распределение, т.е.

P{d = k} = C

k pn–k

(1 – p)k.

Поэтому для нижней и верхней доверительных границ pн и pв имеют место так называемые уравнения Клоппера-Пирсона:

n–k

(1 – pн)k = 1 – γ;

n–k

(1 – pв)k = 1 – γ.

Решения этих уравнений при различных значениях n, d и γ затабулированы, имеются также номограммы.

Например, пусть n = 30, d = 1 и γ = 0,95. Тогда p^ = 29/30  0,967, из таблиц pн = 0,828 и pв = 0,999.

Аналогично могут быть получены доверительные границы и для других показателей типа вероятности.

Доверительные границы для показателя типа наработки

Для оценки средней наработки на отказ может использоваться следующий план испытаний. Испытывается произвольное число n образцов. Если объект является восстанавливаемым, то отдельные образцы после отказов могут восстанавливаться и вновь включаться в испытания. В процессе испытаний разные образцы могут проработать разное время; на разных образцах могут наблюдаться разные количества отказов; некоторые образцы за время испытаний могут не иметь отказов. Испытания прерываются в произвольный момент времени. Фиксируется суммарная

наработка всех испытывавшихся образцов tΣ и общее число наблюдаемых

1*





отказов dΣ.

Если испытания прерываются не в произвольный момент времени, а в момент возникновения очередного отказа, когда общее число наблюдаемых отказов достигает некоторого заранее установленного значения d, то вместо tΣ следует брать величину

Тогда все соотношения сохраняются.

Точечная оценка средней наработки на отказ выражается формулой

T^ = tΣ/dΣ. (11.1)

Для получения нижней и верхней доверительных границ необходимо знать распределение времени безотказной работы. Предположим, что оно является экспоненциальным. Тогда для расчета Tн и Tв имеют место формулы

Tн = kн T^, Tв = kв T^. (11.2)

Здесь

где χ

(2dΣ) и χ

kн = 2dΣ / χ

(2dΣ) – квантили распределения χ2 с 2dΣ степенями свободы1)

1–γ

(2dΣ), kв = 2dΣ / χ

(2dΣ), (11.3)

1–γ

уровней γ и 1 – γ соответственно.

Действительно, из свойств экспоненциального распределения вытекает, что если время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение со средним T, то величина 2tΣ/T имеет распределение χ2 с 2dΣ степенями свободы. Поэтому

P{2tΣ/T < χ

(2dΣ)} = γ и P{T > 2tΣ / χ

(2dΣ)} = γ,

откуда, используя (11.1) и первое из равенств (11.3), получим первое из равенств (11.2). Аналогично,

P{χ

(2dΣ) < 2tΣ/T} = γ и P{T < 2tΣ / χ

1–γ

(2dΣ)} = γ,

1–γ

откуда с учетом (11.1) и второго из равенств (11.3) вытекает второе из равенств (11.2).

Для нахождения kн и kв в зависимости от доверительной вероятности и числа отказов имеются таблицы.

Для рассмотренных выше примеров при γ = 0,9 (γ* = 0,8) получим:

tΣ 1000 ч 2000 ч 5000 ч 10000 ч dΣ 1 2 5 10 Tн 435 ч 515 ч 625 ч 704 ч Tв 9506 ч 3759 ч 2058 ч 1608 ч

Распределением χ2 (читается хи-квадрат) с n степенями свободы называется

распределение суммы квадратов n независимых случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией, равной 1.

Здесь наглядно видно, как сужается доверительный интервал с увеличением объема наблюдений.

Контрольные вопросы и задания

1. На какие факторы следует обращать внимание при организации

испытаний на надежность?

2. В чем разница между определительными и контрольными

испытаниями?

3. Возможны ли планы испытаний [7, U, r = 10], [7, R, r = 10]?

4. Как будет изменяться доверительный интервал при увеличении

объема испытаний? При увеличении доверительной вероятности?

5. Следующие четыре числа являются доверительными границами для

Kг (2 – нижними и 2 – верхними) при γ 0,9 и 0,95: 0,918; 0,924; 0,957; 0,961. Расставьте их на нужные позиции:

γ K 0,9 … …

г н

г в

0,95 … …

6. Из перечисленных далее планов испытаний укажите те, при

использовании которых вместо tΣ следует брать tΣ*: [10, U, r = 10], [1, R, r = 5], [5, R, TΣ = 1000 ч].

12. КОНТРОЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

Общие положения

Целью контрольных испытаний на надежность является проверка выполнения установленных в нормативно-технической документации требований к надежности. Таким образом, по данным испытаний должно быть принято решение о соответствии или несоответствии изделий заданным требованиям (приемка или браковка соответственно).

Не уточняя пока, какой именно показатель надежности рассматривается, обозначим его R и будем считать для определенности, что он позитивен, т.е. его значения возрастают с повышением надежности. В случае негативного показателя (чем он больше, тем хуже) все неравенства заменятся на противоположные. Требуемое значение показателя обозначим

Rтр. При контроле надежности стремятся к тому, чтобы обеспечить приемку

изделий с уровнем надежности R  Rтр и браковку при R < Rтр.

Зависимость вероятности приемки изделия от его надежности R называется оперативной характеристикой плана контроля и обозначается L(R). Идеальная оперативная характеристика, соответствующая указанному выше принципу, выражается соотношением

1, если R  Rтр;

L(R) = 

0, если R < Rтр;

т.е. имеет единичный скачок в точке Rтр (рис. 12.1). Однако практически она

L(R)

1–α

β 0

R1 Rтр R0 R

недостижима, так как требует бесконечно большого объема наблюдений (времени, числа образцов и т.п.). Реальная оперативная характеристика является непрерывной кривой (рис.12.1).

В этой ситуации при различении гипотез {R  Rтр} и {R < Rтр} невозможно одновременно обеспечить малость вероятностей обоих ошибочных решений (браковки при R  Rтр и приемки при R < Rтр).

Поэтому обычно на практике контроль надежности осуществляется не по одному уровню (Rтр), а по двум. Именно, при выборе плана контроля вводят два уровня контролируемого показателя, называемые приемочным и браковочным (они обозначаются R0 и R1 соответственно), и фиксируют значения L(R) в этих точках (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Оперативная характеристика, браковочный и приемочный уровни, риски

потребителя и поставщика

Приемочный уровень – это такое значение показателя надежности, при котором обеспечивается приемка с достаточно высокой вероятностью L(R0) = 1 – α. Браковочный уровень – это такое значение показателя надежности, при котором обеспечивается браковка с достаточно высокой вероятностью 1 – L(R1) = 1 – β. Вероятности противоположных событий, т.е. принятия ошибочных решений, называются рисками поставщика и потребителя соответственно.

Риск поставщика α – это вероятность браковки при условии, что надежность соответствует приемочному уровню (R = R0). Риск потребителя β – это вероятность приемки при условии, что надежность соответствует браковочному уровню (R = R1). Значения рисков обычно выбираются из набора 0,05; 0,1; 0,2.

Вероятности всех возможных ситуаций при контроле надежности указаны в табл. 12.1.

Таблица 12.1. Вероятности возможных исходов контрольных испытаний

Решение по результатам

испытаний

Действительный уровень надежности

Браковочный

Приемочный

Соответствие (приемка)

1 – α

Несоответствие (браковка)

1 – β

Таким образом, точность контроля определяется значениями приемочного и браковочного уровней заданного показателя (R0 и R1), а достоверность – рисками поставщика и потребителя (α и β).

Вопрос размещения интервала [R1, R0] относительно Rтр не имеет однозначного ответа. При α = β его следует решать, учитывая ущерб, наносимый потребителю приемкой изделий с R < R1 и поставщику браковкой изделий с R > R0. Если они примерно одинаковы, при выборе плана контроля следует стремиться к тому, чтобы L(Rтр) = 0,5. Если ущерб поставщика превосходит ущерб потребителя, интервал [R0, R1] смещается влево вплоть до крайнего положения, когда R0 = Rтр. Если ущерб потребителя превосходит ущерб поставщика, интервал смещается вправо (крайнее положение R1 = Rтр).

Наиболее употребительными на практике являются две схемы контроля: одноступенчатая, когда объем испытаний определяется заранее и является фиксированным, и последовательная, когда объем испытаний является случайной величиной, зависящей от хода испытаний. Они будут рассмотрены далее.

Контроль по доверительным границам

Доверительные границы показателей надежности также можно использовать для контроля этих показателей. Это позволяет совместить определительные и контрольные испытания. Контроль по доверительным границам является особым случаем одноступенчатого контроля.

Пусть Rн и Rв – нижняя и верхняя доверительные границы некоторого показателя надежности R, определенные с доверительными вероятностями γн и γв соответственно. Примем следующее правило принятия решений (рис. 12.2):

Rн  R1 и Rв > R0  приемка,

Rн < R1 и Rв  R0  браковка.

——————[————————————]—————> —————[—————————————]—————>

R1 Rн R0 R

а б

Rн R1 Rв R

Рис. 12.2. Приемка (а) и браковка (б) при контроле по доверительным

границам

Тогда риск поставщика

P{(Rн < R1)  (Rв  R0) | R = R0}  P{Rв  R0 | R = R0}  P{Rв  R} = 1 – γв,

так как P{R < Rв} = γв; риск потребителя

P{(Rн  R1)  (Rв > R0) | R = R1}  P{Rн  R1 | R = R1}  P{Rн  R} = 1 – γн,

так как P{R > Rн} = γн. Поэтому следует взять γв = 1 – α и γн = 1 – β.

Таким образом, если доверительный интервал смещен по отношению к интервалу [R1, R0] вправо, осуществляется приемка, влево – браковка (рис. 12.2). В других случаях решение с заданными рисками принято быть не может.

Контроль по доверительным границам может упростить задачу выбора значений приемочного и браковочного уровней R0 и R1. Для этого ее решение переносится на конец испытаний, которые занимают все выделенное время и используют статистику со всех имеющихся образцов. В конце испытаний выбираются α и β, определяются Rн и Rв с доверительными вероятностями 1–β и 1–α соответственно. Далее возможны следующие решения:

а) если Rн  Rтр, изделие принимается;

б) если Rв  Rтр, изделие бракуется;

в) если Rн < Rтр < Rв, то испытательная комиссия решает, нельзя ли использовать Rн в качестве R1, а Rв в качестве R0. Иначе говоря, является ли уровень Rн таким, что при этом уровне надежности изделие может быть принято с вероятностью β? Является ли уровень Rв таким, что при этом уровне надежности изделие должно приниматься с вероятностью 1–α? Если комиссией решено, что R1 > Rн и R0 > Rв, изделие бракуется; если решено, что R1 < Rн и R0 < Rв, оно принимается. В обоих случаях уровни R1 и R0 можно точно не устанавливать, достаточно только решить, лежат ли они выше или ниже доверительных границ;

г) если решения а) – в) невозможны, можно попробовать изменить в допустимых пределах риски и применить вариант в);

д) если изменение рисков также не позволяет принять решение, следует сделать вывод, что объем испытаний недостаточен для контроля надежности с приемлемой точностью и достоверностью.

Контрольные вопросы и задания

1. В чем смысл перехода от контроля по одному уровню (Rтр) к

контролю по двум уровням (R1 и R0)?

2. В чем смысл названий «приемочный уровень» и «браковочный

уровень»?

3. В чем смысл названий «риск поставщика» и «риск потребителя»?

4. Какие значения рисков обычно используются на практике?

5. Какие две основные схемы используются для контроля показателей

надежности?

6. Каково правило принятия решения при контроле по доверительным

границам?

7. В чем достоинства контроля по доверительным границам?

13. ОДНОСТУПЕНЧАТЫЙ КОНТРОЛЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Одноступенчатый контроль в общем случае

С точки зрения математической статистики контроль надежности

представляет собой проверку гипотезы H1 = {R = R1} против гипотезы

H0 = {R = R0}. Из статистики известно, что в случае одноступенчатого

контроля наиболее эффективным для решения такой задачи является критерий Неймана-Пирсона, который будет сформулирован ниже.

Пусть x1,…,xn – результаты испытаний, а f(x1,…,xn;R1) и f(x1,…,xn;R0) –

вероятности получить данные результаты для дискретных распределений или плотности вероятностей для непрерывных распределений, если показатель надежности принимает значения R1 и R0 соответственно. Отношением правдоподобия называется функция

l(x1,…,xn) = f(x1,…,xn;R1) / f(x1,…,xn;R0).

Понятно, что чем больше это отношение, тем более правдоподобна гипотеза

H1, чем меньше – тем более правдоподобна H0. Критерий Неймана-Пирсона состоит в сравнении l(x1,…,xn) с некоторой

постоянной C, называемой оценочным нормативом:

l  C  приемка,

l > C  браковка.

План контроля определяется системой уравнений

P{l(x1,…,xn)  C  R = R1} = , (13.1)  P{l(x1,…,xn) > C  R = R0} = , (13.2)

из которой находятся оценочный норматив C и объем испытаний n.

Пусть результаты испытаний xi являются независимыми и одинаково

распределенными случайными величинами. Обозначим f(xi;R) вероятность получить результат xi при значении показателя надежности R для дискретных величин или плотность распределения для непрерывных величин. Тогда

f(x1,…,xn;R) = 

f(xi;R).

В этом случае для упрощения вычислений обычно переходят к

логарифму отношения правдоподобия (при этом произведение переходит в сумму). Тогда правило принятия решений приобретает вид:

ln l  C  приемка,

ln l > C  браковка,

а уравнения (13.1), (13.2) переходят в

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]