Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности. Учебное пособие-2
.pdf
31
повышения надежности и охватывается понятием резервирования. Ниже
приведены основные определения из этой области.
Резервирование – способ обеспечения надежности объекта за счет
использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных
по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых
функций.
Резерв – совокупность дополнительных средств и (или) возможностей,
используемых для резервирования.
Основной элемент – элемент, необходимый для выполнения
требуемых функций без использования резерва.
Резервируемый элемент – основной элемент, на случай отказа
которого предусмотрен один или несколько резервных элементов.
Резервный элемент – элемент, предназначенный для выполнения
функций основного элемента в случае его отказа.
Кратность резервирования – отношение числа резервных элементов к
числу резервируемых ими элементов.
Дублирование – резервирование с кратностью 1:1.
Резерв может быть:
• нагруженный – резервные элементы, находящиеся в режиме
основного элемента;
• облегченный – резервные элементы, находящиеся в менее
нагруженном режиме, чем основной элемент;
• ненагруженный – резервные элементы, находящиеся в не-
нагруженном режиме до начала выполнения функций основного
элемента.
Выделяют следующие виды резервирования:
• структурное – использование избыточных элементов, входящих в
физическую структуру объекта;
• временное – использование избыточного времени, выделенного для
выполнения задач;
• информационное – использование избыточной информации сверх
минимально необходимой для выполнения задач;
• функциональное – использование способности элементов выполнять
дополнительные функции вместо основных или наряду с ними;
• нагрузочное – использование способности элементов воспринимать
дополнительные нагрузки сверх минимальных;
• смешанное – сочетание различных видов резервирования в одном и
том же объекте.
По уровню резервирование может быть:
• общее – резервирование объекта в целом;
• раздельное – резервирование отдельных элементов или их групп.
32
Сравнение общего и раздельного резервирования
1
2
1
2
1
2
1
2
Проведем сравнение наработки до отказа системы при общем и
раздельном резервировании (рис. 7.1), для сокращения записи считаем, что
число элементов равно двум. Обозначим:
1 и 2 – наработки до отказа основных элементов,
1 и 2 – наработки до отказа резервных элементов,
о и р – наработки до отказа системы при общем и раздельном
резервировании.
а б
Рис. 7.1. Общее (а) и раздельное (б) резервирование
При нагруженном резервировании
о = max[min(1, 2), min(1, 2)], р = min[max(1, 1), max(2, 2)].
Так как о max(1, 1) и о max(2, 2), то
о min[max(1, 1), max(2, 2)] = р.
При ненагруженном резервировании
о = min(1, 2) + min(1, 2), р = min(1 + 1, 2 + 2)].
Так как о 1 + 1 и о 2 + 2, то
о min(1 + 1, 2 + 2) = р.
Таким образом, в обоих случаях раздельное резервирование
обеспечивает большую надежность, чем общее. Аналогичный результат
может быть доказан не только для наработки, но и для вероятности
работоспособности.
Однако приведенные выше рассуждения не учитывали надежность
устройств, которые могут быть необходимы для контроля работоспособности
элементов и переключения на резерв. Если они не абсолютно надежны,
сделанный вывод может оказаться и неверным. Например, в рассмотренном
выше случае при раздельном резервировании потребуется вдвое больше
переключателей, чем при общем, и это соотношение будет увеличиваться
пропорционально числу элементов в системе. Поэтому в общем случае
требуется более сложный расчет, который может приводить к разным
результатам в зависимости от надежности контрольно-переключающих
устройств.
33
Надежность дублированной системы
0 1 2
0
1
2
1
Дублирование является простейшим и широко распространенным на
практике случаем резервирования. Система состоит из двух одинаковых
элементов: основного и резервного. Предполагается, что длительности
безотказной работы элементов имеют экспоненциальное распределение с
параметром , а длительности восстановления – экспоненциальное
распределение с параметром . Данное предположение позволяет описать
поведение системы марковским случайным процессом.
Рассмотрим два варианта резервирования:
• нагруженное – интенсивность отказов резервного элемента равна
интенсивности отказов основного;
• ненагруженное – до момента отказа основного элемента резервный
элемент отказать не может, т.е. интенсивность его отказов при
нахождении в резерве равна нулю;
и два варианта восстановления:
• неограниченное – при отказах обоих элементов они восстанавливаются
одновременно и независимо;
• ограниченное – одновременно может восстанавливаться только один
элемент.
Заметим, что в случае нагруженного резерва и неограниченного
восстановления система представляет собой просто два параллельных
независимых элемента. Во всех остальных случаях элементы зависимы (по
отказам или восстановлению).
Состояния системы различаются числом отказавших элементов (0, 1
или 2) и обозначаются «0», «1» и «2» соответственно. Диаграмма состояний и
переходов между ними представлена на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Диаграмма состояний и переходов дублированной системы
Интенсивности переходов определяются следующими выражениями:
2, если резерв нагруженный;
0 = 1 = ; (7.1)
, если резерв ненагруженный;
2, если восстановление неограниченное;
1 = ; 2 = (7.2)
, если восстановление ограниченное.
Пусть Pj(t) – вероятность того, что в момент времени t система
находится в состоянии j (j = 0, 1, 2). При t эти вероятности стремятся к
34
своим стационарным значениям, обозначаемым pj. На практике, как правило,
используются именно стационарные характеристики системы.
Поскольку дублированная система неработоспособна только в
состоянии «2», коэффициент простоя системы Kп равен стационарной
вероятности пребывания в этом состоянии p2, а среднее время
восстановления системы Тв есть среднее время пребывания в этом состоянии.
Из теории марковских процессов известно, что среднее время пребывания в
некотором состоянии есть величина, обратная суммарной интенсивности
выхода из этого состояния, равная в данном случае
–1
. Коэффициент
2
готовности и средняя наработка на отказ системы (Kг и То) находятся
из Kп и Тв.
Таким образом,
Kп = p2, Тв =
-1
, Kг = 1– Kп, То = Тв/(K
2
–1
–1). (7.3)
г
Для стационарных вероятностей имеет место система уравнений
равновесия:
–0 p0 + 1 p1 = 0,
0 p0 – (1+1) p1 + 2 p2 = 0,
1 p1 – 2 p2 = 0.
Каждое из уравнений этой системы является следствием двух других,
поэтому, взяв любые два уравнения и добавив к ним условие нормировки
p0 + p1 + p2 = 1,
получим для pj систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными,
решение которой легко находится (например, методом исключения или по
правилу Крамера).
Учитывая (7.3), достаточно найти только вероятность p2, для которой
получим:
p2 = 01/(01+02+12).
Воспользовавшись (7.3), получим: Kг = (02+12)/(01+02+12),
Т
= (0+1)/01. Подставляя сюда значения 0, 1, 1, 2 из (7.1), (7.2),
о
получим результаты для четырех возможных случаев, представленные в
табл. 7.1.
Аналогично могут быть проанализированы системы с резервированием
большей кратности, другими вариантами резервирования. Например, с
облегченным резервом, при котором интенсивность отказов резервного
элемента удовлетворяет условию 0 < < (заметим, что в случае
нагруженного резерва = , ненагруженного – = 0).
35
Таблица 7.1. Показатели надежности дублированной системы
Резерв
Пока-
затель
Восстановление
неограниченное
ограниченное
Нагруженный
Kг
(2+)
––––––––
(+)2
(2+)
–––––––––––
22+2+2
Т
о
2+
––––––
22
Ненагруженный
Kг
2(+)
–––––––––––
2+2+22
(+)
–––––––––
2++2
Т
о
+
–––––
2
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры различных видов резервирования.
2. Какова кратность резервирования в системе “k из n”?
3. Обоснуйте выражения для интенсивностей переходов (7.1) и (7.2).
4. Получите Kг дублированной системы с нагруженным резервом и
неограниченным восстановлением по формуле параллельного соединения.
5. Влияет ли ограниченность восстановления на среднюю наработку
на отказ системы?
8. НЕПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ – ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
РАСЧЕТА
Система, структура которой не может быть представлена в виде
комбинаций последовательных и параллельных соединений, называется
неприводимой. Простейшей неприводимой системой является мостиковая
схема (рис. 8.1). При использовании графического представления в виде
двухполюсника, подобного рис. 8.1, предполагается, что критерием
работоспособности системы является наличие пути из работоспособных
элементов между двумя полюсами. Для упрощения изображения система
представляется в виде графа, ребра которого соответствуют элементам
системы (рис. 8.1 б).
С ростом числа элементов системы n доля неприводимых систем в
общем числе систем из n элементов возрастает, и при n эта доля
стремится к 1.
Рассмотрим методы расчета и оценки надежности неприводимых
систем.
36
Состояние xi элемента i
Состояние
системы φ(x)
Вероятность состояния p(x)
1 2 3 4 5
0
1
…
0
1
1
1
…
1
0
0
…
0
1
0
0
…
1
0
0
…
0
0
1
0
…
1
0
0
…
0
0
0
1
…
1
0
0
…
1
0
0
0
…
1
0
0
…
0
0
0
1
…
1
q1q2q3q4q5
p1q2q3q4q5
…
q1q2q3q4p5
p1p2q3q4q5
p1q2p3q4q5
p1q2q3p4q5
…
p1p2p3p4p5
1 2 5 4 3
1 2 4
5
3
а б
Рис. 8.1. Мостиковая схема (а – полное, б – упрощенное изображение)
Полный перебор состояний
Этот метод впрямую использует формулу (5.3). Расчеты удобно
представить в виде таблицы, вид которой на примере мостика (рис. 8.1)
приведен ниже. При записи вероятностей состояний используется
обозначение qi = 1 – pi.
Таблица 8.1. Расчет вероятности работоспособности мостика методом перебора состояний
состояний, для которых φ(x) = 1 (заметим, что вероятности всех остальных
состояний можно было вообще не записывать):
состояний метод практически применим только для систем с малым числом
элементов.
которой в качестве полной группы событий используются события {xk = 1} и
{xk = 0} для некоторого элемента системы k. При этом расчет искомой
вероятности P = P{φ(x) = 1} сводится к расчету условных вероятностей этого
события при условиях xk = 1 и xk = 0:
Чтобы получить вероятность P, надо просуммировать вероятности всех
P = p1q2q3p4q5 +…+ p1p2p3p4p5.
Как уже было указано ранее, из-за необходимости перебора 2n
Разложение по элементу
В основе метода лежит применение формулы полной вероятности, в
P = pk P{φ(x) = 1 xk = 1} + (1 – pk) P{φ(x) = 1 xk = 0}.
37
Условие xk = 1 означает абсолютную надежность данного элемента, а xk = 0 –
1 2 4 5 3 1 2 4 5 1 2
4
5
x3 = 0
x3 = 1
1 2 3 6 4
5
7
8
его исключение из структуры системы. Элемент, по которому производится
разложение, надо выбирать так, чтобы расчет указанных условных
вероятностей был проще, чем полной вероятности для всей системы.
Пример разложения мостика по перемычке (элементу 3) представлен на
рис. 8.2. Условие x3 = 0 приводит к удалению соответствующего ребра из
графа, а условие x3 = 1 – к стягиванию его граничных вершин. Получившиеся
при этом системы оказываются уже приводимыми, что позволяет сразу
записать результат:
P = (1–p3)(p1p4 + p2p5 – p1p4p2p5) + p3(p1 + p2 – p1p2)(p4 + p5 – p4p5.
Рис. 8.2. Разложение мостика по перемычке
При необходимости разложение может быть применено несколько раз.
Например, для расчета надежности мостика с двумя перемычками (рис. 8.3)
следует провести разложения по обеим перемычкам (элементам 3 и 6), т.е.
рассмотреть 22 = 4 случая: {x3 = 0, x6 = 0}, {x3 = 1, x6 = 0}, {x3 = 0, x6 = 1},
{x3 = 1, x6 = 1}.
Рис. 8.3. Мостик с двумя перемычками
Простые пути и сечения
Для изложения дальнейших методов необходимо ввести понятия
простого пути и сечения.
Простым (минимальным) путем называется минимальное по
включению множество элементов системы, работоспособность которых
обеспечивает работоспособность системы.
Иными словами, множество элементов A {1,…,n} является простым
путем, если:
38
1) iA xi = 1 φ(x) = 1;
k
j Ai
i
j
x
1
11
1 1 4 5
2 2 5 4
3
3
1 4 1 2
2 5 5 4
2) никакое собственное подмножество множества A не удовлетворяет
свойству 1.
Например, простыми путями мостика (рис. 8.1) являются множества
элементов A1 = {1, 4}, A2 = {2, 5}, A3 = {1, 3, 5}, A4 = {2, 3, 4}.
Простым (минимальным) сечением (разрезом) называется
минимальное по включению множество элементов системы, отказ которых
влечет отказ системы.
Иными словами, множество элементов B {1,…,n} является простым
сечением, если:
1) iB xi = 0 φ(x) = 0;
2) никакое собственное подмножество множества B не удовлетворяет
свойству 1).
Например, простыми сечениями мостика (рис. 8.1) являются множества
элементов B1 = {1, 2}, B2 = {4, 5}, B3 = {1, 3, 5}, B4 = {2, 3, 4}.
Между простыми путями и сечениями существует двойственность,
смысл которой будет виден из дальнейшего изложения. Любые утверждение
и формулы, касающиеся простых путей, будут верными и для простых
сечений, если слово «путь» заменить словом «сечение»,
«работоспособность» на «неработоспособность», и наоборот.
Перебор простых путей
Пусть A1,…,Ak – все простые пути системы. Из определения простого
пути вытекает, что
φ(x) =
. (8.1)
Иными словами, вся система может быть представлена в виде
параллельного соединения всех простых путей, в каждом из которых его
элементы соединены последовательно. Это нисколько не противоречит
неприводимости системы, поскольку в данном представлении одни и те же
элементы могут входить в состав разных путей, а приводимость означает
возможность представления в виде комбинаций последовательных и
параллельных соединений различных (неповторяющихся) элементов.
В качестве примера на рис. 8.4 а показано подобное представление для
мостика.
а б
Рис. 8.4. Представление мостика через простые пути (а) и простые сечения (б)
39
Для упрощения записи будем обозначать через A не только сам простой
)()1()()(
1
1
1
1
k
k
ji
ji
k
j
j
k
j
j
AAAAAAP
PPPP
m
j Bi
i
j
x1)1(1
)()1()()(
1
1
1
1
k
m
ji
ji
m
j
j
m
j
j
BBBBBBQ
PPPP
путь, т.е. подмножество в {1,…,n}, но и событие, заключающееся в
работоспособности всех его элементов, т.е. ∩
iA {xi
= 1} = {
iA xi
= 1}.
Тогда, воспользовавшись известной в теории вероятностей формулой
включения-исключения, получим:
.
Общее число слагаемых в этой сумме равно 2
k–1
.
В качестве примера опять рассмотрим мостик (рис. 8.1):
P = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A1A4) – P(A2A3) –
– P(A2A4) – P(A3A4) + P(A1A2A3) + P(A1A2A4) + P(A1A3A4) + P(A2A3A4) –
– P(A1A2A3A4) = p1p4 + p2p5 + p1p3p5 + p2p3p4 – p1p4p2p5 – p1p4p3p5 – p1p4p2p3 –
– p2p5p1p3 – p2p5p3p4 – p1p3p5p2p4 + p1p4p2p5p3 + p1p4p2p5p3 + p1p4p3p5p2 +
+ p2p5p1p3p4 – p1p4p2p5p3.
Перебор простых сечений
Пусть B1,…,Bm – все простые сечения системы. Из определения
простого сечения вытекает, что
φ(x) =
. (8.2)
Иными словами, вся система может быть представлена в виде
последовательного соединения всех простых сечений, в каждом из которых
его элементы соединены параллельно. Как и в случае простых путей,
подобное представление не противоречит неприводимости системы.
В качестве примера на рис. 8.4 б показано подобное представление для
мостика.
Для упрощения записи будем обозначать через B не только само
простое сечение, т.е. подмножество в {1,…,n}, но и событие,
заключающееся в неработоспособности всех его элементов, т.е.
∩
{xi = 0} = {
iB
(1 – xi) = 1}.
iB
Тогда для вероятности неработоспособности системы Q = 1 – P
получим:
(здесь также использована формула включения-исключения). Общее число
слагаемых в этой сумме равно 2
m–1
.
Для мостика получим:
40
Q = P(B1) + P(B2) + P(B3) + P(B4) – P(B1B2) – P(B1B3) – P(B1B4) – P(B2B3) –
jj
Ai
i
Ai
i
Ai
i
xxx11
– P(B2B4) – P(B3B4) + P(B1B2B3) + P(B1B2B4) + P(B1B3B4) + P(B2B3B4) –
– P(B1B2B3B4) = q1q2 + q4q5 + q1q3q5 + q2q3q4 – q1q2q4q5 – q1q2q3q5 – q1q2q3q4 –
– q4q5q1q3 – q4q5q2q3 – q1q3q5q2q4 + q1q2q4q5q3 + q1q2q4q5q3 + q1q2q3q5q2 +
+ q4q5q1q3q2 – q1q2q4q5q3.
Ортогонализация (объединение простых путей с учетом эффекта
поглощения)
Этот метод использует представление события работоспособности
системы в виде суммы несовместных (ортогональных) событий. Именно,
система работоспособна, если работоспособен 1-й простой путь, либо 1-й
простой путь неработоспособен, но работоспособен 2-й простой путь, либо
1-й и 2-й простые пути неработоспособны, но работоспособен 3-й простой
путь и т.д. Отсюда получим:
{φ(x) = 1} = A1 A1A2 A1A2A3 … A1…A
k–1Ak
,
где A′ обозначает событие, противоположное A.
Поскольку все объединяемые события здесь несовместны, их
вероятности просто суммируются, поэтому
P = P(A1) + P(A1A2) + P(A1A2A3) +…+ P(A1…A
). (8.3)
k–1Ak
Число слагаемых здесь равно k, что меньше, чем при применении ранее
изложенных методов. Кроме того, данный метод имеет то преимущество, что
все слагаемые в (8.3) положительны. Поэтому получающиеся неполные
суммы при числе слагаемых меньшем k (т.е. при рассмотрении не всех
простых путей) дают нижнюю оценку для вероятности P.
События, вероятности которых присутствуют в правой части (8.3),
представляются в виде
A1…A
j–1Aj
=
.
Для расчета вероятностей эти выражения следует преобразовать, исключив
все повторяющиеся переменные xi.. Иными словами, необходимо, чтобы в
каждом из слагаемых любая переменная xi присутствовала не более одного
раза. Для этого используются следующие правила поглощения:
(ab)a = (ab)a = ba, (8.4)
a(ab) = a (ab) = a, (8.5)
(ab)(ac) = (a(bc)). (8.6)
Затем в полученную таким образом бесповторную форму вместо xi.
подставляются pi, а отрицание (′) заменяется взятием дополнения до 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]