Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности. Учебное пособие-2
.pdf
41
Рассмотрим опять пример мостика. Для него
φ(x) = x1x4 + (x1x4) x2x5 + (x1x4) (x2x5) x1x3x5 + (x1x4) (x2x5) (x1x3x5) x2x3x4 =
= x1x4 + (x1x4) x2x5 + (x1x4) (x2x5) x1x3x5 + (x1x4) (x2x5) (x1x3x5) x2x3x4 =
= x1x4 + (x1x4) x2x5 + x4 x2 x1x3x5 + x1 x5 (x1x5) x2x3x4 =
= x1x4 + (x1x4) x2x5 + x4 x2 x1x3x5 + x1 x5 (x1x5) x2x3x4 =
= x1x4 + (x1x4) x2x5 + x1x2x3 x4x5 + x1x2x3x4x5.
Поэтому
P = p1p4 + (1–p1p4)p2p5 + p1(1–p2)p3(1–p4)p5 + (1–p1)p2p3p4(1–p5).
Контрольные вопросы и задания
1. Полностью заполните табл. 8.1.
2. Каковы множества простых путей и сечений последовательной и
параллельной систем?
3. В чем состоит двойственность между простыми путями и
сечениями?
4. Почему соотношения (8.1) и (8.2) не противоречат неприводимости?
5. Докажите формулы поглощения (8.4)–(8.6).
6. Примените разложение по элементам для мостика с двумя
перемычками (рис. 8.3).
9. ПРИБЛИЖЕНИЯ И ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕПРИВОДИМЫХ
СИСТЕМ
Трудоемкость точных методов расчета надежности неприводимых
систем экспоненциально растет с увеличением числа их элементов. Это
делает практически невозможным точный расчет для больших систем и
заставляет искать методы приближенного расчета и построения различных
оценок.
Приближение для систем из элементов с одинаковой высокой
надежностью
Пусть все элементы системы имеют одинаковую и высокую
надежность, т.е. i = 1,…,n qi = 1 – pi = q << 1. Тогда, принимая в расчет
только сечения с минимальным числом элементов, получим:
P 1 – cλqλ, (9.1)
где λ – минимальное число элементов в сечении, cλ – число сечений из λ
элементов.
Например, для мостика (рис. 8.1) λ = 2 и cλ = 2 (это сечения {1, 2} и
{4, 5}). Поэтому P 1 – 2q2. Для q = 0,1 получим P 0,98 (точное значение
P = 0,97848).
42
Использование двусторонних оценок
Имеется целый ряд методов, позволяющих получить двусторонние
оценки (границы) для вероятности работоспособности системы P, т.е. числа
Pн и Pв, для которых 0 ≤ Pн ≤ P ≤ Pв ≤ 1. Такие оценки могут использоваться
для получения приближенного значения вероятности P и для проверки
выполнения требований по надежности.
Действительно, в качестве приближенного значения можно взять
P = (Pн + Pв)/2.
При этом абсолютная погрешность не превосходит величины (рис. 9.1)
P – P (Pв – Pн)/2.
——————[————————׀———————]—————>
Pн P P Pв
Рис. 9.1. Приближенная оценка на основе двусторонних границ
Если Pтр – требуемый уровень надежности, то неравенство Pн Pтр
гарантирует выполнение требования, неравенство Pв < Pтр означает, что
требование не выполнено, и только в промежуточном случае (Pн < Pтр Pв)
возникает необходимость в получении более точных оценок.
Простота расчетов надежности приводимых систем позволяет
использовать их для получения двухсторонних оценок надежности систем
неприводимых. Именно, для исходной системы S строятся такие две
оценочные системы S* и S*, что для них имеют место неравенства
Pн = P(S*) P(S) P(S*) = Pв. При этом в силу приводимости оценочных
систем расчет P(S*) и P(S*) для них гораздо проще, чем для исходной
системы. Известны несколько способов построения оценочных систем, два из
которых описаны ниже.
Оценки через все простые пути и сечения
Как указывалось выше, любая система может быть представлена в
виде:
– параллельного соединения всех простых путей, в каждом из которых
его элементы соединены последовательно – формула (8.1);
– последовательного соединения всех простых сечений, в каждом из
которых его элементы соединены параллельно – формула (8.2).
Подсистемы, участвующие в подобных представлениях, т.е. простые
пути и сечения, могут рассматриваться как обобщенные элементы (модули).
При этом их состояния являются неотрицательно коррелированными,
поскольку в их состав могут входить одни и те же элементы. Поэтому,
используя формулы (6.3) и (6.4), получим следующие выражения для оценок:
43
Pн =
m
j Bi
i
j
p1)1(1
k
j Ai
i
j
p
1
11
1 1 4 5
2 2 5 4
3
3
1 4
2 5
1 2
5 4
, (9.2)
Pв =
. (9.3)
Таким образом, для получения нижней оценки берется
последовательное соединение всех простых сечений, в каждом из которых
его элементы соединяются параллельно; для получения верхней оценки –
параллельное соединение всех простых путей, в каждом из которых его
элементы соединяются последовательно. Соответствующие структуры для
примера мостика показаны на рис. 9.2. Эти оценки называют оценками
Эзари-Прошана (ОЭП) по фамилиям американских ученых, впервые их
предложивших.
а б
Рис. 9.2. Структуры для получения нижней (а) и верхней (б) оценок для мостика
через все простые пути и сечения
Нижняя и верхняя ОЭП являются двойственными, т.е. получаются друг
из друга заменой сечений на пути, последовательного соединения на
параллельное и наоборот.
Основной недостаток этих оценок состоит в том, что для их построения
необходимо нахождение всех простых путей и сечений. Для больших систем
эта задача является весьма трудоемкой, поскольку число простых путей и
сечений может быть весьма велико. Если же множества простых путей и
сечений оказываются неполными, то построенные на их основе оценки могут
быть неверны, т.е. «нижняя оценка» может оказаться больше «верхней».
Оценки через непересекающиеся простые пути и сечения
Указанных выше недостатков лишены оценки, которые строятся на
основе попарно непересекающихся (т.е. не имеющие общих элементов)
путей и сечений. В некоторых источниках такие оценки называют
упаковочными, в других – оценками Литвака-Ушакова (ОЛУ) по фамилиям
советских ученых, предложивших их обобщение.
Для получения нижней оценки используется система, представляющая
собой параллельное соединение непересекающихся простых путей, в каждом
из которых все его элементы соединяются последовательно. Верхняя оценка
44
дается системой, представляющей собой последовательное соединение
0
1
11
k
j Ai
i
j
p
0
1
)1(1
m
j Bi
i
j
p
непересекающихся простых сечений, в каждом из которых все его элементы
соединяются параллельно. Эти оценки также являются двойственными, т.е.
нижняя и верхняя оценки получаются друг из друга заменой сечений на пути,
последовательного соединения на параллельное и наоборот.
Таким образом,
Pн =
Pв =
, (9.4)
. (9.5)
Здесь k0 – число попарно непересекающихся путей, m0 – число попарно
непересекающихся сечений (k0 k, m0 m; предполагается, что
непересекающиеся пути и сечения идут в начале списков путей и сечений).
Множества непересекающихся путей и сечений определяются, вообще
говоря, неоднозначно. Например, для мостиковой схемы (рис. 8.1) имеется по
три таких множества и для путей, и для сечений: для путей это
{{1, 4}, {2, 5}}, {{1, 3, 5}} и {{2, 3, 4}}; для сечений – {{1, 2}, {4, 5}},
{{1, 3, 5}} и {{2, 3, 4}}. Таким образом, множества непересекающихся путей
и сечений могут различаться по числу элементов в них. В рассмотренном
примере одно из множеств имеет два элемента (пути или разреза), а два
множества – по одному элементу.
Если вероятности работоспособности элементов не очень сильно
различаются между собой, то оценки, использующие максимальные по числу
элементов множества путей и сечений, оказываются более точными.
Известно, что максимальное число непересекающихся путей равно
минимальному числу элементов в простом сечении, а максимальное число
непересекающихся сечений равно минимальному числу элементов в пути.
Получение и обоснование этих оценок вполне понятно и наглядно.
Нижняя получается при удалении из системы всех элементов, не входящих в
рассматриваемое множество непересекающихся простых путей. Естественно,
что надежность при этом может только уменьшиться. Оценочная система для
верхней оценки получается стягиванием элементов, не входящих в
рассматриваемое множество непересекающихся простых сечений. При этом
стягиваемый элемент считается абсолютно надежным (работоспособным с
вероятность единица). Естественно, что надежность при этом может только
увеличиться. Поскольку рассматриваются только непересекающиеся пути и
сечения, получаемые системы оказываются приводимыми.
В рассмотренном примере мостика нижняя оценка получается путем
удаления элемента 3, а верхняя – стягиванием этого же элемента (рис. 9.3).
Здесь напрашивается параллель с методом разложения по элементу (рис. 8.2).
45
Тип оценок
Нижняя оценка
Верхняя оценка
ОЭП
0,978141
0,997349
ОЛУ
0,963900
0,980100
1 4
2 5
1 4
2 5
а б
Рис. 9.3. Структуры для получения нижней (а) и верхней (б) оценок для мостика
через непересекающиеся простые пути и сечения
Сравнение оценок
Важным отличием ОЛУ от ОЭП является то, что в них берутся не все
простые пути и сечения, а только непересекающиеся, число которых гораздо
меньше. Это существенно снижает трудоемкость расчетов. Следует обратить
внимание на то, что для получения нижней ОЭП используются сечения, а
верхней – пути; в случае ОЛУ все обстоит наоборот. Очень важно также, что
если рассматривать не максимально возможные множества
непересекающихся путей и сечений, а только какие-то их подмножества, то,
в отличие от ОЭП, ОЛУ все равно останутся справедливыми, потеряв при
этом только в точности.
Говоря о точности, нельзя однозначно отдать предпочтение ни ОЭП, ни
ОЛУ: в каких-то случаях будут лучше ОЭП, в других – ОЛУ. Например, для
мостика результаты расчетов приведены в табл. 9.1 (вероятности
работоспособности всех элементов принимались равными 0,9). Из нее видно,
что нижняя ОЭП больше, т.е. лучше, нижней ОЛУ; верхняя ОЭП больше, т.е.
хуже, верхней ОЛУ.
Таблица 9.1. Сравнение ОЭП и ОЛУ
Контрольные вопросы и задания
1. Примените формулу (9.1) для мостика с двумя перемычками
(рис. 8.3).
2. Как могут использоваться двусторонние оценки?
3. В чем сходство и различие ОЭП и ОЛУ?
4. Используя рис. 9.2 и 9.3, рассчитайте ОЭП и ОЛУ для мостика,
принимая вероятности работоспособности всех элементов pi равными 0,9.
5. Рассчитайте ОЛУ для мостика с двумя перемычками (рис. 8.3) при
pi = 0,9.
46
10. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ УРОВНЯМИ
РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Общие положения
Все объекты, которые рассматривались ранее, могли находиться в
процессе эксплуатации в двух состояниях – работоспособном или
неработоспособном, т.е. согласно указанной выше в разделе 4 классификации
ГОСТ 27.003–90 являлись изделиями вида I. Теперь пришло время
рассмотреть и изделия вида I I, которые, кроме указанных двух основных
состояний, могут находиться в некотором числе частично
неработоспособных состояний, в которые они переходят в результате
частичного отказа.
Необходимость этого обусловлена тем обстоятельством, что многие
современные сложные системы обладают определенной избыточностью, им
присущи такие свойства, как многоканальность, многофункциональность и
т.п. Все это приводит к тому, что отказы отдельных элементов могут
приводить не к полному выходу системы из строя, а лишь к некоторому
ухудшению качества ее функционирования, снижению эффективности
системы. При анализе надежности таких систем целесообразно использовать
количественный показатель, отражающий влияние таких частичных отказов
на поведение всего объекта.
Для ИКН вида I I основным показателем надежности служит
коэффициент сохранения эффективности. Он определяется как отношение
значения показателя эффективности использования объекта по назначению
за определенную продолжительность эксплуатации к номинальному
значению этого показателя, вычисленному при условии, что отказы объекта в
течение того же периода не возникают.
Таким образом,
Kэф = E/E0, (10.1)
где Kэф – коэффициент сохранения эффективности, E – некоторый показатель
эффективности использования объекта, E0 – номинальное значение этого
показателя.
В качестве показателя эффективности использования объекта обычно
берется математическое ожидание некоторого выходного эффекта объекта
или вероятность выполнения им своей задачи. Выходной эффект может
выражаться как в натуральных единицах (количество обработанной
информации, объем произведенной продукции, число обработанных
запросов и т.п.), так и в денежных единицах (приносимый доход).
Так как 0 E E0, то 0 Kэф 1, причем с повышением надежности
при прочих равных условиях Kэф возрастает.
Физический смысл Kэф прост: он показывает, какая доля номинальной
эффективности объекта сохраняется при наличии отказов; 1 – Kэф есть та
относительная величина, на которую снижается эффективность вследствие
отказов. Например, если эффективность некоторой системы оценивается
47
объемом переданной информации, то Kэф = 0,99 означает, что из-за
)()( xxxp
S
ненадежности элементов системы этот объем в среднем будет на 1% меньше
номинального.
Если эффективностью объекта является вероятность выполнения им
некоторой задачи, то Kэф дополнительно принимает и непосредственный
вероятностный смысл: он равен вероятности того, что выполнение задачи не
будет сорвано из-за отказов.
Для ИКН вида I также возможно применение коэффициента
сохранения эффективности. При этом во многих практически важных
случаях он сводится к таким показателям надежности, как P(t), Kг, K
(t) или
о.г
к их комбинациям.
Формула (10.1) дает определение Kэф, но при вычислении этого
показателя на практике ее применение вовсе не обязательно. Для этого
существуют гораздо более удобные приемы, которые будут описаны ниже.
Обычно ИКН вида I I рассматривается как система, каждый элемент
которой является объектом вида I, т.е. может находиться в одном из двух
состояний: работоспособности или неработоспособности. Состояние
системы, как и ранее, описывается n-мерным бинарным вектором
x = (x1,…,xn). На множестве всех состояний системы S = {x} вводится
функция эффективности φ(x), являющаяся обобщением рассматриваемой
ранее структурной функции. Именно, φ(x) есть относительное (т.е.
отнесенное к номинальному значению E0) значение выходного эффекта
системы в состоянии x. При этом функция эффективности может принимать
любые значения из интервала [0,1], в отличие от структурной функции,
которая принимает лишь два крайних значения этого интервала: 0 и 1.
Иногда, стремясь избежать оценки значений φ(x), называемых также
весами состояний, отказываются от применения Kэф и относят объект к виду
I. На самом деле использование весов не усложняет, а упрощает анализ
надежности. Оценка весов состояний необходима всегда, но если отнести
объект к виду I, то им приписывается одно из двух крайних значений: 0 или
1, хотя внешне это оформляется как формулировка критерия отказа объекта:
отказы таких-то элементов не учитываются, отказы таких-то считаются
полным отказом. Таким образом, веса все равно фиксируются, но гораздо
грубее.
Коэффициент сохранения эффективности равен математическому
ожиданию функции эффективности:
Kэф = M[φ(x)].
Отсюда для Kэф имеет место формула, аналогичная (5.3):
Kэф =
. (10.2)
Если все состояния могут быть разбиты на несколько классов,
характеризующихся одинаковыми значениями выходного эффекта, то
удобнее использовать формулу
48
Kэф =
k
j S
j
j
pv
1)(x
x
n
i
ii
wq
1
)1(
, (10.3)
где vj – некоторое значение относительного выходного эффекта; k – общее
число таких значений; Sj – множество состояний системы, для которых
φ(x) = vj.
Для систем с высоконадежными элементами, для которых
max {qi : i = 1,…,n} << 1/n, можно использовать приближенную формулу
Kэф 1 –
, (10.4)
где wi – относительное значение выходного эффекта при
неработоспособности только одного i-го элемента. Эта формула, в которой
пренебрегается возможностью неработоспособности более одного элемента,
дает заниженную оценку, причем погрешность не превосходит величины
n(n–1) (max
i qi
)2/2.
Далее будут рассмотрены классы систем, для которых существуют
более удобные методы расчета, не сводящиеся к прямому перебору
состояний.
Системы с аддитивным выходным эффектом
Пусть система состоит из нескольких подсистем G1,…,Gk (которые,
вообще говоря, могут пересекаться, т.е. иметь общие элементы), выходной
эффект всей системы представляет собой сумму значений выходного
эффекта подсистем, а каждая подсистема является изделием вида I.
Обозначим через wj «вес» j-й подсистемы, т.е. долю, вносимую ей в общую
номинальную эффективность E0: wj = E
0 j /E0
, где E
– номинальная
0 j
эффективность j-й подсистемы (E0 =
). Тогда, обозначая через φi(x)
j E0 j
структурную функцию j-й подсистемы, получим
φ(x) = j w
j φj
(x),
откуда
Kэф = j wj Pj, (10.5)
где Pj – вероятность работоспособности j-й подсистемы.
Рассмотрим два частных случая систем с аддитивным выходным
эффектом.
Типичной для многих технических систем, к числу которых относятся
многие управляющие, информационные, вычислительные и другие системы,
является иерархическая ветвящаяся структура (рис. 10.1). В таких системах
элементы самого нижнего уровня называют обычно исполнительными. Пусть
каждый нормально функционирующий исполнительный элемент вносит свой
вклад в общий выходной эффект системы. При этом такой элемент считается
нормально функционирующим, если работоспособен как он сам, так и вся
цепочка элементов верхних уровней, которым он подчинен.
49
Рис. 10.1. Система с иерархической ветвящейся структурой
1 k
G1
Gk
Для подобных систем можно применить формулу (10.5), в которой
Gj – подсистема, состоящая из j-го исполнительного элемента и всех
вышестоящих элементов, которым он подчинен (рис. 10.1); wj – вклад j-го
исполнительного элемента.
Рассмотрим теперь сеть связи. В качестве ее подсистем выделим
подмножества элементов, обеспечивающих связь между различными парами
корреспондирующих узлов. Обозначим через Pij вероятность возможности
связи между узлами i и j (для упрощения предполагается, что связь или
существует, или нет), а через wij – долю трафика между парой узлов i и j в
общей величине трафика в сети. Тогда
Kэф =
i≠j wij Pij
.
В зависимости от ситуации трафик может оцениваться по-разному: временем
занятия, числом типовых каналов, объемом передаваемой информации и т.п.
Мультимодальные системы
Мультимодальной называется система, которая может
функционировать (решать стоящую перед ней задачу) несколькими
способами, причем каждый раз выбирается тот из возможных в данном
состоянии способов, который дает максимальный эффект. Пусть имеется m
способов функционирования и vl – значение выходного эффекта при l–м
способе. Считаем, что способы упорядочены по убыванию их
эффективности: v1 v2 … vm. Тогда
Kэф = l vl Hl, (10.6)
где Hl – вероятность реализации l-го способа.
Обозначим через Gl подсистему, обеспечивающую l-й способ
функционирования. Для простоты так же обозначим и событие, состоящее в
ее работоспособности, а событие ее неработоспособности – Gl. Система
50
решает задачу l–м способом, если подсистема Gl работоспособна, а все
1
1
)1(
l
j
jll
PPH
подсистемы с меньшими номерами – нет.
Поэтому Hl = P(G1…G
). Для расчета этих вероятностей надо
l-1Gl
сначала выразить события Gk и Gl через индикаторы работоспособности
элементов xi, затем аналогично тому, как это описано применительно к
формуле (8.3), привести соответствующие логические выражения к
бесповторной форме, используя правила поглощения (8.4)–(8.6), и, наконец,
подставить в них вероятности работоспособности элементов.
В двух частных случаях можно записать простые явные формулы для
вычисления вероятностей Hl.
1. Каждый элемент может входить в состав только одной подсистемы,
т.е. подсистемы попарно не пересекаются. В этом случае
H1 = P1,
(l > 1),
где Pj – вероятность работоспособности j-й подсистемы.
2. Подсистемы «вкладываются друг в друга», т.е. для выполнения
задачи первым способом требуется работоспособность всех элементов,
вторым способом – не все элементы, а лишь их часть, третьим способом –
еще меньше элементов и т.д.: G1 G2 … Gm. Тогда
H1 = P1, Hl = Pl – P
(l > 1).
l–1
Контрольные вопросы и задания
1. В чем смысл использования коэффициента сохранения
эффективности?
2. Почему функция эффективности является обобщением структурной
функции?
3. Выходной эффект непрерывного работающего восстанавливаемого
ИКН вида I пропорционален суммарному времени безотказной работы. К
какому показателю надежности в этом случае сведется Kэф?
4. Выведите формулы (10.3) и (10.4) из (10.2).
5. Рассчитайте Kэф иерархической ветвящейся системы, имеющей три
уровня и коэффициент ветвления 3. Иными словами, на первом уровне
имеется один элемент, на втором – три, каждому элементу второго уровня
подчинено по три элемента третьего уровня (исполнительных). Вклады всех
исполнительных элементов в общий выходной эффект одинаковы.
Коэффициент готовности элемента первого уровня 0,9995, второго – 0,999,
третьего – 0,997.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]