Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности. Учебное пособие-2
.pdf
21
гамма-процентный срок службы (обозначается Т
Возможные последствия перехода
в предельное состояние
Основной процесс,
определяющий переход
в предельное состояние
Показатели
Переход в предельное состояние
при применении по назначению
может привести к
катастрофическим последствиям
Изнашивание
Т
р γ сп
и/или Т
р γ к.р
Старение
Т
сл ср. сп
и/или Т
сл ср. к.р
Изнашивание и
старение одновременно
Т
р γ сп
и/или Т
р γ к.р
Т
сл γ сп
и/или Т
сл γ к.р
Переход в предельное состояние
при применении по назначению не
ведет к катастрофическим
последствиям
Изнашивание
Т
р ср. сп
и/или Т
р ср. к.р
Старение
Т
сл ср. сп
и/или Т
сл ср. к.р
Изнашивание и
старение одновременно
Т
р ср. сп
и/или Т
р ср. к.р
Т
сл ср. сп
и/или Т
сл ср. к.р
) – календарная
сл γ
продолжительность эксплуатации, в течение которой объект не достигнет
предельного состояния с вероятностью γ, выраженной в процентах.
Различают ресурс и срок службы до списания или до капитального
ремонта (если таковой предусмотрен), обозначаемые индексами «сп» и «к.р»
соответственно.
Порядок применения этих показателей указан в табл. 4.2. При этом
выделяют два процесса, определяющих переход в предельное состояние:
изнашивание, происходящее только во время работы, и старение, идущее с
течением календарного времени.
Таблица 4.2. Выбор номенклатуры показателей долговечности
Выбор показателей безотказности, ремонтопригодности и
комплексных показателей
Для нормирования безотказности невосстанавливаемых изделий
задается:
средняя наработка до отказа Т
или для простых высоконадежных ИОН – интенсивность отказов λ,
или для ответственных ИОН – гамма-процентная наработка до отказа
Т
,
γ
или для ответственных ИКН – вероятность безотказной работы в
течение требуемого времени P(t
Для восстанавливаемых изделий, как правило, задается комплексный
показатель надежности или определяющий его набор единичных показателей
безотказности и ремонтопригодности, причем первый вариант задания
является предпочтительным. В дополнение к комплексному показателю
может быть задан один из определяющих его показателей безотказности или
ремонтопригодности. Не допускается одновременное задание комплексного
показателя и всех определяющих его единичных показателей.
В частности, для восстанавливаемых изделий непрерывного действия
выходной эффект от применения которых пропорционален суммарной
б.р
).
ср.
,
22
продолжительности пребывания в работоспособном состоянии, основным
00
*
)()()()( dttwtPtdWtPP
показателем является Kг. Возможны следующие сочетания задаваемых
показателей: Kг и То или Kг и Тв, или То и Тв. Недопустимое сочетание: Kг,
Т
и Тв.
о
Сочетание Kг и Тв также нежелательно, так как при этом возможна
компенсация длительного периода неработоспособности несколькими
короткими.
Специальные показатели надежности
Для ИКН могут использоваться и другие показатели, отражающие
специфику их работы.
Например, пусть время выполнения задания является не постоянной
величиной t
, как это рассматривалось ранее, а случайной величиной θ.
б.р
Тогда в качестве показателя надежности может использоваться вероятность
безотказной работы в течение случайного времени выполнения задания.
Если случайная длительность θ имеет функцию распределения
W(t) = P{θ < t} и плотность w(t) = W (t), то указанная вероятность будет
равна
.
В частности, если P(t) = e
–λt
и W(t) = 1 – e
–αt
, то интеграл берется в явном виде
и P* = /(+λ).
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры ИКН и ИОН.
2. Приведите примеры объектов, отказы или переход в предельное
состояние которых может привести к катастрофическим последствиям.
3. В каких случаях используются средние, а в каких – гамма-
процентные показатели?
4. В каких случаях используются показатели долговечности,
относящиеся к ресурсу, а в каких – к сроку службы?
5. Почему при нормировании надежности не допускается
одновременное задание Kг, То и Тв?
5. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ. ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
Общая постановка
Рассматривается система, состоящая из n элементов, каждый из
которых может быть работоспособным или неработоспособным. Состояния
различных элементов, если не оговорено иное, предполагаются не
зависимыми друг от друга. Состояние всей системы описывается n-мерным
23
бинарным вектором x = (x1,…,xn), i-я компонента которого характеризует
1)( :
)()()(
xxx
xxx
pp
состояние i-го элемента:
1, если i–й элемент работоспособен;
xi = (5.1)
0, если i–й элемент неработоспособен.
Система в целом также может быть работоспособна или
неработоспособна, что описывается структурной функцией
1, если в состоянии x система работоспособна;
φ(x) = (5.2)
0, если в состоянии x система неработоспособна.
Предполагается, что структурная функция обладает следующими
естественными свойствами:
1) φ(0,…,0) = 0;
2) φ(1,…,1) = 1;
3) если i xi yi, то φ(x) φ(y) (монотонность).
Первые два из них означают, что при неработоспособности
(работоспособности) всех элементов система будет неработоспособна
(работоспособна). Монотонность означает, что отказ (восстановление)
любого элемента не может улучшить (ухудшить) состояние системы.
Индикаторы состояний элементов xi бывает удобно трактовать двумя
способами: как логические (булевы) переменные, принимающие значения
«истина» (1) и «ложь» (0), над которыми возможны логические (булевы)
операции, и просто как числа 1 и 0, над которыми возможны арифметические
операции (сложение, вычитание, умножение). При этом полезны формулы
преобразования логических (булевских) операций (конъюнкции, дизъюнкции
и отрицания) в арифметические:
ab = ab, ab = 1 – (1–a)(1–b) = a+b–ab, a = a = 1–a.
Для всех элементов заданы вероятности их работоспособности
pi = P{xi = 1}. Для невосстанавливаемых элементов это может быть
вероятность безотказной работы на заданном интервале времени Pi(t); для
восстанавливаемых – нестационарный коэффициент готовности в
рассматриваемый момент времени Kгi(t), или, что используется гораздо чаще,
стационарный коэффициент готовности Kгi.
Требуется определить вероятность работоспособности системы
P = P{φ(x) = 1}. Заметим, что эта вероятность равна математическому
ожиданию φ(x). В самом деле,
M[φ(x)] = 1∙P{φ(x) = 1} + 0∙P{φ(x) = 0} = P.
Аналогично, pi = Mxi.
Поэтому,
P = M[φ(x)] =
, (5.3)
24
где p(x) – вероятность нахождения системы в состоянии x, вычисляемая по
n
i
x
i
x
i
ii
ppp
1
1
)1()(x
формуле
.
Основная трудность вычислений по этим формулам состоит в
необходимости перебора огромного числа состояний, поскольку общее число
состояний системы из n элементов 2n стремительно растет с увеличением n.
Далее будут рассмотрены некоторые важные для практики классы
систем, для которых существуют более простые методы расчета показателей
надежности.
Последовательные системы
Последовательной называется система, которая работоспособна тогда и
только тогда, когда работоспособны все ее элементы. Эквивалентное
определение: последовательной называется система, отказ любого элемента
которой приводит к отказу всей системы.
Графическое изображение последовательной системы представлено на
рис. 5.1. Несмотря на схожесть изображения, соединение элементов в смысле
надежности следует отличать от их физического (электрического)
соединения. Например, параллельно соединенные конденсаторы с точки
зрения надежности могут рассматриваться как последовательная система, так
как при пробое одного конденсатора перестает работать вся схема.
Структурная функция последовательной системы может быть
выражена различными способами:
φ(x) = /\ xi = xi = min xi (во всех операциях i = 1,…,n).
Для вероятности работоспособности системы на основании теоремы
умножения вероятностей получим:
P = P{φ(x) = 1} = P{/\(xi = 1)} = P{xi = 1} = pi. (5.4)
Этот же результат можно получить, используя свойства математического
ожидания:
P = M[φ(x)] = M( xi) = Mxi = pi.
Пусть qi = 1 – pi << 1. Тогда для Q = 1 – P получим:
Q = 1 – (1–qi) = 1 – (1 – qi + qiqj –…) qi. (5.5)
Наработка до отказа последовательной системы с
невосстанавливаемыми элементами
= min{i : i = 1,…,n},
где i – наработка до отказа i-го элемента.
Пусть известны интенсивности отказов элементов λi(t). Обозначим
через λ(t) интенсивность отказов системы. Тогда для любого t
25
t
ii
zztP
0
)d(λexp)(
t
zztP
0
)dλ(exp)(
С другой стороны,
i
t
i
i
i
t
i
t
i
i
i
zzzzzztPtP
000
)d(λexp)d(λexp)d(λexp)()(
k
j
jj
n
1
λλ
00
)()(
i
i
dttPdttPT
Поэтому
,
.
.
λ(t) =
i λi
(t).
В частности, если все элементы имеют постоянные интенсивности отказов λi,
то и система имеет постоянную интенсивность отказов, равную
λ = i λi. (5.6)
Нередко в большой системе можно выделить группы элементов,
имеющих одинаковую интенсивность отказов. В этом случае оказывается
полезным следующее преобразование формулы (5.6). Пусть k – число групп
элементов, nj – число элементов в j-й группе (n1 +…+ nk = n), λj –
интенсивность отказов каждого из элементов j–й группы. Тогда
.
Для расчета средней наработки до отказа в общем случае можно
использовать формулу (2.2)
.
В случае экспоненциальных распределений наработки до отказа элементов со
средними Ti = λ
–1
из (5.6) получим:
i
T = λ–1 = (i λi)–1 = (i T
–1)–1
. (5.7)
i
Для систем с восстанавливаемыми элементами из (5.4) и (5.5) вытекают
следующие формулы для расчета коэффициентов готовности и простоя
системы, исходя из этих показателей для элементов:
Kг = K
, Kп K
г i
(i = 1,…,n). (5.8)
п i
В случае, когда распределения наработки между отказами элементов
являются экспоненциальными с параметрами λi, это же справедливо и для
системы, а для значений ее параметра и средней наработки на отказ имеют
место формулы, аналогичные (5.6) и (5.7):
λ = i λi, Tо = λ–1 = (i T
о i
–1)–1
. (5.9)
Среднее время восстановления системы может быть выражено через
значения ее Kг и Tо: Tв = Tо(K
–1
–1). Выражая Kг и Tо по формулам (5.8) и
г
26
(5.9) и подставляя K
t
n
ji
t
i
t
i
t
n
ji
ii
eeeetP
)(
1
)(
1
)1()1(1)(
.
.
.
1
n
1
n
…
представлено в виде
= (1 + λiT
г i
)–1, получим, что Tв может быть
в i
Tв = ( i λi)
Последнее приближение справедливо при условии T
–1
[ i (1 + λiT
) – 1] i (λi / j λj) T
в i
в i
.
<< T
в i
, оно
о i
пренебрегает возможностью совпадения периодов неработоспособности
разных элементов.
Рис. 5.1. Последовательная система Рис. 5.2. Параллельная система
Параллельные системы
Параллельной называется система, которая работоспособна тогда и
только тогда, когда работоспособен хотя бы один из ее элементов.
Эквивалентное определение: параллельной называется система, отказ
которой наступает при отказе всех ее элементов.
Графическое изображение параллельной системы представлено на
рис. 5.2. И в этом случае параллельное соединение в смысле надежности
следует отличать от физического (электрического) соединения. Так,
последовательное соединение резисторов является параллельным
соединением в смысле надежности по отношению к отказам типа «короткое
замыкание» (если сопротивление цепочки меняется в допустимых пределах).
Структурная функция параллельной системы может быть выражена
различными способами:
φ(x) = \/ xi = max xi = 1 – (1–xi) = 1 – xi′ (во всех операциях i = 1,…,n).
Отсюда
P = 1 – qi = 1 – (1–pi). (5.10)
Наработка до отказа параллельной системы с невосстанавливаемыми
элементами
= max{i : i = 1,…,n}.
Если все элементы имеют экспоненциальное распределение наработки
до отказа, то
.
Интегрируя это выражение по t от 0 до , получим среднюю наработку
системы до отказа:
27
n
n
ji
ji
i
i
T
λλ
1
)1(
λλ
1
λ
1
1
1
.
1
3 2 4 5 6
7
В случае равнонадежных элементов со средней наработкой до отказа Te = 1/λi
T = (1 + 1/2 + …+ 1/n)Te.
Приводимые системы
Приводимой называется система, структура которой может быть
представлена в виде комбинаций последовательных и параллельных
соединений. Пример такой системы дан на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Пример приводимой системы
Расчет ее вероятности работоспособности производится следующим
образом:
1) параллельная группа элементов 1, 2 и 3 заменяется элементом 123 с
вероятностью работоспособности p
= 1 – (1–p1)(1–p2)(1–p3);
123
2) последовательные группы 4, 5 и 6, 7 заменятся элементами 45 и 67 с
вероятностями работоспособности p45 = p4p5 и p67 = p6p7;
3) параллельная группа 45, 67 заменяется элементом 4567 с
вероятностью работоспособности p
= 1 – (1–p45)(1–p67);
4567
4) система свелась к последовательному соединению элементов 123 и
4567, поэтому для итоговой вероятности имеем
P = p
123p4567
= [1 – (1–p1)(1–p2)(1–p3)][1 – (1–p4p5)(1–p6p7)].
Аналогичным образом может быть рассчитана надежность
произвольной приводимой системы. При этом в структуре системы
выделяются группы последовательно или параллельно соединенных
элементов, каждая из которых заменяется одним эквивалентным элементом,
и подобные упрощения проводятся до тех пор, пока вся система не будет
приведена к одному элементу.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем содержательный смысл монотонности структурной функции?
2. Всегда ли последовательные и параллельные соединения с точки
зрения электротехники будут такими же с точки зрения теории надежности?
3. Как изменяется надежность последовательных и параллельных
систем с увеличением числа их элементов?
28
4. При каком наименьшем числе элементов средняя наработка на отказ
X
Y
X
Y
параллельной системы из одинаковых элементов будет более чем вдвое
превосходить среднюю наработку на отказ одного элемента?
5. Приведите несколько примеров структуры приводимых систем.
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С ЗАВИСИМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ. СИСТЕМЫ “k ИЗ n”
Последовательные и параллельные системы с зависимыми
элементами
Сделанное выше предположение о независимости состояний элементов
системы не всегда выполняется на практике. В теории вероятностей в
качестве меры зависимости двух случайных величин X и Y вводится их
ковариация, определяемая следующим образом:
cov(X,Y) = M[(X – MX)(Y – MX)]. (6.1)
Через нее выражается часто используемый коэффициент корреляции
ρ(X,Y) = cov(X,Y)/√¯(DX·DY),
представляющий собой, по существу, нормированную ковариацию, так как
|ρ(X,Y)| 1. Поскольку квадратный корень положителен, знаки cov(X,Y) и
ρ(X,Y) совпадают.
Для независимых случайных величин ρ(X,Y) = 0. Когда ρ(X,Y) >(<) 0,
случайные величины называют положительно (отрицательно)
коррелированными. Характер поведения таких величин показан на рис. 6.1. В
случае ρ(X,Y) 0 случайные величины называют неотрицательно
коррелированными или связанными.
а б
Рис. 6.1. Положительная (а) и отрицательная (б) корреляция случайных величин
Из (6.1) вытекает, что
M(XY) = MX·MY + cov(X,Y), (6.2)
29
откуда видно, что для связанных случайных величин M(XY) MX·MY.
Можно показать, что подобное же неравенство справедливо не только для
двух, но и для нескольких сомножителей.
На практике состояния некоторых элементов системы часто бывают
положительно коррелированными. Это обусловлено тем, что они
подвержены действию одних и тех же факторов внешней среды
(температуры, влажности, давления, вибрации и т.д.), обслуживаются тем же
персоналом и т.п. Кроме того, отказ какого-то одного элемента может
вызвать увеличение нагрузки на другие элементы, что ведет к возрастанию
вероятности их отказов. Поэтому в подобных ситуациях ρ(xi,xj) 0.
В этом случае для последовательной системы получим:
P = M[φ(x)] = M( xi) Mxi = pi, (6.3)
т.е. вероятность работоспособности последовательной системы из
неотрицательно коррелированных элементов будет не меньше, чем эта же
вероятность, вычисленная в предположении о независимости элементов.
Пусть xi = 1 – xi. Тогда cov(xi,xj) = cov(xi,xj), поскольку xi – Mxi = –
(xi – Mxi). Поэтому, если ρ(xi,xj) 0, то и ρ(xi,xj) 0.
Для параллельной системы получим:
P = M(1 – xi) = 1 – M( xi) 1 – Mxi = 1 – (1–pi), (6.4)
т.е. вероятность работоспособности параллельной системы из
неотрицательно коррелированных элементов будет не больше, чем эта же
вероятность, вычисленная в предположении о независимости элементов.
Поскольку в соответствии с формулой (2.2) средняя наработка до
отказа T выражается через интеграл от вероятности безотказной работы P(t),
подобные же неравенства имеют место и для T.
Таким образом, рассчитывая надежность системы из неотрицательно
коррелированных элементов так, как если бы ее элементы были независимы,
мы получим пессимистическую (заниженную) оценку надежности для
последовательной системы и оптимистическую (завышенную) для
параллельной.
В общем случае, т.е. для систем, не являющихся ни
последовательными, ни параллельными, игнорирование зависимости
элементов может привести к ошибке как в ту, так и в другую сторону.
Системы “k из n”
Система “k из n” – это система из n элементов, которая работоспособна
тогда и только тогда, когда в ней работоспособны не менее k элементов
(1 ≤ k ≤ n).
Из определения вытекает, что для такой системы
1, если x1+…+xn k;
φ(x) = (6.5)
0, если x1+…+xn < k.
30
Последовательная и параллельная системы являются частными
n
kj
jnjj
n
ppCP )1(
случаями систем “k из n”: “n из n” и “1 из n” соответственно.
Если все элементы системы “k из n” равнонадежны, что часто бывает
на практике, т.е. i pi = p, то вероятность работоспособности системы
выражается формулой
, (6.6)
где C
j
= n!/j!(n–j)! – число сочетаний из n элементов по j.
n
Если длительности безотказной работы всех элементов имеют
экспоненциальное распределение с одинаковым средним Te, то средняя
наработка системы до отказа
T = (1/k +…+ 1/n)Te
(доказательство аналогично случаю параллельной системы).
На практике часто используются системы “2 из 3”. Для них
структурная функция имеет вид
φ(x) = x1x2 x1x3 x2x3 = x1x2 + x1x3 + x2x3 – 2x1x2x3,
откуда
P = p1p2 + p1p3 + p2p3 – 2p1p2p3.
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры положительно и отрицательно
коррелированных случайных величин.
2. Имеется несколько партий однотипных элементов. По своим
характеристикам надежности элементы внутри одной и той же партии
положительно коррелированны. Каким образом укомплектовывать системы в
зависимости от структуры, чтобы в среднем надежность систем была выше:
элементами из одной и той же партии или же элементами из разных партий?
3. Как меняется надежность системы “k из n” с увеличением числа k?
4. Выведите формулы для структурной функции и вероятности
работоспособности системы "2 из 4".
5. Выведите формулу (6.6) из (6.5).
7. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ. НАДЕЖНОСТЬ ДУБЛИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ
Основные понятия
Рассмотренные выше системы “k из n” при k < n, в частности,
параллельные системы, содержат большее число элементов, чем это
минимально необходимо для выполнения функций. Это делается для
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]