Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности. Учебное пособие-2
.pdf
11
проработавший безотказно до момента времени t, откажет в последующую
)(
)(
)(1
)(
)(1
)(
Δ
)()Δ(
lim
)(1
1
)(λ
0
tP
tP
tF
tf
tF
tF
t
tFttF
tF
t
t
)(Δ
)Δ()(
)(λ
ˆ
ttN
ttNtN
t
t
zztP
0
)dλ(exp)(
единицу времени. Размерность интенсивности отказов [единица наработки]–1.
Формальное определение: интенсивность отказов – условная плотность
вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что
до рассматриваемого момента времени отказ не возник.
В соответствии с этим определением для расчета λ(t) надо взять
вероятность отказа на интервале от t до t+Δt при условии, что до момента t
отказ не возник, разделить эту вероятность на Δt, после чего устремить Δt к
нулю. Для указанной условной вероятности имеем:
P{t<<t+Δt | t} = P{t<<t+Δt}/ P{t} = [F(t+Δt)–F(t)]/[1– F(t)].
Деля это выражение на ∆t и переходя к пределу, получим:
. (2.4)
Статистическая оценка интенсивности отказов задается выражением
.
В самом деле, –P(t) [P(t)–P(t+Δt)]/Δt, а оценка P(t) дается выражением
(2.1).
Решая (2.4) как дифференциальное уравнение относительно P(t) с
учетом начального условия P(0) = 1, получим выражение вероятности
безотказной работы через интенсивность отказов:
. (2.5)
Вообще, любая из четырех функций F(t), f(t), P(t) и λ(t) полностью
определяет распределение наработки до отказа, и остальные три функции
могут быть выражены через нее.
Типичная картина зависимости λ(t) от времени, характерная для многих
технических объектов, показана на рис. 2.1. Из графика видно, что весь
интервал времени можно разбить на три периода: приработки (1),
нормальной работы (2) и старения (3).
Период приработки обладает повышенной интенсивностью отказов.
Это связано с тем, что объекты могут иметь скрытые дефекты, влекущие
отказы вскоре после начала работы. Кроме того, обслуживающий персонал
может еще не вполне освоить новый объект, что также приводит к более
частым отказам. По мере устранения указанных причин λ(t) убывает.
Период нормальной работы характеризуется постоянным (или
приближенно постоянным) значением λ(t).
Наконец, в период старения необратимые явления (механические,
физические, химические) приводят к ухудшению объекта, что влечет
возрастание λ(t).
12
0
t
λ(t)
1 2 3
Рис. 2.1. Типичная зависимость интенсивности отказов от времени
Если на изделие устанавливается гарантийный срок, в течение которого
изготовитель или продавец осуществляет бесплатный ремонт или замену
изделия в случае его отказа, желательно, чтобы этот срок охватывал весь
период приработки.
Для объектов ответственного назначения, отказ которых может
привести к угрозе для жизни и здоровья людей, значительным
экономическим потерям и т.п., наступление периода старения зачастую
рассматривается как критерий предельного состояния.
Экспоненциальное распределение
На практике стремятся к тому, чтобы использование объекта по
назначению приходилось на период нормальной работы. С этой целью
организуют контроль, отсеивающий дефектные элементы, проводят
предварительные тренировки, проверочные испытания. С другой стороны,
обычно стараются вывести объект из эксплуатации раньше, чем наступит его
заметное старение. Поэтому для широкого класса объектов интенсивность
отказов можно считать постоянной.
Принимая λ(t) = λ = const, из (2.5) получим
–λt
,
, f(t) = λe
–λt
. Это – экспоненциальное
откуда вытекает, что F(t) = 1 – e
P(t) = e
–λt
(показательное) распределение.
Математическое ожидание случайной величины, имеющей
экспоненциальное распределение, есть величина, обратная λ:
T = 1/λ.
Если интересующее нас время много меньше средней наработки до
отказа, t<<T, т.е. λt<<1, можно пользоваться простой приближенной
формулой, которая вытекает из разложения экспоненты в степенной ряд:
P(t) 1 – t/T = 1 – λt.
13
Погрешность при этом не превосходит (t/T)2/2, причем точное значение
всегда будет больше приближенного.
Вероятность безотказной работы в течение малого интервала времени
Δt может быть представлена в виде
P(Δt) = 1 – λΔt + o(Δt),
где o(Δt) обозначает члены более высокого порядка малости, чем Δt (o
читается «о малое»). Вероятность отказа за время Δt будет равна λΔt + o(Δt).
Экспоненциальное распределение широко используется в теории
надежности. С одной стороны, это обусловлено приведенными выше
соображениями о постоянстве интенсивности отказов. С другой стороны, в
этом случае многие расчетные формулы существенно упрощаются. Основная
причина этого обусловлена наличием у экспоненциального распределения
характеристического свойства отсутствия памяти (последействия):
вероятность безотказной работы на интервале (s, s+t) не зависит от времени
предшествующей работы s, а зависит только от длины интервала t. Иными
словами, если объект в данный момент работоспособен, то его будущее
поведение не зависит от прошлого. Действительно, вероятность безотказной
работы объекта на интервале (s, s+t) при условии его безотказной работы до
этого момента равна
P{s+t | s} = P{s+t}/ P{s} = e
–λ(s+t)/e–λs
= e
–λt
= P(t).
Данное свойство позволяет использовать для описания поведения
рассматриваемых объектов марковские случайные процессы, являющиеся
процессами без последействия.
Контрольные вопросы и задания
1. Являются ли функции F(t) и P(t) возрастающими, убывающими?
2. При испытаниях 10 элементов питания получены следующие
значения наработки до отказа (в часах): 44, 89, 95, 56, 39, 78, 64, 81, 70, 59.
Рассчитать оценки следующих показателей надежности: T, P(48 ч), T
90%
.
3. Какими причинами обусловлена повышенная интенсивность
отказов в периоды приработки и старения?
4. Чему равны интенсивность отказов и вероятность безотказной
работы за 24 ч, если наработка до отказа имеет экспоненциальное
распределение со средним 2000 ч?
5. Выведете формулу для интенсивности отказов для распределения
Вейбулла: F(t) = 1 – exp(–ctα). Исследуйте характер ее поведения
(возрастание, убывание, постоянство) в зависимости от параметра α.
14
3. НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ОБЪЕКТА
x
t
t
dtex
Tt
Ttt
2/
2/3
2
π2
1
σ
/)(ν
lim P
Объект с мгновенным восстановлением
Рассмотрим вначале восстанавливаемый объект с мгновенным
восстановлением. Конечно, реальное время восстановления всегда больше
нуля, однако, если оно гораздо меньше периодов безотказной работы, такое
приближение может быть оправдано.
Пусть 1 – наработка до первого отказа, 2 – наработка между первым и
вторым отказами и т.д. Считаем, что эти случайные величины независимы
между собой, и все они имеют одно и тоже распределение F(t) = P{i<t}.
Основной характеристикой в этой модели является число отказов за
время t. Для получения распределения этой случайной величины,
обозначаемой далее ν(t), используется тот факт, что
P{ν(t) n} = P{1 +…+ n < t} (рис. 3.1). Однако в общем случае для
нахождения распределения ν(t) получаются сложные выражения.
1 2 n
··· |>
n+1
t
Рис. 3.1. Поведение объекта с мгновенным восстановлением
Если распределение F(t) является экспоненциальным, т.е. F(t) = 1 – e
–λt
,
то ν(t) имеет пуассоновское распределение:
P{ν(t) = n} = e
–λt
(λt)n/n!.
В общем случае для практических оценок числа отказов на большом
интервале времени можно использовать тот факт, что величина ν(t)
асимптотически нормальна при t, причем Mν(t) t/T и Dν(t) σ2t/T 3,
где T = Mi и σ2 = Di. Это означает, что
= Φ(x),
где Φ(x) обозначает функцию стандартного нормального (гауссова)
распределения, имеющего математическое ожидание 0 и дисперсию 1.
Рассмотрим пример применения этой формулы. Пусть некоторый
элемент имеет T = 100 ч, σ =60 ч, и требуется с достоверностью 0,95 оценить
число запасных элементов, необходимое для работы в течение времени
t = 8000 ч.
По таблице квантилей нормального распределения найдем квантиль
уровня 0,95, т.е. число u
Получим u
= 1,65. Тогда с вероятностью 0,95 выполняется неравенство
0,95
ν(t) < t/T + u
, удовлетворяющее условию Φ(u
0,95
1/2/T 3/2
0,95
σt
89,
) = 0,95.
0,95
т.е. нужно иметь 89 элементов.
15
Объект с конечным временем восстановления
0
1
Рис. 3.3. Диаграмма состояний и
переходов восстанавливаемого объекта
Kг(t)
Kг
t
1
Рис. 3.4. Нестационарный и стационарный
коэффициенты готовности
Поведение объекта с конечным (ненулевым) временем восстановления
схематично показано на рис. 3.2. На нем сплошная линия обозначает
периоды работоспособности, штриховая – периоды неработоспособности;
крестик – отказ, кружочек – окончание восстановления; 1 – наработка до
первого отказа; 2 – наработка между первым и вторым отказами и т.д.; 1 –
время восстановления после первого отказа; 2 – время восстановления после
второго отказа и т.д.
׀––––––––––------–––––––––----––––––------––––––> t
0 1 1
Рис. 3.2. Поведение восстанавливаемого объекта
2
2
3
3 4
Считаем, что все указанные случайные величины независимы между
собой; все i имеют одно и то же распределение F(t) = P{i<t}; все i имеют
одно и то же распределение G(t) = P{i<t}.
Математическое ожидание То = Mi, – средняя наработка на отказ –
показатель безотказности восстанавливаемых объектов.
Математическое ожидание Тв = Mi, – среднее время восстановления
– показатель ремонтопригодности.
Оба этих показателя широко используются на практике.
Статистические оценки То и Тв могут быть получены аналогично (2.3).
Готовность и ее показатели
Вероятность того, что объект будет работоспособен в некоторый
момент времени t, называется нестационарным коэффициентом готовности и
обозначается Kг(t). Для его расчета предположим, что длительности
безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальные
распределения: F(t) = 1 – e
–λt
, G(t) = 1 – e
–μt
(λ = 1/То, μ = 1/Тв).
При этом поведение объекта описывается марковским процессом,
диаграмма состояний и переходов которого показана на рис. 3.3 (состояние
«1» – работоспособность, «0» – неработоспособность).
16
В момент времени t+Δt объект будет работоспособен, если в момент t
t
etK
μ)λ(
г
μλ
λ
μλ
μ
)(
во
о
г
ТТ
Т
K
он был работоспособен и за время Δt не возник отказ, либо если в момент t
он был неработоспособен, но за время Δt закончилось восстановление.
Выражая вероятности указанных событий, получим:
Kг(t+Δt) = Kг(t)[1 – (λΔt + o(Δt))] + [1 – Kг(t)](μΔt + o(Δt)),
откуда
Kг(t+Δt) – Kг(t) = –λKг(t)Δt + μ[1 – Kг(t)]Δt + o(Δt).
Деля последнее уравнение на Δt и переходя к пределу при Δt0,
получим:
Kг´(t) = –λKг(t) + μ[1 – Kг(t)] или Kг´(t) + (λ+μ)Kг(t) – μ = 0.
Решением этого дифференциального уравнения с учетом начального условия
Kг(0) = 1 (в начальный момент времени объект считается работоспособным)
является функция
.
При t Kг(t) стремится к пределу μ/(λ+μ), называемому
стационарным коэффициентом готовности и обозначаемому просто Kг
(рис. 3.4). Выразив λ и μ через То и Тв, получим:
. (3.1)
Можно доказать, что эта формула справедлива не только для
экспоненциальных, но для любых распределений длительностей безотказной
работы и восстановления.
На практике, как правило, используется именно стационарный
коэффициент готовности, при этом слово «стационарный» обычно
опускается. Он является важным комплексным показателем надежности,
характеризующим безотказность и ремонтопригодность.
Формальное определение: коэффициент готовности – вероятность
того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный
момент, кроме планируемых периодов, в течение которых применение
объекта по назначению не предусмотрено.
Дополнение коэффициента готовности до единицы – коэффициент
простоя:
Kп = 1 – Kг = Тв / (То + Тв).
Оба этих показателя зависят только от отношения ρ = Тв/То:
Kг = 1/(1+ρ), Kп = ρ/(1+ρ).
При ρ << 1 эти выражения можно разложить в ряд по степеням ρ:
Kг = 1 – ρ + ρ2/2 – …, Kп = ρ – ρ2 + … . В первом приближении
Kг 1 – ρ, Kп ρ.
17
Еще один показатель, характеризующий готовность, коэффициент
0
)](1[
1
во
t
dttF
TT
оперативной готовности – вероятность того, что объект окажется в
работоспособном состоянии в произвольный момент, кроме планируемых
периодов, в течение которых применение объекта по назначению не
предусмотрено, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в
течение заданного интервала времени.
В общем случае стационарный коэффициент оперативной готовности
рассчитывается по формуле
K
о.г
(t0) =
, (3.2)
где t0 – длительность заданного интервала времени. Если распределение F(t)
является экспоненциальным (и только в этом случае),
K
Введенные выше показатели (Kг, Kп, K
) = KгP(t0). (3.3)
о.г(t0
) характеризуют готовность –
о.г
свойство объекта быть в состоянии выполнять требуемую функцию при
заданных условиях в данный момент времени или в течение заданного
интервала времени при условии обеспечения необходимыми внешними
ресурсами.
Готовность (английский термин availability) является центральной
составляющей надежности в документах международных организаций по
стандартизации (ИСО, МЭК, МСЭ и др.). Понятие надежности в широком
смысле и соответствующий термин (dependability) появились в них только с
середины 1980-х годов. До этого надежность понималась в более узком
смысле только как безотказность (reliability).
В соответствии с Рекомендациями МСЭ-Т Е.800 надежность является
одним из основных факторов, влияющих на качество обслуживания на сетях
связи.
В соответствии с соглашениями между международными
организациями по стандартизации Международная электротехническая
комиссия (МЭК, англ. International Electrotechnical Commission, IEC), точнее,
ее технический комитет 56 ведет разработку общетехнических стандартов по
надежности. В частности, терминологии в области надежности посвящен
международный стандарт IEC 60050-191, являющийся главой 191
Международного электротехнического словаря. В действующей сейчас
редакции этого стандарта принято следующее определение: надежность
собирательный термин, используемый для описания свойства готовности и
влияющих на него свойств безотказности, ремонтопригодности и
обеспеченности технического обслуживания и ремонта (рис. 3.5).
18
Рис. 3.5. Составляющие надежности в международных документах
Надежность
Безотказность
Ремонто-
пригодность
Обеспеченность
технического
обслуживания и
ремонта
Готовность
Таким образом, в международных документах добавлена еще одна
составляющая надежности: обеспеченность технического обслуживания и
ремонта способность организации, осуществляющей техническое
обслуживание и ремонт, при заданных условиях по запросу обеспечивать
ресурсы, необходимые для технического обслуживания и ремонта объекта, в
соответствии с заданными правилами технического обслуживания и ремонта.
Это сделано для того, чтобы помимо ремонтопригодности, характеризующей
внутренние свойства собственно технического объекта, отразить
характеристики системы технического обслуживания и ремонта,
относящейся к этому объекту. Вообще, систему технического обслуживания
и ремонта в настоящее время часто рассматривают как неотъемлемую часть
объекта, который она обслуживает.
В ближайшее время будет принят новый международный
терминологический стандарт IEC 60050-192, в котором дается более общее
определение надежности: способность технического объекта
функционировать как и когда требуется.
При нормировании готовности помимо Kг и Kп нередко используется ее
задание в виде суммарного времени простоя за некоторый период времени
(месяц, год, 10 лет и т.п.). Формула пересчета очень проста: если t
п
–
суммарное время простоя и Tн – период наблюдения, то
t
= Kп Tн = (1 – Kг)Tн.
п
Например, коэффициент готовности 0,999 соответствует суммарному
простою 8,76 ч в год (1 год = 8760 ч).
Контрольные вопросы и задания
1. В чем разница между стационарным и нестационарным
коэффициентами готовности?
2. Что в большей степени повысит коэффициент готовности:
увеличение в несколько раз То или сокращение в то же число раз Тв?
3. В чем разница между коэффициентами готовности и оперативной
готовности?
4. Как будет меняться K
5. Чему равен K
о.г
(0)?
) при увеличении t0?
о.г(t0
19
6. Выведете формулу (3.3) из (3.2).
7. Какое среднее суммарное время простоя в год соответствует
Kг = 0,99999 («пять девяток»)?
4. ВЫБОР НОМЕНКЛАТУРЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
Порядок выбора номенклатуры показателей надежности
регламентирован ГОСТ 27.003–90 «Надежность в технике. Состав и общие
правила задания требований по надежности».
Классификация изделий и показателей надежности
Выбор номенклатуры показателей надежности осуществляется на
основе классификации изделий по ряду признаков, важнейшие из которых
указаны ниже.
По определенности назначения изделия подразделяются на:
изделия конкретного назначения (ИКН), имеющие один основной
вариант применения по назначению;
изделия общего назначения (ИОН), имеющие несколько вариантов
применения.
По числу возможных (учитываемых) состояний (по
работоспособности) изделия подразделяются на:
изделия вида I, которые в процессе эксплуатации могут находиться
в двух состояниях – работоспособном или неработоспособном;
изделия вида I I, которые, кроме указанных двух основных
состояний, могут находиться в некотором числе частично
неработоспособных состояний, в которые они переходят в результате
частичного отказа.
Показатели надежности для изделий вида I I здесь пока не
рассмотрены. Они будут введены далее в разделе 10.
По последствиям отказов или достижения предельного состояния
изделия подразделяются на:
изделия, отказы или переход в предельное состояние которых
приводят к последствиям катастрофического (критического) характера (к
угрозе для жизни и здоровья людей, значительным экономическим потерям и
т.п.);
изделия, отказы или переход в предельное состояние которых не
приводят к последствиям катастрофического (критического) характера (без
угрозы для жизни и здоровья людей, незначительным или «умеренным»
экономическим потерям и т.п.).
Показатели надежности, в свою очередь, подразделяются на:
технические показатели, которые характеризуют процессы отказов и
восстановлений. Например, То, Тв, λ;
20
оперативные показатели, которые характеризуют влияние этих
Возможные последствия достижения предельного состояния или отказа
при хранении и/или транспортировании
Показатель
Достижение предельного состояния или отказа при хранении и/или
транспортировании могут привести к катастрофическим последствиям
Т
с γ
Достижение предельного состояния или отказа при хранении и/или
транспортировании не ведут к катастрофическим последствиям
Т
с. ср.
P(t
хр.
) *
P(l
тр.
)
процессов на результат работы (выходной эффект) объекта. Например,
P(t
б.р
), K
о.г(t б.р
).
Применение оперативных показателей имеет смысл только для ИКН.
Действительно, пусть, например, сравнивается вероятность безотказной
работы двух изделий «а» и «б», причем Pа(t1) > Pб(t1), но Pа(t2) < Pб(t2). Не
зная требуемой длительности безотказной работы t
, нельзя отдать
б.р
предпочтение какому-то одному из изделий.
Показатели сохраняемости
Основными показателями сохраняемости являются:
средний срок сохраняемости (обозначается Т
) – математическое
с. ср.
ожидание срока сохраняемости;
гамма-процентный срок сохраняемости (обозначается Т
) – срок
с γ
сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью γ,
выраженной в процентах.
Кроме того, могут использоваться:
вероятность безотказного хранения P(t
t
;
хр.
вероятность безотказного транспортирования P(l
транспортирования l
тр.
) в течение срока хранения
хр.
) при дальности
тр.
Применение этих показателей представлено в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Выбор номенклатуры показателей сохраняемости
* Задают вместо Т
транспортирования l
в тех случаях, когда заданы срок хранения t
с. ср.
тр.
и дальность
хр.
Показатели долговечности
Основными показателями долговечности являются:
средний ресурс (обозначается Т
) – математическое ожидание
р. ср.
ресурса;
гамма-процентный ресурс (обозначается Т
) – суммарная наработка,
р γ
в течение которой объект не достигнет предельного состояния с
вероятностью γ, выраженной в процентах;
средний срок службы (обозначается Т
) – математическое
сл. ср.
ожидание срока службы;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]