Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей и математической статистики
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АДМИРАЛА Ф.Ф.УШАКОВА»
ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА ИМЕНИ Г.Я.СЕДОВА
Чайкина И.А.
Основы теории вероятностей и
математической статистики
Ростов – на – Дону
2016
Допущено кафедрой «Математика, естественнонаучные и
общепрофессиональные дисциплины» в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности
180500 «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение
судоходства»
Протокол № 9 от «26» мая 2016 г.
Рецензент: профессор, д.п.н. Н.П. Петрова ФГАОУ ВПО «Южный федеральный
университет»
Чайкина И.А.
Основы теории вероятностей и математической статистики.. - Ростов н/Д: Институт
водного транспорта имени Г.Я. Седова, 2016. - 54 с.
Учебное пособие представляет собой краткую систематизацию материалов по
разделу курса. Предназначено для подготовки студентов технических вузов ко всем видам
занятий, обучающихся по направлению подготовки 180500 «Управление водным
транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства»,080100 «Экономика».
Книга может быть полезна для широкого круга читателей, желающих ознакомиться
с основными идеями и методами современной математики.
© Институт водного транспорта имени Г.Я. Седова, 2016
© И.А. Чайкина, 2016
Основы теории вероятностей и математической статистики.
i
i
1
2
21
,
1
2
3
4
5
6
654321
,,,,,
642
,,
A
Вероятность. Опыт и событие.
Одним из основных понятий теории вероятностей является опыт. Под
опытом понимается выполнение комплекса условий, в результате которого
происходят или не происходят определенные события (факты).
Простейшие неразложимые результаты опыта называются
элементарными событиями (исходами) (
), а вся совокупность
элементарных событий называется пространством элементарных событий
. С каждым опытом связано свое пространство элементарных событий
.
ПРИМЕР 1. Брошена монета. Найти пространство элементарных
событий.
Решение. Выделим возможные элементарные исходы: «выпал герб» —
, «выпала решка» —
. Пространство элементарных событий
.
ПРИМЕР 2. Найти пространство элементарных событий, если
игральная кость подбрасывается один раз.
Решение. Выделим возможные элементарные события:
– появление
1,
— появление 2,
— появление 3,
– появление 4,
— появление 5,
— появление 6. Пространство элементарных событий
.
Любое конечное или счетное подмножество называется событием.
Различают три типа событий:
1. достоверные ;
2. случайные;
3. невозможные ( или ).
События обычно обозначают первыми прописными буквами латинского
алфавита: А, В, С,... . Например, в примере 2 событие
появление четного числа очков при подбрасывании игральной кости.
3
—
Любое событие назовем случайным, если при осуществлении
n
AA ,...,
1
n
AAA ,...,
21
определенной совокупности условий Е оно может либо произойти, либо не
произойти. В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить: «совокупность
условий Е осуществлена», будем говорить кратко: «произведен опыт». Таким
образом, событие будет рассматриваться как результат опыта или —
испытания.
Например, в примере 2 подбрасывание игральной кости есть испытание.
Появление грани с определенным количеством очков — событие.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. События А и В несовместны, если в результате
одного опыта они не могут происходить одновременно, в противном случае
— совместны.
Приведем примеры несовместных событий.
1. Из урны с шарами наудачу извлечен шар. Появление синего шара
исключает появление красного. События «появился синий шар» и
«появился красный шар» — несовместные.
2. В примере 5.1 появление «герба» исключает появление «решки».
События «появился герб» и «появилась решка» — несовместные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. События
образуют полную группу, если в
результате опыта кроме этих событий ничего другого произойти не может.
Например, торговец акциями произвел сделку. Обязательно произойдет
одно из следующих трех событий: получение прибыли, неполучение
прибыли, убыток. Эти три несовместных события образуют полную группу.
Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть
достоверное событие.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы последовательности событий
попарно несовместны, если любые два из них несовместны.
Например, при подбрасывании игральной кости никакие два
элементарные исхода (появление цифр 1, 2, 3,4, 5, 6) не могут произойти
одновременно.
4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несколько событий равновозможны, если ни одно из
i
BA
BA
BA
BA
них не имеет объективного преимущества перед другими.
Например, элементарные исходы при подбрасывании монеты, игральной
кости равновозможны.
Обычно изображают на плоскости в виде некоторой области, а
в
виде точек этой области, устанавливая таким образом соответствие между
событиями и точечными множествами.
Над событиями вводятся операции, совпадающие с операциями над
множествами: сумма, произведение, отрицание.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой событий А и В называется, такое третье
событие
(или
) которое заключается в наступлении хотя бы одного
из событий: или А, или В (рис. 1).
Рис. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением двух событий А и В называется такое
третье событие АВ (или
и В одновременно. Если события А и В несовместны, то
) которое заключается в наступлении событий А
(рис. 2).
Рис. 2
5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрицанием события А называется событие A (не
BA
SA
SB
SBABA
SA
SB
SBABA
SA
SA
SAAA
n
,....,
2,1
А), заключающееся в ненаступлении добытая А . Причем, если в результате
опыта может произойти событие А, то может произойти и обратное ему
событие А (затемненная область нa рис. 3).
Рис. 3
Если наступление события А приводит к наступлению события В и
наоборот (наступление В влечет наступление А), то события А и В равны
(
).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть S — множество всех подмножеств , для
которого выполняются следующие свойства:
1. если
2. если
3. если
и
и
то,
то,
то,
.
;
;
Тогда множество S называется алгеброй событий.
Определение вероятности события
Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей.
Существует несколько подходов к определению этого понятия. Рассмотрим
основные из них.
Классическое определение вероятности. Пусть события
(1)
образуют множество элементарных событий, n — число всех возможных
элементарных исходов испытания.
6
Тогда события из (1), которые приводят к наступлению события А,
mAm
nmAP /
2
1
AP
3
1
6
2
AP
1P
nm
1// nnnmAP
0P
0m
0/0/ nnmAP
nm 0
1/0 nm
10 AP
называются благоприятствующими исходами для события А,
—
число благоприятствующих исходов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вероятностью события А называют отношение
числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех
равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную
группу, т. е.
.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны,
равновозможны и образуют полную группу.
В примере 1 вероятность появления герба
В примере 2 вероятность появления числа больше четырех
Из классического определения следуют свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна единице
.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный
исход опыта благоприятствует событию. В этом случае
, следовательно,
.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных
исходов опыта не благоприятствует событию. В этом случае
следовательно,
.
3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
,
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из
общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае
значит,
, следовательно,
.
7
,
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
10 AP
AA
1 APAP
APAP 1
1111
DCBA
S
ABCD
S
16
9
1111
ABCD
DCBA
S
S
AP
N
EEE ,...,,
21
, а
— достоверное событие, поэтому
, или
.
Геометрическое определение вероятности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрической вероятностью события A
называется отношение меры области, благоприятствующей появлению
события A, к мере всей области.
ПРИМЕР 3. Найти вероятность того, что точка, случайным образом
брошенная в квадрат ABCD со стороной 4, попадет в квадрат A1B1C1D1. со
стороной 3, находящийся внутри ABCD (рис. 4)
Рис. 4
Решение. Вероятность события определяется как отношение меры части
области (в данном случае площади), благоприятствующей событию А –
, к мере всей области –
.
Классическое определение вероятности. Классическая схема теории
вероятностей охватывает те опыты, элементарные исходы (или
элементарные события) которых удовлетворяют следующим трем условиям.
1. Элементарные исходы образуют конечное множество:
.
2. Элементарные исходы образуют полную группу попарно
несовместных исходов. (Это означает, что опыт заканчивается одним и
8
только одним из элементарных исходов.)
AP
N
N
APA
A
N
3,2,4
DCBA
NNNNN
2
1
4
2
BPAP
4
3
DPCP
1
F
2
F
3
F
3
2
AP
321
,, FFF
3
F
1
F
NNA0
10 AP
3. Элементарные исходы равновозможны.
В условиях 1-3 вероятность
случайного события А определяется как
, (2)
где
— число элементарных исходов, благоприятствующих событию
А, то есть тех элементарных исходов, при которых событие А происходит.
Такое определение вероятности называется классическим.
Так, в приведенном выше примере 1 с двукратным подбрасыванием
монеты
и, следовательно,
,
.
Замечание. Иногда двукратное подбрасывание монеты связывают не с четырьмя, а с
тремя элементарными исходами:
{выпадают два герба},
{выпадают две решки},
{выпадают один герб и одна решка}.
При этом случайному событию А благоприятствуют два элементарных исхода, в связи с
чем полагают, что
Такая математическая модель не адекватна тем реальным опытам, которые она
описывает. На практике исходы
бы потому, что исход
— единственным способом — гг.
Поскольку в (2)
,
никак нельзя считать равновозможными хотя
достигается двумя способами — гр и рг — в то время как исход
, вероятность случайного события заключена в
пределах от 0 до 1:
, (3)
9
Простейшие задачи. Здесь приводится ряд задач на вычисление
nmN
mNA
nNB
nm
m
N
N
AP
A
nm
m
N
N
BP
B
mn
nm
nm
вероятности по формуле (2), когда числа N и NA находятся простым
перебором соответствующих элементарных исходов опыта. При этом, говоря
о случайном выборе или выборе наугад (наудачу), мы будем иметь в виду
такие опыты, элементарные исходы которых равновозможны.
ПРИМЕР 4. Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, наугад
извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет: белым;
черным?
Решение. Рассматриваемый опыт — извлечение шара из урны —
интуитивно связывается с
элементарными исходами, из которых
событию A = {извлекаемый шар будет белым} благоприятствуют
исходов, а событию В — {извлекаемый шар будет черным} —
исходов;
отсюда
(*)
С формальной же точки зрения не все так просто. Изначально можно
говорить лишь о двух элементарных исходах: «белый» и «черный» (ведь
шары одного цвета попарно неразличимы!). Однако никаких оснований
считать такие элементарные исходы равновозможными нет, по крайней мере
при
. И нужно еще что-то предпринять прежде, чем мы окажемся в
условиях классической схемы теории вероятностей.
Занумеруем все содержащиеся в урне шары от 1 до
Это позволит нам говорить об
различных шарах, из которых m будут
включительно.
белыми, n — черными. И тогда соотношения (*) получат простое
формальное обоснование.
ПРИМЕР 5. Из урны, содержащей 10 белых, 8 черных и 2 желтых шара,
случайно выпал какой-то шар. Какова вероятность того, что этот шар:
а. был либо белым, либо черным;
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]