Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей и математической статистики
.pdf
На этом примере мы познакомились с общей схемой, которая впервые
,
1
nk
k k k k n k
n k n n
P A C p p C p q
10,3
A
1
2
1
2
p
11
1
22
q
3 7 10
3
10,3 10
10
1 1 10! 1
2 2 3! 7! 2
7! 8 9 10 8 3 5 15
7! 1 2 3 2 1024 128
P A C
0,2p
0,8q
3 3 2 3 2
5,3 5
5!
0,2 0,8 0,0512;
3!2!
A C p q
была рассмотрена швейцарским математиком Я. Бернулли, и называется
схемой Бернулли.
В общем случае эта схема приводит к формуле
которая называется формулой Бернулли.
Пример 2. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что при
этом герб выпадет ровно три раза?
Решение. Пусть
— событие, состоящее в. том, что при 10-кратном
подбрасывании монеты герб выпадет три раза. При этом вероятность
выпадения герба равна
, т.е.
. Тогда
. Подставляя эти
значения в формулу Бернулли, подучим:
Пример 3. Вероятность того, что лампа останется неисправной после
1000 ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее
трех останутся исправными после 1000 ч: работы?
Решение. Будем рассматривать горение каждой лампы в течение 1000 ч
как отдельный опыт. Тогда можно сказать, что, проведено 5 опытов. Нас
интересуют события «горят 3, лампы из 5», «горят 4 лампы из 5» и «горят 5
ламп из 5», т. е. мы можем найти вероятность каждого из этих событий по
формуле Бернулли, учитывая, что
и
41
4 4 1 4
5,4 5
5!
0,2 0,8 0,0084;
4!1!
A C p q
5 5 0 5
5,5 5
5!
0,2 1 0,00032;
5!
A C p q
Тогда искомая вероятность составит 0,0512+0,0084+0,00032=0,0579.
Пример 4. Самолет имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы
каждого двигателя равна 0,95. Найти, вероятность того, что в полете могут
возникнуть неполадки в одном из двигателей.
Пример 5. Вероятность того, что на некотором предприятий расход
электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность
того, что в течение 5 дней из 7 перерасхода электроэнергии не произойдет?
Пример 6 Для нормальной работы на линии должно быть не менее 8
автобусов, а их имеется 10. Вероятность невыхода каждого автобуса на
линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы в ближайший день.
Пример 7 В цехе имеется три резервных мотора, работающих
независимо друг от друга. Для каждого мотора вероятности того, что он
включен в данный момент, равна 0,2. Какова вероятность того, что в данный
момент включен хотя бы один мотор?
Пример 8 При испытаниях по схеме Бернулли вероятность ровно двух
успехов в трех испытаниях в 12 раз больше, чем вероятность трех успехов.
Найти вероятность успеха в каждом испытании.
42
Биномиальное распределение
Значения
i
x
0 1 2
…
n
Вероятности
i
p
,0n
PA
,1n
PA
,2n
PA
…
,nn
PA
,nk
PA
1, 2, 3, 4, 5X
1/ 2
05
0 0 5
5,0 5
1 1 1
1;
2 2 32
P A C p q
14
1 1 4
5,1 5
1 1 5
5;
2 2 32
P A C p q
23
2 2 3
5,2 5
1 1 10
10 ;
2 2 32
P A C p q
32
3 3 2
5,3 5
1 1 10
10 ;
2 2 32
P A C p q
41
4 4 1
5,4 5
1 1 5
5;
2 2 32
P A C p q
50
5 5 0
5,5 5
1 1 1
1;
2 2 32
P A C p q
Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем
в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое
событиеp. Рассмотрим случайную величинуX, представляющую собой
число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид
где
вычисляются по формуле Бернулли.
Закон распределения, который характеризуется такой таблицей,
называется биномиальным.
Пример 9 Монету подбрасывают пять раз. Составить закон
распределения случайной величины X — числа выпадения герба.
Решение. Возможны следующие значения случайной величины
. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании
равна
, найдем вероятности значений случайной величины X по формуле
Бернулли:
43
Закон распределения имеет вид
Значения
i
x
0 1 2 3 4
5
Вероятности
i
p
1
32
5
32
10
32
10
32
5
32
1
32
1 5 10 10 5 1
1
32 32 32 32 32 32
0 0 4
4
13
4
2 2 2
4
33
4
4 4 0
4
0 0,9 0,1 0,0001;
1 0,9 0,1 0,0036;
2 0,9 0,1 0,0486;
3 0,9 0,1 0,2916;
4 0,9 0,1 0,6561.
P X C
P X C
P X C
P X C
P X C
Произведем проверку:
Пример 10 По одному и тому же маршруту в один и тот: же день
совершают полет три самолета. Вероятность посадки по расписанию для
каждого равна 0,7. Составить закон распределения случайного числа
самолетов, отклонившихся от расписания.
Пример 11. Устройство состоит из трех взаимно независимых деталей.
Вероятность отказа каждой детали в одном опыте равна 0,1. Составить
закон распределения числа отказавших деталей в одном опыте.
Пример 12. Составить закон распределения, вероятностей для
случайного числа страниц с опечатками, если в статье 8 страниц, а
вероятность, что на странице могут оказаться опечатки, равна 0,01.
Пример 13. Составить закон распределения числа попаданий в цель при
четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна
0,9.
Случайная величина X — число попаданий в цель при четырех
выстрелах — может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие им
вероятности находим по формуле Бернулли (2):
Итак, искомый закон распределения имеет вид (табл.);
44
Таблица
X
0 1 2 3 4
P
0,0001
0,0036
0,0486
0,2916
0,6561
45
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной
Значения
i
x
1
x
2
x
…
n
x
Вероятности
i
p
1
p
2
p
…
n
p
1 1 2 2
...
nn
M X x p x p x p
X
величины.
Мы знаем, что наиболее исчерпывающей характеристикой случайной
величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда
обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним
или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности
закона распределения, например числом, имеющим смысл «среднего
значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний
размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого
рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не
пользуясь законом распределения.
Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины
есть математическое ожидание.
Если; известна дискретная случайная величина X, закон распределения
которой имеет вид
то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной,
величины X, называется число
Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной
величины
равно сумме произведений возможных значений этой
величины на их вероятности.
Пример 14. Найти математическое ожидание случайной величины X,
зная закон ее распределения (табл.):
46
Таблица
X
-1 0 1 2 3
P
0,2
0,1
0,25
0,15
0,3
1 0,2 0 0,1 1 0,25 2 0,15 3 0,3 1,25.MX
.M CX CM X
.M X Y M X M Y
.M C C
11
.
nn
k k k k
kk
M C X C M X
.M XY M X M Y
По формуле находим
Приведем без доказательства свойства математического ожидания.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:
2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин
равно сумме их математических ожиданий (теорема сложения
математических ожиданий):
3. Математическое ожидание постоянной величины C равно
самой этой величине:
4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных
величин равно линейной комбинации их математических
ожиданий:
5. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин равно произведению их математических
ожиданий (теорема умножения математических ожиданий):
Пример 15. Найти математическое ожидание числа очков,
выпадающих, при бросании игральной кости.
47
Решение. Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4,
Значения
i
x
1 2 3 4 5
6
Вероятности
i
p
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 3,5
6 6 6 6 6 6
MX
X
xm
m
xm
Y
X
-8
-4
-1 1 3
7
P
1/12
1/6
¼
1/6
1/12
1/4
5, 6. Составим закон ее распределения:
Тогда математическое ожидание есть
Различные случайные величины могут иметь одно и то же
математическое ожидание. Поэтому необходимо ввести еще одну числовую
характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений,
принимаемых случайной величиной
, около ее математического
ожидания.
Рассмотрим разность
, где
— математическое ожидание
величины X.
Случайную величину
называют отклонением величины от ее
математического ожидания.
Дисперсия. Рассмотрим следующий пример.
Пример 16. Найти математическое ожидание случайных величин X и
, зная законы их распределения (табл. 1 и 2):
Таблица 1
48
Таблица 2
X
-2
-1 0 1 2 3
P
1/6
1/6
1/12
1/3
0
1/4
1 1 1 1 1 1 7
8 4 1 1 3 7 ,
12 6 4 6 12 4 12
1 1 1 1 1 7
2 1 0 1 2 0 3 .
6 6 12 3 4 12
MX
MY
MY
X
MX
MX
DX
2
D X M x m
По формуле имеем:
Мы получили любопытный результат: законы распределения величин X
и Y разные, а их математические ожидания одинаковы.
Из рис. 1,б видно, что значения величины Y более сосредоточены, около
математического ожидания
, чем значения величины
, которые
разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания
1,а).
Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений
случайной величины X относительно ее математического ожидания
является дисперсия, которая обозначается через
.
(рис.
Рис. 1
Дисперсией случайной величины X называется число
49
Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата
X
3,5MX
1 2 6
, , ... ,x x x
0
1
1 3,5;x
0
2
2 3,5;x
0
3
3 3,5;x
0
4
4 3,5;x
0
5
5 3,5;x
0
6
6 3,5;x
2 2 2 2 2 2
1 35
1 3,5 2 3,5 3 3,5 4 3,5 5 3,5 6 3,5 ;
6 12
Dx
MX
i
x
i
p
1 1 2 2
1
...
n
n n i i
i
M X x p x p x p x p
MX
X M X
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Пример 17. Пусть X — число очков, выпадающих при одном бросании
игральной кости. Найти дисперсию случайной величины X.
Решение. Закон распределения случайной величины
математическое ожидание
Найдем отклонения для
были найдены в предыдущем примере.
:
и ее
Вычислим дисперсию:
Монету подбрасывают 5 раз. Найти дисперсию случайной величины X выпадения герба.
Математическое ожидание. Кроме закона распределения, который дает
полное представление о случайной величине, часто используют числа,
которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют
числовыми характеристиками случайной величины. Среди числовых
характеристик весьма важной является математическое ожидание, которое
указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в
результате испытаний или наблюдений.
Определение. Математическим ожиданием
дискретной
случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных
значений
на их вероятности
:
(4)
Определение. Отклонением называется разность между случайной
величиной X и ее математическим ожиданием
50
, т. е.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]