Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей и математической статистики
.pdf
Случайные величины
Определение случайной величины
Ранее мы уже приводили примеры событий, состоящих в появлении того
или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться
числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков
невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые
полностью не могут быть учтены. Числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные
значения этой величины.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайной величиной называют такую величину,
которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем
до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет.
Более точно, случайная величина — это действительная, функция,
определенная на пространстве элементарных событий .
Приведем примеры случайных величин:
1. Число родившихся девочек среди 100 новорожденных есть случайная
величина, которая имеет следующие возможные значения, 0,1,2,...,
100.
2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть
случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от
установки прицела, но и от многих других причин, которые не могут
быть полностью учтены. Возможные значения этой величины
принадлежат некоторому промежутку (а, b).
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y,
Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами х, у, z.
Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они
будут обозначены так: x1 х2, х3.
31
Определение функции распределения
Xx
F x P X x
xR
Пусть х — действительное число. Вероятность события, состоящего в
том, что X примет значение, меньшее х, т.е. вероятность события
обозначим через F(x). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря,
изменяется и F(x), т.е. F(x) — функция от х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называется числовая
функция числового аргумента F(x), определяющая вероятность того, что
случайная величина X в результате опыта примет значение, меньшее х, т.е.
,
где R — множество действительных чисел.
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть
вероятность того, что случайная величина примет значение, которое
изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин
«интегральная функция».
,
Дискретные и непрерывные случайные величины
Случайные величины могут быть трех типов: дискретные, непрерывные,
смешанные (дискретно-непрерывные).
Дискретная случайная величина может принимать конечное или
бесконечное счетное число значений. Например, подбрасываем монету 5 раз.
Случайная величина X — число появлений герба может принимать значения
0, 1, 2, 3, 4, 5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дискретной (разрывной) называется случайная
величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные
значения с определенными вероятностями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайную величину называют непрерывной, если
ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая
функция с непрерывной производной.
величины принимает бесконечное несчетное число значений. Например,
Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной случайной
32
мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с
0;YR
10 xF
Rx
22
xFxF
12
xx
ba,
aFbFbXaP
ba,
0xF
ax
1xF
bx
0lim
xFx
1lim
xFx
обязательным попаданием. Обозначим через Y расстояние от центра мишени
до точки попадания,
. Y— непрерывная случайная величина, так как
она принимает бесконечное несчетное число значений.
Свойства функции распределения вероятностей случайной
величины
Свойства функции распределения.
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
при
2. F(x) —неубывающая функция, т.е.
если
.
СЛЕДСТВИЕ 1. Вероятность того, что случайная величина примет
значение, заключенное в интервале
, равна приращению функции
распределения на этом интервале:
.
СЛЕДСТВИЕ 2. Вероятность того, что непрерывная случайная
величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат
интервалу
, то; 1)
при
; 2)
при
.
СЛЕДСТВИЕ. Если возможные значения непрерывной случайной
величины расположены по всей оси х, то справедливы следующие
предельные отношения:
;
Любая функция, удовлетворяющая этим свойствам, является функцией
распределения некоторой случайной величины. Нестрого говоря, функция
распределения содержит всю вероятностную информацию о случайной
величине X.
33
График функции распределения. Описанные выше свойства
0y
1y
,ab
xa
xb
12
, , ... , , ...
n
x x x
i
p
1, 2, ..., , ...in
позволяют представить, как выглядит график функции распределения
непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми
,
(согласно свойству 1).
При возрастании х в интервале
, в котором заключены все
возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх»
(согласно свойству 2).
При
ординаты графика равны нулю; при
ординаты графика
равны единице (согласно свойству 3).
График функции распределения непрерывной случайной величины
изображен на рисунке 6
Рис. 6
Закон распределения дискретной случайной величины
Несмотря на то, что функция распределения универсальным образом
описывает вероятностный характер случайной величины, дискретную
случайную величину можно задать таблично, графически и аналитически.
Соответствие между возможными значениями и их вероятностями называют
законом распределения дискретной случайной величины.
Пусть X — дискретная случайная величина, которая принимает значения
с некоторой вероятностью,
34
, где
. Тогда можно
говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение
i
x
ii
p P X x
i
x
i
p
X
1
x
2
x
...
3
x
p
1
p
2
p
...
3
p
2
, , ... ,
in
X x X x X x
12
... 1
n
p p p
12
...pp
X
1
50x
2
1x
3
0x
1
0.01p
2
0.1p
1 1 2
1 0.89p p p
:
. Значения
и соответствующие вероятности
представляют в
виде таблицы.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной
величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая,—
их вероятности:
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина
принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события
образуют полную группу. Следовательно, сумма
вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы,
равна единице:
Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд,
сходится, и его сумма равна единице.
ПРИМЕР 39. В денежной лотерее выпущено 100 билетов.
Разыгрывается один выигрыш 50 руб. и 10 выигрышей по одному рублю.
Найти закон распределения случайной величины X — стоимости
возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Напишем возможные значения
:
,
,
.
Вероятности этих возможных значений таковы:
Напишем искомый закон распределения:
,
,
35
X
50
10
0
p
0,01
0,1
0,89
,
ii
xp
X
1 3 6
8
p
0,2
0,1
0,4
0,3
1 2 3 4
1;0,2 , 3;0,1 , 6;0,4 , 8;0,3M M M M
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины
можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе
координат строят точки
, а затем соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
ПРИМЕР 40. Дискретная случайная величина X задана законом
распределения:
Построить многоугольник распределения.
Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси
абсцисс будем откладывать возможные значения, а по оси ординат —
соответствующие вероятности. Построим точки
(рис. 7). Соединив эти точки
отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.
Рис. 7
36
Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и
i
x
0 1 2
3
i
p
0,1
0,4
0,3
0,2
XC
2C
XY
Z X C
2C
i
z
0+2
1+2
2+2
3+2
i
p
0,1
0,4
0,3
0,2
Z X Y
i
z
0-1
0+0
0+1
1-1
1+0
1+1
2-1
2+0
2+1
3-1
3+0
3+1
i
p
0,02
0,03
0,05
0,08
0,12
0,2
0,06
0,09
0,15
0,04
0,06
0,1
i
y
-1 0 1
i
p
0,2
0,3
0,5
i
z
2 3 4
5
i
p
0,1
0,4
0,3
0,2
умножения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух случайных величин X и Y называется
случайная величина, которая получается в результате сложения всех
значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y;
соответствующие вероятности перемножаются.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением двух случайных величин X и Y
указывается случайная величина, которая получается в результате
перемножения всех значений случайной величины X и, всех значений
случайной величины Y; соответствующие вероятности перемножаются.
ПРИМЕР 41. Дискретные случайные величины X и Y заданы в виде
таблиц:
Найти: 1)
Решение.
1)
2)
, где
,
; 2)
.
37
i
z
-1 0 1 2 3
4
i
p
0,02
0,11
0,23
0,33
0,21
0,1
X
1 4 8
p
0,3
0,1
0,6
1x
0Fx
14x
0.3Fx
48x
0.4Fx
48x
Fx
Xx
Xx
8x
1Fx
8X
Одинаковые значения случайных величин можно записать один раз,
предварительно сложив соответствующие вероятности:
Замечание. График функции распределения дискретной случайной
величины имеет ступенчатый вид. Убедимся в этом на примере.
ПРИМЕР 42. Дискретная случайная величина задана таблицей
распределения:
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. Если
, то
(согласно свойству 3). Если
, то
. Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.
Если
неравенству
, то
, то
. Действительно, если x удовлетворяет
равно вероятности события
, которое
может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого
события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1).
Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения
вероятностей (см. теорему 5.1) вероятность события
равна сумме
вероятностей 0,3+0,1=0,4.
Если
, то
. Действительно, событие
достоверно,
следовательно, его вероятность равна единице.
Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:
38
0 1,
0,3 1 4,
0,4 4 8,
1 8.
при x
при x
Fx
при x
при x
fx
Fx
f x F x
Рис. 8
График этой функции приведен на рис. 8.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины
Определение плотности распределения. Непрерывная случайная
величина задавалась нами ранее с помощью функции распределения. Этот
способ задания не является единственным. Непрерывную случайную
величину можно также задать, используя другую функцию, которую
называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее
называют дифференциальной функцией).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X называется функция
— первая
производная от функции распределения
Из определения следует, что функция распределения является
первообразной для плотности распределения.
:
.
39
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной
1 2 3
AAиA
1 2 3
A A A
1 2 3
A A A
1 2 3
A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A
1 2 3
,,A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A
P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1qp
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 1 1
31
P A A A A A A A A A p p p p p p p p p
pp
случайной величины плотность распределения неприменима.
Случайные величины
Формула Бернулли
Рассмотрим задачу, в которой проводятся повторные независимые
испытания с двумя исходами.
Пример 1. Стрелок выполняет три попытки. Успех (попадание в цель) и
неуспех (промах) каждой из них не зависит от исходов других попыток, а
вероятность успешного завершения каждой попытки постоянна и равна р.
Найти вероятность успешного завершения двух попыток из трех.
Решение. Пусть
— соответственно успех в первой, второй и
третьей попытке. Тогда две удачные попытки отвечают следующим
событиям:
первая и третья попытка, вторая неудачна;
— две первые попытки удачны, третья нет;
— удачны две последние
– удачны
попытки, первая неудачна,
Интересующее нас. событие можно записать как сумму
. Так как события, входящие в эту сумму, несовместны,
а события
независимы, то по формулам сложения и умножения
находим
Но вероятность попадания в цель в каждой попытке есть p, поэтому
вероятность промаха равна
. Подставив эти значения, получим
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]