Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей и математической статистики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Заметим, что отклонение

 

X M X

 

X M X

x2 … xi … xn

p2 … pi … pn

 

X M X

 

x M X

 

x M X

…

 

x M X

…

   

 

D X M X M X

 

0DC 

   

D CX C D X

   

D X C D X

     

D X Y D X D Y  

и его квадрат

также

являются случайными величинами. Причем если случайная величина X распределена по закону, заданному табл. 1,:

Таблица 1

то квадрат ее отклонения имеет следующий закон распределения (табл.

Таблица 2

Введем теперь определение дисперсии случайной величины X.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Приведем без доказательства некоторые свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

2. Если X — случайная величина, а C —-постоянная, то

3. Если X и Y — независимые случайные величины, то

(теорема сложения дисперсий).

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

 

D X M X M X

   

 

   

 





 

     

 

D X M X M X M X XM X M X

M X M X M X M X M X M X

     

     

-1 0 1

0,2

0,1

0,3

0,4

 

1 0,2 0 0,1 1 0,3 2 0,4 0,9MX         

 

1 0,2 0 0,1 1 0,3 4 0,4 2,1MX         

 

2,1 0,81 1,29D X M X M X    

-1 1 2

0,48

0,01

0,09

0,42

-1 1 2

0,19

0,51

0,25

0,05

Докажем ее, используя свойства математического ожидания:

Пример 18. Дискретная случайная величина распределена по закону (табл.):

Таблица

Найти

Сначала находим

, а затем

По формуле (3) имеем

Пример 19. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных

законами распределения (табл. 1 и 2):

Таблица 1

Находим

Таблица 2

   

 

   

 

1 0,48 1 0,01 2 0,09 3 0,42 0,97;

1 0,48 1 0,01 4 0,09 9 0,42 4,63;

4,63 0,97 3,69;

1 0,19 1 0,51 2 0,25 3 0,05 0,97;

1 0,19 1 0,51 4 0,25 9 0,42 2,15;

2,15 0,97 1,21.

MX MX DX

MY MY DY

         

        

            

        

  

   

D X D Y

1 2 3

0,3

0,1

0,2

0,4

Полученные результаты показывают, что, несмотря на то, что значения и математические ожидания случайных величин дисперсии различны, причем

. Это означает, что случайная

и Y одинаковы, их

величина Y с большей вероятностью принимает значения, близкие к математическому ожиданию, чем случайная величина X.

Примеры:

1. Составить закон распределения числа попаданий, в цель при шести

выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему

книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать

не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4. Найти математическое ожидание случайной величины X, если

закон ее распределения задан таблицей:

5. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность

того, что в течение рабочей смены первая линия не потребует регулировки,

равна 0,9, вторая — 0,8, третья — 0,75, четвертая — 0,7. Найти

0 1 2 3 4

0,2

0,4

0,3

0,08

0,02

математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

6. Найти дисперсию случайной величины

, зная закон ее

распределения:

Список использованных источников

Основная литература

1. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений/ Н.В. Богомолов. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 495 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.: ил.

3. Омельченко, В.П. Математика: учеб. пособие / В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – Изд. 5-е, стер. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 380 с. 4 . Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – 8-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия»,

2011. – 304 с.

Дополнительная литература

5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 2/ Дмитрий Письменный. – 5-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 256 с: ил.

6. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 400 с.: ил.

7.Чайкина И.А. Высшая математика. Курс лекций. Учебное пособие: Дониздат, Ростовна-Дону, 2015г.-104 с: ил.

8. Чайкина И.А Основы высшей математики. Методические рекомендации к практическим занятиям: Дониздат, Ростов-на-Дону, 2015г.-86 с:ил.

9.Ольшанский В.В. Курс высшей математики: учебное пособие [в 2 ч.] / БОГДАНОВ А.Е., БОЕВ Н.В., Мартемьянов С.В.//- Дониздат, Ростов-на-Дону, 2014г.-176 с:ил.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]