Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей и математической статистики
.pdf
Замечание. Если события А и B независимы, то независимы также
ABBAA
ABPBAPAP
BPAPABPAP
BPAPBAP 1
BPAPBAP
321
,, AAA
1
A
1
A
2
A
3
A
3
A
2
A
1
A
2
A
3
A
2
A
1
A
3
A
3
A
1
A
2
A
события A и B, A и B, A и B.Например, событие А — первый студент зачет
не сдаст, B — второй студент зачет не сдаст.
Действительно,
.
Следовательно,
или
.
Отсюда
или
, т.е. события А и B независимы.
Независимость событий A и B, A и B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несколько событий называют попарно
независимыми, если каждые два из них независимы.
Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы
события А и В, А и С, В и С.
Для того чтобы обобщить теорему умножения вероятностей на
несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несколько событий называют независимыми в
совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из
них и независимы каждое событие и все возможные произведения
остальных.
Например, если события
независимы события
и
;
и
независимы в совокупности, то
;
и
;
и
;
и
;
и
. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности,
то условная вероятность появления любого из них, вычисленная в
предположении, что наступили какие-либо другие события из числа
остальных, равна его безусловной вероятности.
Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то
отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле
21
требование независимости событий в совокупности сильнее требования их
2142 AP
21BP
21CP
21
попарной независимости.
Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара,
окрашенные: один — в красный цвет (А), один — в синий цвет (В), один — в
черный цвет (С) и один — во все эти три цвета (ABC). Вычислим вероятность
того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет.
Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то
Рассуждая аналогично, найдем
,
Допустим теперь, что
взятый шар имеет синий цвет, т.е. событие В уже произошло. Изменится ли
вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т.е, изменится
ли вероятность события A? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар
имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна
Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в
предположении, что наступило событие В, равна его безусловной
вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем
к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С
попарно независимы.
.
Пример 17. В группе 20 учащихся, из которых 4 отличника. По списку
наудачу отобрано 5 учащихся. Найдите вероятность того, что среди
отобранных учащихся 3 отличника.
Пример 18. В ящике 100 деталей, из которых 10 бракованных. Наудачу
извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
а) нет бракованных, б) нет годных.
Пример 19. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу
отобрано m деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных
деталей ровно k стандартных.
Пример 20. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады
разыгрываются 4 места в общежитии. Какова вероятность того, что среди
22
обладателей места в общежитии окажется 2 женщины и 2 мужчин?
BA
BA
BAC
BA
k
A
1
A
2
A
3
A
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
Пример 21. В ящике 4 синих и 5 зеленых шаров. Из ящика наугад
вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары окажутся разного
цвета?
Пример 22. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3
бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Какова вероятность того, что
среди выбранных изделий окажется одно бракованное?
Сложение и умножение вероятностей
Под суммой или объединением двух событий А и В (
или
)
подразумевается такое событие, которое наступает, когда из событий А и В
наступает хотя бы одно.
Например, пусть А - событие «появление 6 очков» при бросании
игрального кубика, В - событие «появление 3 очков» при том же бросании
игрального кубика, С – событие «выпадение числа очков, кратного 3». Тогда
.
Операция суммы распространяется и на число событий, большее двух.
Для любого события А противоположное событие обозначается через A.
Разностью событий А и В называется событие С, которое происходит,
когда наступило событие А и не наступило событие В.
Произведением или пересечением двух событий А и В (АВ или
)
называется событие, состоящее в одновременном их наступлении.
Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего
числа событий.
Пример 23. Стрелок производит три выстрела по мишени. Событие
— «попадание при k-м выстреле» (k = 1, 2, 3). Выразить через
следующие события
— «три промаха»,
— «хотя бы одно попадание»,
, — «хотя бы один промах»,
23
— «три попадания»,
— «не меньше двух
попаданий»,
6
B
7
B
1
B
1
A
2
A
3
A
3211
AAAB
2
B
3212
AAAB
3
B
3213
AAAB
3214
AAAB
3231215
AAAAAAB
3231216
AAAAAAB
3217
AAAB
BPAPBAP
k
B
1
B
3
B
5
B
k
B
— «не более одного попадания»,
первого выстрела».
Решение.
— «попадание после
1) Событие
одно из событий
, наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы
. Это означает, что
.
2) Событие
наступает тогда и только тогда, когда попадание
происходит при каждом выстреле. Это означает, что
.
3) Событие
наступает тогда и только тогда, когда промахи происходят
при каждом выстреле, поэтому
.
Рассуждая аналогично, заключаем, что
4)
5)
,
,
6)
7)
.
,
Вспомним теоремы сложения и умножения вероятностей.
1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий
.
Пример 24. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность
того, то выпадет нечетное число очков?
Решение. Пусть А — событие «выпало нечетное число очков»,
—
«выпало k очков». Событие А происходит, когда происходит хотя бы одно из
событий
,
и
, причем эти события и, вообще, все события
–
несовместные. Поэтому
24
2
1
6
1
6
1
6
1
531
BPBPBPAP
.
ABPBPAPBAP
3
2
2
1
BAP |
3
2
AP
2
1
| BAP
BPAPABP
2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
. (*)
При этом вероятность произведения Р(АВ) зависит от того, являются ли
события А и В зависимыми или нет.
Вспомним, что событие А называется независимым от события В, если
вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события
А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Например, в урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают из
урны по одному шару. Рассматриваются события
А ― появление белого шара у первого лица,
В ― появление белого шара у второго лица.
Вероятность события А до того как известно что-либо о событии В равна
. Но если стало известно, что событие В произошло, то вероятность
события А становится равной
. Из этого заключаем, что событие А зависит
от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место
другое событие В, называется условной вероятностью события А и
обозначается
.
В рассмотренном выше примере
Если события A и В независимые события, то
а потому для независимых событий формула (*) принимает вид
,
.
, (**)
25
BPAPBPAPBAP
Если же события А и В зависимые, то
BAPAPABPAPABP ||
BAP |
ABPAPBPAPBAP |
BAPBPBPAPBAP |
BAC
97,08,085,08,085,0 BPAPBPAPBAPCP
97,0CP
t
8,01p
9,02p
.
, (***)
где
- условная вероятность (вероятность события В при условии,
что событие А наступило). В этом случае формула (*) принимает вид
или
Пример 25. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена
0,85, а для второго — 0,8. Спортсмены независимо друг от друга произвели
по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы
один спортсмен?
Решение. Введем обозначения А — «попадание первого спортсмена», В
— «попадание второго спортсмена», С — «попадание хотя бы одного
спортсмена». Очевидно,
, причем события А и В — совместны и
независимы, а потому
.
Ответ:
.
Формулы (**) и (***) являются формулами для вероятности
произведения двух событий, причем формула (**) верна для случая, если
события А и В независимы, а формула (***) верна всегда, в том числе и для
случая, если события А и В зависимы.
Пример 26. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из двух
узлов, каждый из которых, независимо от другого, может в течение времени
выйти из строя. Выход из строя хотя бы одного узла приводит к отказу
прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы)
первого узла равна
целом.
, второго –
. Найти надежность прибора в
26
Решение. Введем следующие события
BCA
72,09,08,0
21
ppCPBPAP
3
2
12
9
AP
11
8
| ABP
11
6
11
8
4
3
| ABPAPABP
А ― безотказная работа прибора,
В ― безотказная работа первого узла,
С ― безотказная работа второго узла.
Имеем
. Так как события В и С — независимы, то по формуле (**)
для вероятности произведения независимых событий будем иметь:
.
Пример 27. На складе имеется 12 приборов, из которых 3 не
соответствуют стандарту. Мастер наудачу взял 2 прибора. Найти вероятность
того, что оба прибора окажутся стандартными.
Решение. Введем обозначения событий: А – первый взятый прибор
стандартный, В – второй взятый прибор стандартный. Вероятность того, что
первый взятый прибор стандартный
.
Вероятность того, что второй взятый прибор стандартный, при условии,
что первый взятый прибор был стандартным (т.е. условная вероятность
события В)
,
(после первого взятия стандартного прибора всего осталось 11 приборов,
среди которых 8 стандартных). Искомая вероятность того, что оба взятых
прибора стандартные, по формуле (***) для вероятности произведения
зависимых событий равна
.
Задачи
Пример 28. Подбрасываются два игральных кубика. Найдите
вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.
27
Пример 29. В лотерее разыгрывается 50 билетов. Выигрыш падает на 5
билетов. Некто купил 3 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из
них выиграет?
Пример 30. В ящике находятся 6 белых и 9 черных шаров. Из ящика
извлечены три шара. Найдите вероятность того, что два из них окажутся
белыми.
Пример 31. Из десяти билетов выигрышными являются два. Найдите
вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов а) один
выигрышный, б) оба выигрышных.
Пример 32. Отдел технического контроля (ОТК) проверяет изделия на
стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найдите
вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
Пример 33. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего
сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего
сорта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий
только два изделия высшего сорта.
Пример 34. Абитуриент из 25 вопросов программы знает только 22.
Какова вероятность того, что абитуриент знает предложенные ему
экзаменатором три вопроса?
Пример 35. Симметричная монета подброшена три раза. Какова
вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?
Пример 36. Три стрелка попадают в мишень соответственно с
вероятностями 0,85, 0,8, 0,7. Какова вероятность того, что при одном
выстреле хотя бы один из них попадет в мишень?
Пример 37. Предприятие дает в среднем 25 % продукции высшего
сорта и 65 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что
случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?
Пример 38. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в
трех независимых испытаниях, равна 0,875. Найдите вероятность появления
события в одном испытании.
28
Формула полной вероятности. Формула Байеса
n
HHH ,...,,
21
niHP
I
,...,2,10
n
HHHA ...
21
i
HAP |
12211
|...||
nn
HAPHPHAPHPHAPHPAP
i
n
i
i
HAPHPAP |
1
n
HHH ,...,,
21
n
HHH ,...,,
21
01,01q
02,02q
Пусть производится какой-то опыт или испытание, в результате
которого могут произойти какие-то события. Под полной группой событий в
данном опыте понимают множество всех тех несовместных событий, из
которых хотя бы одно непременно должно произойти.
Например, бросается игральный кубик. Полную группу событий
образуют шесть событий: выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и
шести очков.
Другой пример, стрелок производит четыре выстрела по мишени.
Полную группу событий образуют пять событий: промах, одно, два, три и
четыре попадания.
Рассмотрим теперь n попарно несовместных событий
для которых известны вероятности
и событие
, причем известны условные вероятности
Вероятность события А можно найти по формуле
, (9)
которая может быть записана в виде
. (10)
Это — формула полной вероятности, а события,
так
называемые гипотезы.
По формуле полной вероятности можно определить вероятность
некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий
,
.
системы гипотез
.
Пример 39. Имеются 15 одинаковых деталей, изготовленных на трех
предприятиях: 7 - на первом, 3 - на втором и 5 - на третьем. Вероятности
выпуска бракованных деталей соответственно равны
29
,
и
03,03q
. Мастер наугад берет одну деталь. Найти вероятность того, что эта
деталь окажется не бракованной.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]