Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей и математической статистики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

б. не был ни белым, ни черным;

125

в. был либо не белым, либо не черным?

ПРИМЕР 6. Деревянный кубик с окрашенными гранями распиливается на 125 равных кубиков, из которых затем наугад выбирается один кубик. Какова вероятность того, что он будет содержать:

а. ровно одну окрашенную грань; б. ровно две окрашенные грани; в. ровно три окрашенные грани; г. хотя бы одну окрашенную грань; д. хотя бы одну неокрашенную грань? .

Решение. На рис. 5 изображена одна из граней распиленного кубика, к которой примыкают 25 малых кубиков; помечено, сколько окрашенных граней имеет каждый из этих 25 кубиков. Внутренние малые кубики, не примыкающие ни к одной из граней большого кубика, очевидно, не будут иметь ни одной окрашенной грани. Нетрудно подсчитать, что одну окрашенную грань будут иметь 54 малых кубика, две окрашенные грани — 36 малых кубиков, три окрашенные грани — 8 малых кубиков.

Рис. 5

Это приводит к следующим искомым вероятностям:

а)

б)

в)

г)

д) 1

ПРИМЕР 7. Деревянный кубик с окрашенными гранями распиливается

 

AP

на 64 равных кубика, из которых наугад выбирается один кубик. Какова вероятность того, что он содержит;

а. ровно одну окрашенную грань; б. ровно две окрашенные грани; в. ровно три окрашенные грани; г. хотя бы одну окрашенную грань; д. хотя бы одну неокрашенную грань?

ПРИМЕР 8. Какова вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадет хотя бы один герб?

ПРИМЕР 9. Какова вероятность того, что при случайном расположении трехтомника стихотворений на книжной полке, по крайней мере, один том окажется на своем естественном месте?

Решение. Трехтомник может быть расположен на книжной полке шестью равновозможными способами:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Из них событию А = {хотя бы один том окажется на своем естественном месте} благоприятствуют четыре способа:

123, 132, 213, 321.

Поэтому

ПРИМЕР 10. Написано три письма и к ним подписано три конверта. Затем письма наугад вложены в конверты и отосланы по почте. Какова вероятность того, что по назначению:

а. не попадет ни одно письмо; б. попадет ровно одно письмо; в. попадут ровно два письма?

Перестановки в классической схеме теории вероятностей. Решения

nmk 1

nm 

 

nmN 

1 nm

 

1 nm

 

1 nmmN

 

   

nmm











рассматриваемых ниже задач существенно опираются на понятие перестановки из n элементов.

ПРИМЕР 11. Шары — m белых и n черных — располагают в ряд в случайном порядке. Найти вероятность того, что в этом ряду на k-м месте,

, окажется белый шар?

Решение. Как и в задаче 3, занумеруем шары от 1 до включительно, тем самым, сделав их различными. Такие шары могут быть расположены в ряд следующим числом способов:

Далее, подсчитаем

— число тех способов, которые благоприятствуют

событию А = {белый шар на k-м месте}. Поставить белый шар на k-е место можно m способами — по числу имеющихся белых шаров. Осуществив это тем или иным способом, оставшиеся между незанятыми

местами

шаров можно распределить

! способами. Таким образом,

— по комбинаторному принципу умножения. Следовательно,

Основные теоремы теории вероятностей

BA 

CBA 

     

BPAPBAP 

AAA ,...,,

       

APAPAPAAAP  ......

2121

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Рассмотрим сумму двух событий A и B.

Допустим, что комиссией утверждается бизнес-план и А – утверждение при первом рассмотрении, В — утверждение при втором рассмотрении. Тогда

— утверждение при первом рассмотрении, или утверждение при

втором, или утверждение в обоих случаях.

В частности, если два события А и В — несовместные, то

–

событие, состоящее в появлении одного из этих событий (безразлично какого).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, событие

состоит в появлении одного из: следующих

событий: А; В; С; А и В; А и С; В и С; А, В и С.

Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

СЛЕДСТВИЕ. Пусть

— попарно несовместные события.

Тогда вероятность появления одного из них (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Полная группа событий.

AAA ,...,,

       

1......

2121



APAPAPAAAP

15,04,0  p

1,09,01 p

 

1 APAP

ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий

, образующих полную группу, равна единице:

ПРИМЕР 12. Вероятность падения курса акции, определенная на основе длительного исследования, равна 0,4, вероятность роста — 0,5. Найти вероятность того, что курс акции не изменится.

Решение. События «падение курса акции», «рост курса акции», «курс акции не изменился» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Отсюда искомая вероятность

Противоположные события. Раннее было введено понятие отрицания события А (см. рис. 3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если два единственно возможных события образуют полную группу, то они называются противоположными.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то

другое мы условились обозначать A.

Например, успех и неудача при реализации инвестиционного проекта — противоположные события. Если А — успех, то A — неудача.

ТЕОРЕМА 3. Если А и A — два противоположных события, то сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство. Согласно определению противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. теорему 2).

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных

1 qp

7,0p

3,07,011  pq

 

APAP  1

событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают

через q. Таким образом, в силу теоремы 3

ПРИМЕР 13. Вероятность того, что инвестиционный проект будет принят,

. Найти вероятность того, что проект будет отклонен.

Решение. События «проект принят» и «проект отклонен» противоположные, поэтому искомая вероятность

Замечание. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события

, а затем найти искомую вероятность по формуле

Теорема умножения вероятностей

Произведение событий. (рис. 2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением нескольких событий, называют

событие, состоящее в совместном появлении всех этих событии.

Например, в целях налогообложения ценные бумаги признаются обращающимися на рынке ценных бумаг, если одновременно соблюдены условия А, В, С. Условие А — ценные бумаги допущены к обращению хотя бы одним организатором торговли, имеющим на то право в соответствии с действующим законодательством; условие В — информация об их ценах (котировках) публикуется в средствах массовой информации либо может быть представлена организатором торговли или иным уполномоченным лицом любому заинтересованному лицу в течение трех лет после даты совершения операций с ценными бумагами; условий С — по ним рассчитывается рыночная котировка, когда это предусмотрено соответствующим национальным законодательством. Тогда событие ABC — ценные бумаги признаются обращающимися на рынке ценных бумаг.

Условная вероятность. В начале случайное событие определено как

       

APABPBPABP

// 

  

0AP

       

BPABPAPABP

// 

  

0BP

 

событие, которое при осуществлении совокупности условий Е может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме Е, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события Е при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Условной вероятностью события В при условии, что событие А уже произошло, называется число, которое обозначается

Аналогично

—

условная вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два события называют независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого; в противном случае события называют зависимыми.

На практике заключение о независимости событий делают исходя из смысла задачи. Например, вероятности сдачи зачета по теории вероятностей каждым из двух студентов не зависят от того, сдал ли зачет другой студент, поэтому события «первый студент получил зачет» и «второй студент получил зачет» независимы.

Произведение вероятностей. Рассмотрим два зависимых события: А и В. Пусть вероятности

совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие A и событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения вероятностей.

известны. Как найти вероятность

ТЕОРЕМА 4. Вероятность произведения двух зависимых событий

     

BPAPABP



     

APABPBP

/

     

BPAPABP



     

APBPBAP



     

APBPABP



       

APBPBPAP



         

nAAAAAAn

APAPAPAPAAAAP

n 121

...21211321

...3...





 

nAAA

n 121

...



1321

...

AAAA

         

CPBPBPAPABCP

ABA



равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность

другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже

наступило:

. (4)

Доказательство. По определению условной вероятности

. Отсюда

Применив формулу (4) к событию ВА, получим

, или,

поскольку событие ВА не отличается от события АB,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), делаем вывод о справедливости равенства

. (6)

СЛЕДСТВИЕ 1. Вероятность произведения п зависимых событий

равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности

всех остальных, причем вероятность каждого последующего события

вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

где

предположении, что события

В частности, для трех событий,

— вероятность события А вычисленная в

произошли.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

СЛЕДСТВИЕ 2. Вероятность суммы двух совместных событий А. и В

       

BAPBPAPBAP 

AAA 

 

AAP

       

12121

 AAPAPAAPAP

AAA 

       

12121

 AAPAPAAPAP

равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

ПРИМЕР 14. В портфеле инвестора 10 различных акций, из которых две — с высокой степенью исполнения обязательств по ним, а остальные — с высокой степенью неисполнения обязательств по ним («бросовые»). Наудачу выбрано 2 акции. Найдем вероятность того, что обе акции «бросовые».

Решение. Пусть элементарные события таковы: «бросовая»;

— вторая акция «бросовая». Тогда событие

— первая акция

— обе

акции «бросовые». Вероятность того, что вторая акция «бросовая», будет зависеть от того, какова первая акция. Если первая акция «бросовая», то вероятность того, что вторая акции также «бросовая», равна условной

вероятности события А2 при условии, что

так как после наступления события

— всего акций останется 9, из них 7

уже произошло:

«бросовые». Отсюда

ПРИМЕР 15. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие А — оба шара белые, элементарное событие

первым вытащили белый шар, элементарное событие вытащили белый шар.

Событие А наступит, если наступят одновременно и отсюда

Независимые события. Теорема умножения вероятностей для

независимых событий. Пусть вероятность события В не зависит от

появления события А.

, —

— вторым

Событие В является независимым от события А, если условная

   

BPBP



       

APBPBPAP



   

APAP



     

BPAPBAP 

     

56,08,07,0  BPAPABP

вероятность события В равна его безусловной вероятности:

. (7)

Подставив (7) в соотношение (6), получим

Отсюда

т.е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В, это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий;

. (8)

Равенство (8) также принимают в качестве определения независимых событий.

ПРИМЕР 16. Найти вероятность совместной сдачи зачета двумя студентами, если вероятность сдачи зачета первым студентом (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

вероятностей искомая вероятность

Решение. События А и В независимы, поэтому по теорему умножения

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]