Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г. Э. ЯХЪЯЕВА
ОСНОВЫ ЛОГИКИ
ДЛЯ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКОВ
ОТОБРАЖЕНИЯ И ОТНОШЕНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2025
1
УДК 510.6(075.8)
Я919
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук,
зав. каф. общей информатики ФИТ НГУ Д. Е. Пальчунов
канд. экон. наук, доцент И. В. Асланова
Работа подготовлена на кафедре экономической информатики
Яхъяева Г. Э.
Я919 Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения
и отношения : учебное пособие / Г. Э. Яхъяева. – Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2025. – 67 с.
ISBN 978-5-7782-5332-2
Учебное пособие составлено на основе курса лекций, который читается автором для студентов II курса факультета бизнеса Новосибирского государственного технического университета. В работе систематически изложены основы теории отображений, теории бинарных отношений и теории графов. В конце каждой главы приводится набор заданий, выполнение которых направлено на закрепление теоретического
материала.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика».
УДК 510.6(075.8)
ISBN 978-5-7782-5332-2 © Яхъяева Г. Э., 2025
© Новосибирский государственный
технический университет, 2025
2
Глава 1
ОТОБРАЖЕНИЯ
1.1. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пусть нам даны два объекта 𝑎 и 𝑏 (𝑎𝑏). Двухэлементное множе-
ство
деле, независимо, в каком порядке –
элементы, они будут образовывать одно и то же множество. Что же
гда является упорядоченной парой?
𝑎, 𝑏
принято также называть неупорядоченной парой. В самом
𝑎, 𝑏
или
𝑏, 𝑎
– будут записаны
то-
Определение 1. Множества вида
ченными парами (обозначается
координатой пары
𝑎, 𝑏
.
𝑎, 𝑏, элемент 𝑏 – второй координатой пары
𝑎,𝑎, 𝑏
𝑎, 𝑏). Элемент 𝑎 называется первой
называются упорядо-
Следующие утверждения показывают правомерность такого опре-
деления упорядоченной пары.
Утверждение 1. Для
𝑏, 𝑎
.
любых элементов 𝑎 и 𝑏 если 𝑎𝑏, то 𝑎, 𝑏
Доказательство. Для того чтобы доказать неравенство двух множеств, достаточно найти хотя бы один элемент, который принадлежит
одному множеству и не принадлежит другому. В качестве такого эле-
мента можно выбрать элемент 𝑎, так как из определения
ственно вытекает, что 𝑎∈𝑎, 𝑏 и 𝑎∉𝑏, 𝑎
.
непосред-
Утверждение 2. Для любых элементов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 имеет место равен-
ство
𝑎, 𝑏𝑐, 𝑑 тогда и только тогда, когда 𝑎𝑐 и 𝑏𝑑.
3
Доказательство. Пусть
𝑎, 𝑏𝑐, 𝑑
, т. е.
𝑎,𝑎, 𝑏
𝑐,𝑐, 𝑑
Мы имеем два варианта равенства элементов:
1 𝑎𝑐,𝑎, 𝑏𝑐, 𝑑
2 𝑎𝑐, 𝑑
,
𝑎, 𝑏𝑐.
В первом случае из равенства 𝑎𝑐
втором случае если 𝑎𝑐, 𝑑
;
вытекает равенство 𝑏𝑑. Во
, то
𝑐, 𝑑, 𝑑𝑐, а этого быть не может
(например, никакой трактор не может быть деталью собственного дви-
гателя). Таким образом, справедлив только первый случай.
Пусть теперь 𝑎𝑐 и 𝑏𝑑. Докажем равенство соответствующих
упорядоченных пар. Из равенства
жеств
𝑎, 𝑏𝑐, 𝑑
. Тогда мы получим равенство множеств
элементов следует равенство мно-
.
𝑎,𝑎, 𝑏
𝑐,𝑐, 𝑑
.
Определение 2. Прямым (декартовым) произведение множеств 𝐴
и 𝐵 называется множество всевозможных упорядоченных пар, первые
координаты которых принадлежат множеству 𝐴, а вторые – множеству 𝐵, т. е.
𝑎, 𝑏|𝑎∈𝐴, 𝑏∈𝐵.
1, 3, 4
и 𝐵
1, 2, 3. Тогда
.
Например, пусть 𝐴
𝐴𝐵
1, 1;1, 2;1, 3;3, 1;3, 2;3, 3;4, 1;4, 2;4, 3
𝐴𝐵
Если элементы множества 𝐴 изобразить точками на оси OX, а элементы
множества 𝐵 – на оси OY декартовой системы координат, то множество
𝐴𝐵 будет образовано соответствующими точками плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Декартово произведение множеств
4
Рассмотрим теперь множество 𝐵𝐴:
𝐵𝐴
1, 1;1, 3;1, 4;2, 1;2, 3;2, 4;3, 1;3, 3;3, 4
.
Легко заметить, что в данном случае 𝐴𝐵 𝐵𝐴. Так, например,
элемент 4, 1
ству 𝐵𝐴. Таким образом, прямое произведение множеств
принадлежит множеству 𝐴𝐵 и не принадлежит множе-
не является
коммутативной операцией. Результатом прямого произведения двух
множеств будет множество элементов, отличных от исходных, поэтому
свойство идемпотентности также выполняться не будет, т. е. 𝐴𝐴 𝐴.
Однако операция прямого произведения дистрибутивна относительно
объединения, пересечения и разности множеств:
Утверждение 3. Для любых множеств 𝐴, 𝐵, 𝐶 имеет место
1) A B ∪C
A B∪A C
2) 𝐴𝐵∩𝐶𝐴𝐵∩𝐴𝐶
3) 𝐴𝐵\𝐶𝐴𝐵
\
𝐴𝐶
;
;
.
Доказательство. Докажем только первое свойство, оставляя дока-
зательство двух других читателю.
Пусть элемент 𝑥 принадлежит множеству 𝐴𝐵∪𝐶, тогда 𝑥
представляет собой упорядоченную пару
∈𝐵∪𝐶. Из того, что 𝑥∈𝐵∪𝐶, следует, что 𝑥∈𝐵 или 𝑥∈𝐶.
и 𝑥
Из того, что 𝑥
∈𝐴 и 𝑥∈𝐵, следует 𝑥𝑥, 𝑥
получим, что 𝑥∈𝐴𝐶. Следовательно, 𝑥∈𝐴𝐵∪𝐴𝐶
Пусть теперь 𝑥∈𝐴𝐵∪𝐴𝐶
∈𝐴𝐵 или 𝑥𝑥
имеем 𝑥𝑥
что, с одной стороны, 𝑥
, 𝑥
∈𝐴, а с другой стороны – 𝑥∈𝐵 или 𝑥∈𝐶.
. По определению объединения
, 𝑥
Тогда по определению объединения получим 𝑥
тельно, 𝑥∈𝐴𝐵∪𝐶
.
такую, что 𝑥
, 𝑥
𝑥
∈𝐴𝐵. Аналогично
∈𝐴
.
∈𝐴𝐶. Из этого вытекает,
∈𝐵∪𝐶 и, следова-
Определение 3. Пара
…
,…,𝑎
, 𝑎
𝑎
, 𝑎
называется кор-
тежем длины n (или упорядоченной n-кой) и обозначается
𝑎
, 𝑎,…,𝑎
той кортежа
. Элемент 𝑎
, 𝑎
, 𝑎,…,𝑎
𝑎
Определение 4. Прямым произведением множеств 𝐴
𝑖1, … ,𝑛
.
, 𝑎
называется i-й координа-
, 𝐴,…,𝐴
называется множество всевозможных кортежей длины n, i-я коорди-
ната которых принадлежит множеству 𝐴
𝐴
𝐴… 𝐴
𝑎, 𝑎,…,𝑎
5
𝑖1, … ,𝑛
| 𝑎
∈𝐴, 𝑖1, … , 𝑛
, т. е.
.
1.2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ
Пусть нам дано прямое произведение 𝐴 𝐵 множеств 𝐴 и 𝐵. Множество 𝐶⊆𝐴𝐵 называется соответствием между множествами 𝐴 и 𝐵.
Например, пусть 𝐴 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 и 𝐵
1,2, 3, 4, 5. Тогда одним из
примеров соответствия между множествами 𝐴 и 𝐵 является следующее
множество
упорядоченных пар: 𝐹
𝑎,1
;
𝑏,1
;
𝑐,2
;
𝑐,3
;
𝑑,4
Элементам множества 𝐴 ставятся в соответствие элементы множества 𝐵
(рис. 2).
Рис. 2. Соответствие между множествами
Множество 𝐶𝐴 𝐵 называется полным соответствием, т. е.
каждому элементу из множества 𝐴 соответствует каждый элемент множества 𝐵. Пустое множество ∅ можно рассматривать как пустое соответствие, так как ∅∈𝐴𝐵.
Множество всех элементов множества 𝐴, которым поставлены в соответствие элементы множества 𝐵, называется областью определения
𝐹
соответствия 𝐹 (обозначается 𝐷𝑜𝑚
), т. е.
.
𝐷𝑜𝑚𝐹 𝑥∈𝐴 | ∃ 𝑦:𝑥, 𝑦∈ 𝐹 .
Множество всех элементов множества 𝐵, которые поставлены в соответствие элементам множества 𝐴, называется областью значений со-
ответствия 𝐹 (обозначается 𝐼𝑚𝐹
𝐼𝑚𝐹𝑦∈𝐵 | ∃ 𝑥:𝑥, 𝑦
), т. е.
∈𝐹.
Определение 5. Соответствие 𝐹⊆𝐴𝐵 называется функцией
(или отображением), если для любого 𝑥∈𝐴 и для любых 𝑦, 𝑧∈ 𝐵 из
того, что
𝑥, 𝑦∈𝐹 и 𝑥, 𝑧∈𝐹, следует, что 𝑦𝑧.
6
Таким образом, соответствие 𝐹 называется функциональным, если
каждому элементу 𝑥 из множества 𝐴 ставится в соответствие ровно
один элемент из 𝐵 (рис. 3). Очевидно, что если соответствие 𝐹⊆𝐴𝐵
является отображением, то выполняются условия 𝐷𝑜𝑚𝐹𝐴 и
𝐼𝑚𝐹⊂𝐵.
Рис. 3. Отображение
Далее для обозначения отображений будем использовать прописные
латинские буквы и функциональную запись: вместо 𝐹⊆𝐴𝐵 будем
записывать 𝑓: 𝐴→𝐵 и вместо 𝑥, 𝑦∈𝐹 будем записывать 𝑓𝑥𝑦.
Примером отображения может служить любая числовая функция
(например, 𝑦√𝑥
), где 𝐴 совпадает с областью допустимых значений
данной функции.
Если 𝐷𝑜𝑚𝑓𝐴 и 𝐼𝑚𝑓𝐵, то говорят, что 𝑓 отображает 𝐴 на
𝐵 (обозначается 𝑓: 𝐴
на
→ 𝐵). Отображение «на» называют также сюръек-
тивным отображением.
Два отображения 𝑓 и 𝑔, определенные на одном и том же прямом
произведении 𝐴𝐵, называются равными, если они равны как множе-
ства, т. е. пара
она принадлежит 𝑔 . Например, отображения 𝑓
и 𝑔𝑥𝑥
Заметим, что если 𝑓𝑔, то 𝐷𝑜𝑚𝑓𝐷𝑜𝑚𝑔 и 𝐼𝑚𝑓𝐼𝑚𝑔
𝑥, 𝑦∈𝐴𝐵 принадлежит 𝑓 тогда и только тогда, когда
1 равны.
𝑥𝑥1𝑥1
Однако обратное утверждение не всегда справедливо. Например, отоб-
ражения 𝑓𝑥𝑥
и 𝑔𝑥𝑥
имеют равные области определения
и области значения, но все же не являются равными, так как имеют
только один общий элемент – пару 0, 0.
.
7
Пусть 𝐶⊆𝐴. Множество 𝑓𝐶𝑓𝑥|𝑥∈𝐶 всех тех элементов
из 𝐵, в которые отображаются элементы множества 𝐶, называется обра-
зом множества 𝐶 при отображении 𝑓.
𝐷
Пусть 𝐷⊆𝐵. Множество 𝑓
𝑥∈𝐴 | 𝑓𝑥∈𝐷 всех тех эле-
ментов из 𝐴, которые отображаются в элементы множества 𝐷, называется прообразом множества 𝐷 при отображении 𝑓.
Пусть 𝐹⊆𝐴
𝒏𝟏 переменных, если для любого кортежа 𝑥
найдется такой элемент 𝑦∈𝐵, что 𝑥
сто 𝐹⊆𝐴
сто
,…,𝑥, 𝑦∈𝐹 будем записывать 𝑓𝑥,…,𝑥
𝑥
… 𝐴𝐵. Множество 𝐹 называется функцией от
,…,𝑥
,…,𝑥, 𝑦∈𝐹. В этом случае вме-
∈𝐴
… 𝐴
… 𝐴𝐵 будем записывать 𝑓: 𝐴… 𝐴→𝐵, и вме-
𝑦.
1.3. КОМПОЗИЦИЯ СООТВЕТСТВИЙ
Пусть нам даны два соответствия 𝑓⊆𝐴𝐵 и 𝑔⊆𝐵𝐶. Множе-
ство
𝑓∘𝑔
𝑥, 𝑦| ∃ 𝑧:𝑥, 𝑧∈𝑓,𝑧, 𝑦∈𝑔
называется композицией соответствий 𝑓 и 𝑔.
Утверждение 4. Композиция отображений 𝑓: 𝐴→𝐵 и 𝑔: 𝐵→𝐶
также является отображением 𝑓∘𝑔: 𝐴→𝐶.
Доказательство. Так как
𝑓 – отображение 𝐴 в 𝐵, то 𝑓𝐴⊂𝐵. Аналогично имеем 𝑔𝐵⊂𝐶. Следовательно, если все множество 𝐵 отображается в собственное подмножество множества 𝐶, то его подмноже-
ство также будет отображаться в собственное подмножество множе-
ства 𝐶 (рис. 4).
Допустим теперь, что найдутся такие элементы 𝑥∈𝐴, 𝑧
𝐶 𝑧
𝑧
∈𝑓∘𝑔 и 𝑥, 𝑧
, что (𝑥, 𝑧
композиции соответствий найдутся такие элементы 𝑦
Если 𝑦
∈𝑓,𝑦
𝑥, 𝑦
𝑦, то соответствие 𝑔 не будет отвечать условию функци-
∈ 𝑔,
, 𝑧
∈𝑓∘𝑔. Тогда по определению
, 𝑦∈𝐵, что
𝑥, 𝑦
∈𝑓,𝑦
∈𝑔.
, 𝑧
ональности, что противоречит условию утверждения. Если же 𝑦
, 𝑧∈
𝑦
то соответствие 𝑓 не будет являться функциональным, а это также про-
тиворечит условию утверждения.
8
,
Рис. 4. Композиция отображений
Следовательно, наше предположение о том, что найдутся такие 𝑧𝑧
было ошибочным и соответствие 𝑓∘𝑔 является отображением.
Утверждение 5. Пусть 𝑓: 𝐴→𝐵, 𝑔: 𝐵→𝐶, ℎ: 𝐶→𝐷 являются
отображениями. Тогда 𝑓∘𝑔∘ℎ𝑓∘𝑔∘ℎ.
Доказательство. Допустим, что закон ассоциативности для ком-
позиции функциональных соответствий не выполняется. Тогда
найдется такой элемент 𝑎∈𝐷𝑜𝑚𝑓∘𝑔∘ℎ, что 𝑓 ∘𝑔∘ℎ𝑎𝑑
𝑓∘𝑔∘ℎ𝑎𝑑, где 𝑑 𝑑
и
.
Из 𝑓 ∘𝑔∘ℎ𝑎𝑑 по определению композиции следует суще-
ствование такого элемента 𝑏, что 𝑓𝑎𝑏 и 𝑔∘ℎ 𝑏𝑑. Далее,
найдется элемент 𝑐 такой, что 𝑔𝑏𝑐 и ℎ𝑐𝑑.
Рассуждая аналогичным образом, получим 𝑓𝑎𝑏
𝑐
, ℎ𝑐
𝑑
. Далее, элементы 𝑏 и 𝑏
должны совпадать, так как со-
, 𝑔𝑏
ответствие 𝑓 является отображением. Аналогичным рассуждением получим равенство 𝑐𝑐
, а затем 𝑑𝑑
. А это противоречит изначаль-
ному предположению.
Утверждение 6. Если 𝑓: 𝐴→𝐵 и 𝑔: 𝐵→𝐶 являются сюръектив-
ными отображениями, то и их композиция 𝑓∘𝑔: 𝐴→𝐶 также явля-
ется сюръективным отображением.
Доказательство. Допустим, что отображение 𝑓∘𝑔 не является
отображением «на». Тогда найдется такой элемент 𝑐∈𝐶, что для лю-
бого элемента 𝑎∈𝐴 пара
𝑎, 𝑐 не принадлежит композиции 𝑓∘𝑔.
,
9
С другой стороны, отображение 𝑔 является сюръективным отображением, значит, найдется хотя бы один элемент 𝑏 такой, что 𝑔𝑏𝑐.
А так как отображение 𝑓 также является отображением «на», то найдется
по крайней мере один элемент 𝑎 такой, что 𝑓𝑎𝑏.
Тогда по определению композиции получим 𝑓∘𝑔
𝑎𝑐, что про-
тиворечит изначальному предположению.
Утверждение 7. Пусть 𝑓, 𝑔, ℎ – отображения, удовлетворяющие
условию 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝐷𝑜𝑚ℎ⊆𝐼𝑚𝑓. Тогда если 𝑓∘𝑔𝑓∘ℎ, то 𝑔ℎ.
Доказательство. Выберем произвольно элемент 𝑦∈𝐷𝑜𝑚𝑔
В силу условия утверждения найдется такой элемент 𝑥, что 𝑓𝑥𝑦.
Тогда мы имеем
𝑔𝑦𝑓∘𝑔 𝑥𝑓∘ℎ 𝑥ℎ𝑦
.
1.4. ИНЪЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
Соответствие 𝑓 называется инъективным (или разнозначным),
если для любых элементов 𝑥, 𝑦∈𝐷𝑜𝑚𝑓 из равенства 𝑓𝑥𝑓𝑦
следует 𝑥𝑦.
Отображение 𝑓: 𝐴→𝐵 инъективно, если каждый элемент из 𝐴 явля-
ется образом ровно одного элемента из
Рис. 5. Инъективное отображение
𝐵 (рис. 5).
Далее, инъективное отображение будем обозначать как
𝑓: 𝐴
𝐵.
.
Утверждение 8. Композиция инъективных отображений также
является инъективным отображением.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]