Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
показаны две плоские укладки одного графа. В левой укладке есть две
грани, границы которых являются простыми циклами длины 5. В правой укладке таких граней нет, но есть грани, ограниченные циклами
длины 4 и 6. Однако число граней, как показывает следующая теорема,
не зависит от укладки, т. е. является инвариантом планарного графа.
Рис. 38. Различные укладки плоского графа
Теорема (формула Эйлера). Количество граней в любой плоской
укладке планарного графа, имеющего 𝑛 вершин, 𝑚 ребер и 𝑘 компонент
связности, равно 𝑚𝑛𝑘1.
Доказательство. Докажем сначала утверждение теоремы при 𝑘1.
Рассмотрим связный плоский граф 𝐺. Если в нем нет циклов, то имеется
единственная грань, а 𝑚𝑛1, и формула верна. Если же есть хотя
бы один цикл, то возьмем какое-нибудь ребро 𝑢, принадлежащее простому циклу 𝐶. Это ребро принадлежит границе двух граней, одна из
которых целиком лежит внутри цикла 𝐶, а другая – снаружи. Если удалить ребро 𝑢 из графа, то эти две грани сольются в одну. Граф 𝐺
, полу-
ченный из графа 𝐺 удалением ребра 𝑢, очевидно, будет плоским и связным, в нем на одно ребро и на одну грань меньше, чем в 𝐺, а число вершин осталось прежним. Если в 𝐺
цикловое ребро, получим граф 𝐺
вых ребер до тех пор, пока не получится связный плоский граф 𝐺
еще есть циклы, то, удалив еще одно
. Будем продолжать удаление цикло-
без
циклов, т. е. дерево. У него 𝑛1 ребро и единственная грань. Значит,
всего было удалено 𝑟𝑚𝑛1 ребер, а так как при удалении каж-
дого ребра число граней уменьшалось на единицу, то в исходном графе
было 𝑚𝑛2 граней. Таким образом, формула верна для любого
связного плоского графа.
Если граф несвязен, то в компоненте связности, имеющей 𝑛
вершин
и 𝑚 ребер, как доказано выше, будет 𝑚𝑛1 внутренняя грань.
Суммируя по всем компонентам и прибавляя единицу для учета внешней грани, убеждаемся в справедливости формулы в общем случае.
61
Теорема Курцвайля. Граф 𝐺, содержащий 𝑛 вершин (при 𝑛 3)
и 𝑚 ребер, является планарным, если 𝑚 3𝑛 6.
На рис. 39, a показан граф, отвечающий условию Курцвайля:
𝑛8, 𝑚12.
a b
Рис. 39. Примеры графов:
a – планарный граф; b – не планарный граф
Граф, изображенный на рис. 39, b, не является планарным.
4.10. УПРАЖНЕНИЯ
1. Города страны соединены авиалиниями. Из столицы выходит 21
линия, из города Дальний одна, а из каждого из остальных городов по
двенадцать линий. Докажите, что из столицы можно долететь до города
Дальний (возможно, с пересадками).
2. Покажите, что если в графе имеется ровно
две вершины нечетной
степени, то их можно соединить маршрутом.
3. Турист, который приехал в Москву на поезде, весь день гулял по
городу. Поужинав на Манежной площади, он решил вернуться на вокзал, следуя по тем улицам, которые уже проходил нечетное число раз.
Докажите, что такое возвращение возможно.
4. В компании, состоящей из
пяти человек, среди любых трех чело-
век найдутся двое знакомых и двое незнакомых друг с другом. Докажите, что компанию можно рассадить за круглым столом так, чтобы по
обе стороны от каждого человека сидели его знакомые.
62
5. Известно, что в компании, состоящей не менее чем из четырех че-
ловек, каждый человек знаком не менее чем с половиной присутствующих. Докажите, что можно выбрать из компании четырех человек и рассадить их за круглым столом так, что каждый из них будет сидеть рядом
со своими знакомыми.
6. В парке
«Лотос» невозможно найти такой маршрут для прогулок
по его дорожкам, который начинается и оканчивается в одной и той же
точке и каждую дорожку парка содержит не более раза. Докажите, что
некоторые дорожки парка приводят в тупик.
7. Администрация парка «Лотос» решила провести реконструкцию
освещения парка. По новому проекту каждый перекресток и
тупик должен будет освещаться четырьмя светильниками, а алея, соединяющая
два перекрестка или перекресток и тупик, – шестью. Сколько светильников будет установлено, если в парке 18 перекрестков и тупиков?
8. На пир при дворе короля Артура собралось четное число рыцарей,
которые либо дружат, либо враждуют. Оказалось, что у каждого из рыцарей
друзей больше, чем врагов. Доказать, что волшебник Мерлин может так рассадить рыцарей за круглым столом, что справа и слева от
каждого из них будет сидеть друг.
63
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алескеров Ф. Т. Бинарные отношения, графы и коллективные решения /
Ф. Т. Алескеров, Э. Л. Хабина, Д. А. Шварц. – 2-е изд. – Москва : Физматлит,
2012. – 344 с.
2. Новиков Ф. А. Дискретная математика : учебник для вузов / Ф. А. Нови-
ков. – 2-е изд. – Санкт-Петербург :Питер, 2013. – 432 с.
3. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов / Р. Хаггарти. –
2-е изд. – Москва : Техносфера, 2012. – 400 с.
64
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Отображения ........................................................................................... 3
1.1. Прямое произведение множеств .................................................................. 3
1.2. Соответствия между множествами .............................................................. 6
1.3. Композиция соответствий ............................................................................ 8
1.4. Инъективные соответствия ......................................................................... 10
1.5. Обратимые отображения ............................................................................ 12
1.6. Упражнения.................................................................................................. 13
Глава 2. Понятие мощности ............................................................................... 16
2.1. Равномощные множества ............................................................................ 16
2.2. Счетные множества ..................................................................................... 18
2.3. Несчетные множества ................................................................................. 22
2.4. Теорема Кантора .......................................................................................... 24
2.5. Парадоксы теории множеств ...................................................................... 25
2.6. Упражнения.................................................................................................. 27
Глава 3. Отношения ............................................................................................ 29
3.1. Операции над отношениями ....................................................................... 29
3.2. Свойства бинарных отношений ................................................................. 30
3.3. Отношение эквивалентности ...................................................................... 31
3.4. Отношения порядка ..................................................................................... 34
3.5.
Минимальные, максимальные, наименьшие и наибольшие элементы .. 35
3.6. Упражнения.................................................................................................. 37
Глава 4. Графы ..................................................................................................... 45
4.1. Основные определения ............................................................................... 45
4.2. Смежность, инцидентность, степени ......................................................... 47
65
4.3. Маршруты, пути, циклы ............................................................................. 48
4.4. Связность и компоненты............................................................................. 50
4.5. Метрические характеристики графов ........................................................ 51
4.6. Эйлеровы пути и циклы .............................................................................. 52
4.7. Деревья ......................................................................................................... 55
4.8. Двудольные графы ...................................................................................... 57
4.9. Планарные графы ........................................................................................ 60
4.10. Упражнения................................................................................................ 62
Библиографический список .................................................................................. 64
66
Яхъяева Гульнара Эркиновна
ОСНОВЫ ЛОГИКИ
ДЛЯ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКОВ
ОТОБРАЖЕНИЯ И ОТНОШЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор Е.Е. Татарникова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
__________________________________________________________________________
Подписано в печать 28.12.2024. Формат
Уч.-изд. л. 3,95. Печ. л. 4,25. Изд. № 134. Заказ № 27. Цена договорная
__________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 25 экз.
67
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]