Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству счетности множества рациональных чисел. Оставляем его читателю.
Очевидно, что множество ℕ
ℕℕ является счетным (как част-
ный случай Утверждения 16 ). Взаимно однозначная функция 𝑐: ℕ
имеющая вид
𝑐𝑥, 𝑦
,
называется канторовской нумерующей функцией.
Утверждение 17. Объединение счетного числа счетных множеств
образует счетное множество.
→ℕ,
Доказательство. Пусть 𝐴𝑎
𝐵𝑏
, 𝑏, 𝑏
,…
– второе множество, 𝐶𝑐, 𝑐, 𝑐
, 𝑎, 𝑎
,… – первое множество,
,… – третье мно-
жество и т. д. Запишем эти множества одно под другим. Тогда достаточно лишь расположить все элементы в том порядке, который указан
стрелками на рис. 12.
Рис. 12. Счетность объединения счетного
числа счетных множеств
Данный метод перечисления элементов множества принято называть диагональным методом.
21
2.3. НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Огромное количество счетных множеств, получаемых разнообразными способами, может навести на мысль, что вообще все бесконечные
множества счетные. Однако это далеко не так.
Теорема о существовании несчетного множества. Мощность еди-
ничного интервала более, чем счетна, т. е.
‖
0; 1‖‖ℕ
‖
.
Доказательство. Каждое действительное число x из
0; 1 можно представить в виде бесконечной последовательности цифр
0, 1,..., 9.
Допустим, что множество 0; 1 счетно. Тогда мы можем пронуме-
ровать эти последовательности и расположить одну под другой, в один
столбец (рис. 13).
1:
11 12 13
2:
21 22 23
....
i
123
ii i
...
...
...
интервала
....
Рис. 13. Метод диагонализации
Построим теперь последовательность β, β, β
разом:
1, если α 9,
α
1, если α 9,
α
α
, α, α
,…
β
где 𝑖∈ℕ.
Полученная последовательность также представляет некоторое дей-
ствительное число из интервала 0; 1, поэтому она должна быть пере-
числена в нашей таблице. Допустим, что в таблице она стоит под номером j, т. е. имеет вид
,…, следующим об-
22
Тогда мы получим βα
вательности β
, β, β
,….
, что противоречит построению последо-
Таким образом, мы показали, что все действительные числа из ин-
тервала 0; 1 перечислить нельзя. При каждой такой попытке всегда
будут оставаться числа, которые не были перечислены.
Определение 9. Мощность единичного интервала 0; 1 называют
континуумом и обозначают символом 𝑐.
Утверждение 18. Мощность множества действительных чисел
континуальна, т. е.
‖ℝ‖
𝑐
.
Доказательство утверждения следует из построения взаимно одно-
значного соответствия между единичным интервалом и прямой (рис. 14).
Рис. 14. Взаимно однозначное соответствие
между отрезком и прямой
Утверждение 19. Если
‖𝐴‖
𝑐 и ‖𝐵‖𝑐, тогда ‖𝐴𝐵‖𝑐.
Доказательство. Пусть множества A и B имеют мощность 𝑐, следо-
вательно, существует взаимно однозначное отображение этих множеств
на интервал 0; 1 действительных чисел. Допустим, что эти отображения переводят элементы 𝑎∈𝐴 и 𝑏∈𝐵 в некоторые действительные
числа из
интервала 0; 1, т. е.
𝑎↦0, α
αα
… и 𝑏↦0, β
…
Тогда отображение
𝑎, 𝑏↦ 0, α
βαβαβ
…
будет взаимно однозначно отображать множество 𝐴𝐵 на единичный
интервал. Следовательно,
‖
𝐴𝐵‖𝑐.
Следствие 2. Множества точек прямой и плоскости равномощны.
23
2.4. ТЕОРЕМА КАНТОРА
Пусть
‖𝐴‖
ω и ‖𝐵‖𝑐. Мы показали, что ‖𝐴‖‖𝐵
‖
. Возни-
кает вопрос: существует ли такое бесконечное множество 𝐶, что
‖𝐴‖‖𝐶‖‖𝐵‖
деле очень сложен. Как выяснилось, его решение относится к классу
? Такой на первый взгляд простой вопрос на самом
не-
разрешимых проблем, т. е. он в принципе не может быть решен. По-
этому факт того, что такого множества 𝐶 не существует, обычно прини-
мают за аксиому, которую принято называть континуум-гипотезой.
И конечно же, никто больше не пытается этого доказывать.
Пусть нам дано некоторое бесконечное множество 𝐴. Через ρ𝐴
обозначим
множество всех подмножеств, множества 𝐴, т. е.
ρ𝐴𝐵 | 𝐵⊆𝐴
.
Кантором была доказана следующая теорема.
Теорема Кантора. Мощность любого множества строго меньше
мощности множества всех его подмножеств, т.е.
‖𝐴‖‖
ρ𝐴
‖
.
Доказательство. Рассмотрим отображение 𝑓: 𝑎↦𝑎. Очевидно,
что 𝑓 – разнозначно (так как если 𝑎
‖𝐴‖‖
Предположим, что
ρ𝐴
‖
.
‖𝐴‖‖ρ𝐴‖
𝑎⇒𝑓𝑎 𝑓𝑎). Значит
. Следовательно, существует
ℎ: 𝐴→ ρ𝐴 взаимно однозначное отображение. Элемент 𝑎 будем
называть «хорошим» тогда и только тогда, когда 𝑎∉ℎ𝑎. Пусть 𝐻
𝑎 | 𝑎 –«хороший» 𝑎 | 𝑎 ∉ ℎ𝐴 . Очевидно
, 𝐻⊆𝐴. Следова-
тельно, 𝐻∈𝜌𝐴. Значит, существует 𝑏 такой, что ℎ𝑏 𝐻.
Если 𝑏 – «хороший», то 𝑏∉ℎ𝑏. Следовательно, 𝑏∉𝐻, т. е. 𝑏 –
«плохой». Пришли к противоречию.
Если 𝑏 – «плохой», то 𝑏∈ℎ𝑏. Следовательно, 𝑏∈𝐻, т. е. 𝑏 – «хо-
роший». Пришли к противоречию.
Таким образом, мы доказали, что такого ℎ не существует. Значит
‖
𝐴‖‖ρ𝐴
‖
.
Следствие 3. Существует бесконечно много бесконечных мощностей.
24
Доказательство. Рассмотрим некоторое бесконечное множество 𝐴.
По теореме Кантора мы получим
‖𝐴‖
‖ρ𝐴‖ ‖ρρ𝐴‖ …
Продолжая таким образом порождать новые множества, мы будем
получать множества все больших и больших мощностей. Следовательно, существует бесконечное число различных бесконечных мощностей.
2.5. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Парадокс Кантора – парадокс теории множеств, открытый Кантором около 1899 г., который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведет к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого
множества возможно.
Формулировка парадокса Кантора: допустим, что существует мно-
жество всех подмножеств. Пусть 𝔸 𝐵 | 𝐵 – множество. Тогда любое множество 𝐵 является подмножеством множества 𝔸, т. е.
𝐵∈𝔸 ⟹ 𝐵⊆𝔸.
Рассмотрим степень-множество ρ𝔸
‖𝔸‖‖ρ𝔸‖
, но так как
ρ𝔸 – это множество, то ρ𝔸∈𝔸. Следова-
тельно, ρ𝔸⊆𝔸. Значит, ‖𝜌𝔸‖‖𝔸
. По теореме Кантора имеем
‖
. Приходим к противоречию.
Парадокс Кантора обнаружил необходимость пересмотра «наивной
теории множеств» и стимулировал разработку строгой аксиоматики
теории множеств.
Парадокс Рассела был открыт в 1903 г. Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрыт Э. Цермело. Этот парадокс считается самым главным парадоксом теории множеств, который демонстрирует
противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора.
Формулировка парадокса Рассела: назовем множество «обыч-
ным» в том случае, если оно не является элементом самого себя. Напри-
мер, множество яблок является «обычным», так как само множество не
является яблоком, а является некой их совокупностью.
25
С другой стороны, множество назовем «необычным», если оно является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит
множество всех множеств 𝔸.
Парадокс Рассела возникает тогда, когда начинают рассматривать
множество всех обычных множеств, которое получило название «рас-
селовское», и пытаются понять, является ли оно «обычным» или нет.
Пусть 𝔹 𝐴 | 𝐴 ∉𝐴
– расселовское множество. Допустим, что
множество 𝔹 – обычное. Тогда, с одной стороны, 𝔹 ∈𝔹, так как 𝔹 яв-
ляется множеством всех обычных множеств. С другой стороны, 𝔹 ∉𝔹
по определению обычного множества. Следовательно, наше предполо-
жение, что 𝔹 – обычное множество, неверно.
Допустим теперь, что 𝔹 – необычное множество. Тогда по определению необычного множества получаем, что 𝔹 ∈𝔹. Поскольку все эле-
менты множества 𝔹 являются обычными множествами, то и само множество 𝔹 должно быть обычным.
Мы опять пришли к противоречию, т. е. множество 𝔹 также не мо-
жет быть и необычным.
Как и парадокс Кантора, парадокс Рассела возникает при введении
в рассмотрение понятия множества всех множеств.
Существует множество различных «житейских» интерпретаций парадокса Рассела. Самый старый вариант, известный еще с античности –
это «парадокс лжеца». Самой же популярной интерпретацией является
«парадокс брадобрея».
Парадокс лжеца. Человек говорит, что он лжёт. То, что он говорит –
истина или ложь?
Парадокс брадобрея. В одном полку жил-был полковой парикмахер, которого по историческим причинам называют брадобреем. Однажды командир приказал ему брить тех и только тех, кто не бреется сам.
Брадобрей, получив приказ, сначала
обрадовался, потому что многие
солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенёк и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он
будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было
, что брить себя не будет. Но тут
его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется,
26
что он сам не бреется, и по приказу командира он должен все-таки себя
побрить.
Что с ним стало, история умалчивает…
2.6. УПРАЖНЕНИЯ
1. Известно, что
‖ρ𝑋‖
= 128. Найти
‖𝑋‖
.
2. Дано множество 𝐴. Когда из него удалили три элемента, получи-
лось множество, множество-степень которого содержит 64 элемента.
𝐴‖
Найти
‖
3. Известно, что
.
ρ
‖ρ𝑋‖
16. В множество 𝑋 добавили несколько
элементов. Получилось новое множество 𝑌 , для которого верно
‖ρ𝑌‖
1024. Найти разность ‖𝑌‖‖𝑋
‖
.
4. Множество 𝑃 имеет 56 собственных подмножеств, среди которых
нет ни одного одноэлементного подмножества. Найти
5. Множество 𝑷
имеет 27 подмножеств, среди которых нет ни од-
‖ρ𝑃‖
.
ного одноэлементного подмножества. В множество 𝑷 добавили два элемента. Получилось множество 𝑸. Найти ‖𝛒𝑸
‖
.
6. Найти мощность множеств 𝐴∪𝐵 и 𝐴∩𝐵, если
; 𝐵
𝑎, 𝑏, 𝑐
6, 7, 8, 9;
2, 3, 4, 5;
.
а) 𝐴𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝐵
б) 𝐴
1, 2, 3, 4
в) 𝐴∅; 𝐵
7. Пусть
‖𝐴‖
𝑛 и ‖𝐵‖𝑚. Что можно сказать о мощностях мно-
жеств 𝐴∪𝐵 и 𝐴∩𝐵?
8. Известно, что
мента. Получили множество 𝐵
‖
𝐴𝐵‖ 49. Множество 𝐵 увеличили на три эле-
. Найти
‖
𝐴𝐵
‖
. (Найти все решения.)
9. Даны множества 𝐴, 𝐵, 𝐶. Известно, что 𝐴⊂𝐵⊂𝐶, ‖𝐴∪𝐵∪𝐶‖ 3
и 𝐴∅ Найти ‖𝐴
‖,‖𝐵‖,‖𝐶‖,‖
℘𝐵 ∩ 𝐶
‖
.
10. Показать, что множество целых чисел равномощно множеству
натуральных чисел.
11. Показать, что множество четных чисел равномощно множеству
натуральных чисел.
27
12. Показать, что если из счетного множества удалить конечное под-
множество, то оставшееся множество будет счетным.
13. Пусть множества 𝐴 и 𝐵 счетны. Будут ли счетными множества
𝐴∪𝐵, 𝐴∩𝐵 и 𝐴⨂𝐵?
14. Пусть множества 𝐴
,.𝐴,…,𝐴
– счетны. Показать, что множе-
ство
𝐴
∪𝐴
∪… ∪𝐴
также счетно.
15. Пусть множества 𝐴 и 𝐵 счетны. Показать, что множество 𝐴𝐵
счетно.
16. Показать, что множество рациональных чисел счетно.
17. Пусть множество 𝐴 счетно. Показать, что для любого 𝑛∈ℕ мно-
жество 𝐴
также будет счетным.
18. Показать, что два отрезка равномощны.
19. Показать, что две окружности равномощны.
20. Показать, что отрезок и прямая равномощны.
28
𝐴
Глава 3
ОТНОШЕНИЯ
3.1. ОПЕРАЦИИ НАД ОТНОШЕНИЯМИ
Отношение – это математическое понятие, которое описывает связь
или соотношение между элементами данного множества, что позволяет
описать взаимосвязь между элементами множества.
Определение 10. Под 𝑛-местным отношением понимают подмно-
жество 𝑅 прямого произведения n множеств:
𝑅⊆𝐴𝐴...𝐴.
Мы будем рассматривать только бинарные отношения, т. е. являю-
щиеся подмножеством множества 𝐴𝐴𝐴
.
Поскольку бинарные отношения на множестве 𝐴 задаются как под-
множества 𝑅⊆𝐴
, то для них определены те же операции, что и над
множествами:
1 𝑅
2 𝑅
3 𝑅
4 𝑅
∪𝑅
∩𝑅
\𝑅
〈
𝑎, 𝑏
〈
𝑎, 𝑏
〉
〈
𝑎, 𝑏
〈
𝑎, 𝑏
|
〉
〈
|
𝑎, 𝑏〉∈𝑅 или 〈𝑎, 𝑏〉∈𝑅
〉
〈
|
𝑎, 𝑏〉∈𝑅 и 〈𝑎, 𝑏〉∈𝑅
〉
〈
|
𝑎, 𝑏〉∈𝑅 и 〈𝑎, 𝑏〉∉𝑅
〈
𝑎, 𝑏〉∈
и 〈𝑎, 𝑏〉∉𝑅
(объединение);
(пересечение);
(разность);
(дополнение).
Кроме того, определяют другие операции над отношениями, в том
числе
5 𝑅
〈
𝑎, 𝑏
〉 |〈
𝑏, 𝑎〉∈𝑅
(обратное отношение).
29
Например, если 𝑅 – «быть моложе», то 𝑅
– «быть старше».
6 𝑅
∘𝑅
〈
〉
|
𝑎, 𝑏
∃с: 〈𝑎, с〉∈𝑅 и 〈с, 𝑏〉∈𝑅
(композиция
отношений).
7) Транзитивное замыкание:
введем обозначения
𝑅∘𝑅, 𝑅
𝑅
𝑅
∘𝑅, 𝑅
𝑅
∘𝑅 …
Тогда транзитивное замыкание определяется как бесконечное объединение:
〈
𝑎, 𝑏
𝑅∪𝑅
𝑅
Другими словами, пара
нию 𝑅
𝑐
〈
𝑐
, если найдется такая конечная последовательность элементов
𝑎, 𝑐, 𝑐
, ..., с
𝑏 из множества A, что пары 〈𝑎, 𝑐
n
, 𝑏〉 принадлежат отношению 𝑅.
Например, пусть 𝑅 – «быть сыном». Тогда 𝑅
ком», 𝑅
)
– «быть правнуком» и т. д. Следовательно, 𝑅
∪𝑅
〉
принадлежит транзитивному замыка-
∪𝑅
∪ …
〉, 〈
𝑐
, 𝑐
)
– «быть вну-
является от-
〉
, ...,
ношением «быть прямым потомком».
3.2. СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ
Пусть 𝑅⊆𝐴
– некоторое бинарное отношение.
1. 𝑅 рефлексивно, если для любого элемента 𝑎∈𝐴 имеем 〈𝑎, 𝑎〉∈𝑅.
Например, пусть 𝐴 – множество людей. Тогда отношение «люди x и y
живут в одном городе» является рефлексивным.
2. 𝑅 иррефлексивно, если для любого элемента 𝑎∈𝐴 имеет ме-
〈
сто
𝑎, 𝑎〉∉𝑅. Например,
отношение «человек x сын человека y» ирре-
флексивно, так как ни один человек не может быть сыном самого себя.
Заметим, что если некоторое отношение является рефлексивным, то
оно уже не может быть иррефлексивным, и наоборот – если отношение
иррефлексивно, то оно уже не может быть рефлексивным. Однако это
не взаимно исключающие понятия
. Отношение 𝑅 может не обладать ни
тем ни другим свойством. Например, отношение «человек x обеспечи-
вает материально человека y» не является ни рефлексивным, ни иррефлексивным.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]