Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
Доказательство. Пусть 𝑓: 𝐴→𝐵 и 𝑔: 𝐵→𝐶 – инъективные отобра-
жения. Согласно Утверждению 4 соответствие 𝑓∘𝑔 также будет отоб-
ражением. Докажем инъективность этого отображения.
Допустим, что композиция 𝑓∘𝑔 не является инъективным соответ-
ствием. Тогда найдется по крайней мере один элемент 𝑐∈𝐼𝑚𝑓∘𝑔,
для которого существуют 𝑎
𝑓∘𝑔 𝑎
𝑓∘𝑔 𝑎
такие элементы 𝑏
𝑐. По определению композиции, существуют
, 𝑏∈𝐼𝑚𝑓, что
𝑓∘𝑔 𝑎
𝑔𝑏
Если предположить, что 𝑏
, 𝑎∈𝐷𝑜𝑚𝑓∘𝑔 (где 𝑎𝑎
𝑏
и 𝑓∘𝑔 𝑎
, то приходим к противоречию с тем,
𝑔𝑏
.
) такие, что
что 𝑓 инъективно.
𝑏
Предположение 𝑏
противоречит инъективности соответ-
ствия 𝑔. Других вариантов у нас нет, следовательно (методом доказа-
тельства от противного), теорема доказана.
Отображение, одновременно являющееся и инъективным, и сюръективным, называется взаимно однозначным отображением (или биек-
цией). Если 𝑓 взаимно однозначно отображает 𝐴 на 𝐵, то будем записывать 𝑓: 𝐴 ⇉𝐵. Суть взаимно
однозначного отображения в том, что каж-
дому элементу из множества 𝐴 ставится в соответствие только один элемент из множества 𝐵 и в множестве 𝐵 нет элементов, которые не соответствуют ни одному элементу из 𝐴 (рис. 6.
Рис. 6. Взаимно однозначное отображение
Пусть 𝑓 – некоторое соответствие. Через 𝑓
будем обозначать об-
ратное соответствие, определенное следующим образом:
𝑦, 𝑥
11
|
𝑥, 𝑦∈𝑓.
𝑓
Заметим, из того, что 𝑓 – отображение, не следует, что соответствие
𝑓
является отображением. Например, пусть 𝑓𝑥𝑥
ветствие 𝑓
нуля) из области определения 𝑓
не является отображением, так как каждый элемент (кроме
имеет по два образа.
. Тогда соот-
Утверждение 9. Отображение 𝑓 является взаимно однозначным
тогда и только тогда, когда отображение 𝑓
также является вза-
имно однозначным.
1.5. ОБРАТИМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Отображение 𝑖
: 𝐴→𝐴 такое, что 𝑖
𝑥
𝑥 для каждого 𝑥 из 𝐴,
называется тождественным отображением множества 𝐴 на себя.
Утверждение 10. Пусть отображение 𝑓: 𝐴→𝐵 является разнознач-
ным. Тогда
𝑖
𝑓∘ 𝑓
Доказательство. Пусть соответствие 𝑓∘ 𝑓
.
не является тожде-
ственным отображением. Тогда найдутся такие элементы 𝑥, 𝑦∈𝐴 𝑥 𝑦,
что 𝑓∘ 𝑓
𝑥 𝑦.
Следовательно, по определению композиции должен существовать
такой элемент 𝑧∈𝐴, что 𝑓𝑥 𝑧 и 𝑓
𝑧 𝑦. Из равенства 𝑓𝑧 𝑦,
в свою очередь, следует, что 𝑓𝑦 𝑧. Тем самым мы получаем, что эле-
менты 𝑥 и 𝑦 имеют общий образ, а это противоречит инъективности
отображения 𝑓.
Утверждение 11. Если 𝑓: 𝐴→𝐵, то 𝑓
∘𝑓𝑖
.
Определение 6. Пусть соответствия 𝑓: 𝐴→𝐵 и 𝑔: 𝐵→𝐴 являются
сюръективными отображениями. Тогда если 𝑓∘𝑔𝑖
𝑔∘𝑓 𝑖, то
отображение 𝑓 называется обратимым справа (слева), а отображе-
ние 𝑔 называется обратным слева (справа) к отображению 𝑓. Отоб-
ражение, обратимое и справа, и слева, называется обратимым.
Утверждение 12. Если 𝑓 – взаимно однозначное отображение, то
f – обратимое отображение и 𝑓
является обратным отображением
к отображению 𝑓.
12
Доказательство непосредственно вытекает из Утверждения 11.
Утверждение 13. Если отображения 𝑓 и 𝑔 обратимы, то обра-
тима и их композиция, более того
𝑓∘𝑔
𝑔∘𝑓
.
Доказательство. Докажем сперва равенство отображений:
𝑥, 𝑦∈𝑓∘𝑔
⟺ ∃𝑧:𝑧, 𝑦∈𝑓
⟺ 𝑦, 𝑥∈𝑓∘𝑔 ⟺ ∃𝑧:𝑦, 𝑧∈𝑓,𝑧, 𝑥∈𝑔 ⟺
,
𝑥, 𝑧∈𝑔 ⟺ 𝑥, 𝑦∈𝑔∘𝑓
Покажем теперь, что композиция 𝑓∘𝑔 обратима. Для этого нам по-
требуется Утверждение 5.
𝑓∘𝑔∘𝑔∘𝑓
∘𝑓
𝑓∘𝑖∘𝑓𝑓∘𝑓𝑖
.
𝑓∘𝑔∘𝑓∘𝑔
𝑓∘𝑔∘𝑔
1.6. УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие из следующих рисунков задают отображения?
2. Найдите все возможные отображения из множества
множество
𝟎, 𝟏
.
𝟕, 𝟖,𝟗
.
в
3. Пусть 𝒇:𝟏, 𝟐 𝟑, 𝟓→𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝒈:𝟎, 𝟏, 𝟐→𝟑, 𝟕,𝟑𝟕, 𝟏𝟑𝟕
𝟕, 𝟑𝟕, 𝟏𝟑𝟕→𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓
𝒉:𝟑,
– отображения, показанные на ри-
сунке ниже.
13
,
Нарисуйте картинки для следующих отображений:
а) 𝒇∘𝒈;
б) 𝒈∘𝒉;
в) 𝒇∘𝒈∘𝒉;
г) 𝒉∘𝒇∘𝒈.
𝟐
4. Пусть 𝒇𝒙𝒙
и 𝒈𝒙 𝒙 𝟏, найти 𝒈∘𝒇 и 𝒇∘𝒈.
5. Для отображения 𝒇:𝟎, 𝟏,𝟑, 𝟒→𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟖
𝟏
ками, найдите: 𝒇𝟎, 𝟑, 𝒇𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝒇
6. Пусть 𝒇: 𝑿→𝒀, 𝑨
, 𝑨𝟐⊂𝑿, 𝑩𝟏, 𝑩𝟐⊂𝒀. Всегда ли верно следую-
𝟏
𝟐
, 𝒇
𝟏
, заданного рисун-
𝟐, 𝟓, 𝒇
𝟏
𝟓, 𝟏𝟖
щее:
а) 𝒇𝑿𝒀;
𝟏
𝒀
б) 𝒇
в) 𝒇𝑨
г) 𝒇𝑨
𝟏
д) 𝒇
𝟏
е) 𝒇
ж) 𝒇𝑨
𝟏
з) 𝒇
𝟏
𝟏
𝑩
𝑩
𝟏
𝑩
𝑿;
∪𝑨
∩𝑨
∪𝑩
𝟏
∩𝑩
𝟏
⊂𝒇𝑨
⊂𝒇
𝟏
𝟐
𝟐
𝒇𝑨
𝒇𝑨
𝒇
𝟐
𝒇
𝟐
⇒𝑨
𝟐
𝟏
𝑩
∪𝒇
𝟏
∩𝒇
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝑩
𝟏
𝑩
𝟏
⊂𝑨
⇒𝑩
𝑨
𝑨
𝟏
𝟐
𝟐
∪𝒇
∩𝒇
;
𝟐
⊂𝑩
;
;
𝟏
𝑩
;
𝟐
𝟏
𝑩
;
𝟐
.
𝟐
7. Про каждое из отображений, изображенных на рисунке, выяснить,
является ли оно сюръективным, инъективным или биективным:
.
14
8. Нарисуйте все биективные отображения из множества 𝑨 в множе-
ство 𝑩 для следующих случаев:
а) 𝑨𝟏, 𝟐, 𝑩𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔
б) 𝑨𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝑩𝟒, 𝟓, 𝟔
;
.
9. Пусть 𝑨 – множество всех окружностей на плоскости и 𝑩 – мно-
жество всех точек этой
плоскости. Каждой окружности ставится в соот-
ветствие ее центр. Является ли это соответствие взаимно однозначным?
10. Устанавливает ли функция 𝒚𝟐– 𝟒𝒙 взаимно однозначное соот-
ветствие между отрезками [1; 5] и [–2; –18]?
11. Устанавливает ли функция 𝒚𝒙
𝟐
взаимно однозначное соответ-
ствие между отрезками:
а) [–1; 2] и [0; 4];
б) [3; 5] и [9; 25]?
12. Пусть 𝑨𝒂
,…,𝒂
𝟏
и 𝑩𝒃
𝒏
,…,𝒃
𝟏
. Определить:
𝒎
а) сколько существует функций из 𝐴 в 𝐵;
б) сколько существует сюръективных функций из 𝐴 в 𝐵;
в) сколько существует инъективных функций из 𝐴 в 𝐵.
15
Глава 2
ПОНЯТИЕ МОЩНОСТИ
2.1. РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА
Всем нам хорошо известны такие числовые множества, как множе-
ство ℕ натуральных чисел, множество ℤ целых чисел, множество ℚ рациональных чисел и множество ℝ действительных чисел. Каждое из
этих множеств содержит бесконечно много чисел. Возникает вопрос:
нельзя ли, несмотря на это, в некотором определенном смысле сравнить
между
нельзя ли «бесконечность» одного множества считать большей, равной
или меньшей, чем «бесконечность» другого множества?
может быть произведено двумя способами.
результаты.
один элемент 𝑏∈𝐵. Если при этом во множестве 𝐴 останутся элементы,
для которых не нашлось элементов в множестве 𝐵, то говорят, что множество 𝐴 имеет большую мощность, чем множество 𝐵, и записывают
‖𝐴‖‖𝐵‖
говорят, что множество 𝐴 имеет меньшую мощность, чем множество 𝐵,
и записывают
𝑎∈𝐴 нашелся свой единственный элемент 𝑏∈𝐵 и для каждого 𝑏∈𝐵
нашелся единственный элемент 𝑎∈𝐴, то говорят, что между элемен-
тами множеств 𝐴
обозначают
собой эти множества по величине или объему? Другими словами,
Если множества 𝐴 и 𝐵 конечны, то их сравнение по числу элементов
1. Пересчитаем число элементов в каждом из множеств и сравним
2. Каждому элементу 𝑎∈𝐴 поставим в соответствие один и только
. Если же множество
‖𝐴‖‖𝐵‖
A «закончится» раньше множества 𝐵, то
. Если окажется, что для каждого элемента
и 𝐵 установлено взаимно однозначное соответствие, и
‖𝐴‖‖𝐵‖
.
16
Очевидно, что первый способ (подсчета числа элементов) возможен
лишь для сравнения конечных множеств, а второй способ (установление
взаимно однозначного соответствия) в одинаковой мере применим как
для конечных, так и для бесконечных множеств.
Определение 7. Два множества 𝐴 и 𝐵 называются равномощными
(обозначается
отображение
‖𝐴‖‖𝐵‖
), если существует взаимно однозначное
множества 𝐴 на множество 𝐵.
Рассмотрим несколько примеров равномощных множеств. Пусть
𝐴 и 𝐵 – множества точек, лежащих на окружностях с общим центром
(рис. 7, a). Тогда, проводя радиус большей окружности, будем сопостав-
лять точки, которые лежат на пересечении окружностей и радиуса. Таким образом, каждой точке большей окружности будет соответствовать
единственная точка окружности меньшего радиуса, и наоборот – каждой точке меньшей окружности будет соответствовать единственная
точка большей окружности. Следовательно, множества точек 𝐴 и 𝐵 рав-
номощны.
a b c
Рис. 7. Примеры равномощных множеств
Аналогичным образом можно показать, что множество точек отрез-
ков 𝑎; 𝑏 и 𝑐; 𝑑 равномощны (см. рис. 7, b).
Можно также показать, что множество действительных чисел ℝ равномощно интервалу 1, 1. Отображение 𝑓𝑥 tg
является вза-
имно однозначным отображением интервала 1, 1 на ℝ (см. рис. 7, c).
17
2.2. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
До сих пор, говоря о конечных и бесконечных множествах, мы понимали эти понятия интуитивно. Теперь пришло время дать формальное
определение бесконечного и конечного множества.
Определение 8. Множество, у которого существует по крайней
мере одно равномощное ему собственное подмножество, называется
бесконечным. В противном случае множество называется конечным.
Покажем, что
ральных чисел бесконечно. В качестве его подмножества рассмотрим
множество 𝑆 четных натуральных чисел. Если расположить в один ряд
натуральные числа, а под ними по возрастанию записать четные числа,
то можно построить отображение, которое будет отображать каждое
натуральное число в четное число, записанное непосредственно под
ним (рис. 8).
согласно данному определению множество ℕ нату-
...
n
...
3
2
1
...
...
6
4
2
Рис. 8. Счетность множества четных
чисел
Это соответствие можно выразить функцией 𝑓𝑛 2𝑛, которая
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами
ℕ и 𝑆. Тем самым мы доказали, что ‖ℕ‖‖𝑆
натуральных чисел бесконечно. Мощность множества натуральных чи-
сел принято называть счетной и обозначать ω. Все множества, равно-
мощные множеству
Покажем, что среди всех бесконечных мощностей мощность ω –
«самая маленькая», т. е. для любого бесконечного множества 𝐴 всегда
выполняется
Утверждение 14. Пусть 𝐴 – бесконечное множество. Тогда существует множество 𝐵⊆𝐴 такое, что ‖𝐵‖ω. (т. е. у любого беско-
нечного множества существует
‖ℕ‖‖𝐴‖
ℕ, также называются счетными.
.
счетное подмножество).
18
...
n2
...
‖
, а значит, множество
Доказательство. 𝐴 – бесконечно. Следовательно, найдется 𝑎∈𝐴.
Пусть 𝐵′ 𝑎
∈𝐴\ 𝑎. Пусть 𝐵′ 𝑎, 𝑎. 𝐴\𝑎, 𝑎 – бесконечно …
𝑎
Тем самым мы построим счетное подмножество 𝐵.
Покажем теперь, что множество ℤ целых чисел также является счетным, т. е. равномощным множеству ℕ натуральных чисел. Для этого
нам нужно доказать следующую теорему (утверждение).
Утверждение 15. Объединение двух счетных множеств есть счетное множество.
. 𝐴\ 𝑎
– бесконечно. Следовательно, найдется
Доказательство. Пусть нам даны два
𝐴𝑎
Перечисляя элементы этих множеств по очереди, мы получим следующие соответствие (рис. 9).
, 𝑎, 𝑎
1
a
Рис. 9. Счетность объединения
двух счетных множеств
Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие
множества 𝐴∪𝐵 с множеством ℕ.
Следствие 1. Множество Z целых чисел счетно.
Доказательство. Пусть 𝑀0, 1, 2, 3, …
цательных
т. е. множество целых чисел можно представить как объединение двух
счетных множеств, а по Утверждению 15 это значит, оно тоже счетно.
Функция 𝑓𝑛
ное соответствие между множествами ℕ и ℤ.
целых чисел. Очевидно, что оно счетное. Тогда ℤℕ∪𝑀,
𝑘, 𝑛2𝑘1;
𝑘, 𝑛2𝑘.
,…
и 𝐵𝑏, 𝑏, 𝑏
3
2
a
b
счетных множества
,….
...
4
...
...
b
2211
– множество отри-
устанавливает взаимно однознач-
19
Кантору также удалось показать счетность множества ℚ рациональ-
ных чисел. Напомним, что всякое рациональное число (положительное
или отрицательное) можно представить однозначным образом в виде
дроби
, где 𝑝∈ℤ и 𝑞∈ℕ. Чтобы расположить все эти дроби в один
ряд, прежде всего отметим мысленно в верхней полуплоскости декартовой плоскости все точки с целочисленными координатами. Каждую
точку 𝑝, 𝑞 будем отождествлять с дробью
. Затем будем их перечис-
лять, двигаясь по «спирали» и вычеркивая повторяющиеся дроби
(рис. 10).
Рис. 10. Перечисление множества рациональных чисел
Таким образом, получаем соответствие, изображенное на рис. 11.
5
4
3
2
1
2
1
1
0
Рис. 11. Счетность множества рациональных чисел
6
21
7
32
23
3
2
21
11
10
9
8
12
31
Следовательно, мы показали равномощность множеств ℚ и ℕ.
Этот результат можно обобщить на декартово произведение произвольных множеств.
Утверждение 16. Пусть
‖𝐴‖‖𝐵‖
20
ω, тогда ‖𝐴𝐵‖ω.
...
...
...
31
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]