Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
16.* На множестве студентов постройте симметричное, транзитив-
ное, но не рефлексивное бинарное отношение.
17. Найдите все отношения на двухэлементном множестве
Укажите среди них:
а) все рефлексивные;
б) все симметричные;
в) все антисимметричные;
г) все транзитивные;
д) все линейные.
18. Определить свойства следующих отношений, заданных в виде
графа
(рис. 17):
а б
𝑎, 𝑏
.
в
Рис. 17. Графы к заданию 18
19. Определите свойства следующих отношений:
а) «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых);
б) «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел);
в) «число x делится на число y без остатка» (на множестве натураль-
ных чисел);
г) «x – сестра y» (на множестве людей).
41
20. Пусть 𝑋 – множество прямых плоскости. Какое из следующих
отношений является отношением эквивалентности на этом множестве:
а) «х параллельна у»;
б) «х перпендикулярна у»;
в) «х пересекает у».
21. На множестве 𝑋
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 задано отношение
«иметь один и тот же остаток при делении на 4». Является ли оно
отношением эквивалентности?
22. Какие из отношений, представленных на рисунке, являются от-
ношениями эквивалентности? (Рис. 18.)
Рис. 18. Графы к заданию 22
23. На плоскости ℝ задано бинарное отношение 𝑅 следующим об-
разом:
〈〈
〉,〈
𝑎
, 𝑎
〉〉
𝑏
, 𝑏
∈𝑅⟺𝑎
42
𝑏, 𝑎, 𝑏∈ℤ .
Проверьте, что отношение 𝑅 является отношением эквивалентности.
Опишите фактор-множества, образованные этим отношением.
24. Придумайте отношение эквивалентности 𝑅 на множестве
𝐴
1, 2, 3, 4, 5 такое, чтобы 〈1, 2
〉
∈𝑅,
〈
〉
2, 3
∈𝑅 и оно порождало два
класса эквивалентности.
25. Покажите, что объединение двух отношений эквивалентности
может не являться отношением эквивалентности.
26. Какие из следующих подмножеств
множества действительных
чисел ℝ образуют разбиение на ℝ? Для каждого разбиения задайте со-
ответствующее отношение эквивалентности:
а)
𝑥 | 𝑥0
б)
𝑥 | 𝑥0
в)
𝑛, 𝑛1 | 𝑛∈ℤ
г)
𝑛, 𝑛1 | 𝑛∈ℤ
)
𝑛, 𝑛1 | 𝑛∈ℤ
д
,
𝑥 | 𝑥0
,
𝑥 | 𝑥0
;
;
.
;
,0
;
27. Укажите отношения строгого порядка:
а) студент 𝑎 выше студента 𝑏;
б) девочка 𝑎 – сестра девочки 𝑏;
в) отрезок 𝑎 короче отрезка 𝑏;
г) отрезок 𝑎 длиннее отрезка 𝑏 на 2 см;
д) студент 𝑎 знает студента 𝑏.
28. Укажите отношения нестрогого порядка:
) автомобиль 𝑎 едет быстрее автомобиля 𝑏;
а
б) число 𝑎 не меньше числа 𝑏;
в) числа 𝑎 и 𝑏 не равны числу 16, где 𝑎 и 𝑏 – натуральные числа;
г) число 𝑎 без остатка делится на число 𝑏, где 𝑎, 𝑏 ∈1,2,3,4,5,6;
д) 𝑎5 и 𝑏5, где 𝑎
, 𝑏 ∈1,2, … ,8;
е) Угол не больше угла β.
29. Покажите, что композиция двух отношений частичного порядка
может не являться отношением порядка.
30. Рассмотрим множество 𝐴
1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30, 35 с отноше-
нием делимости. Покажите, что это отношение является отношением
43
порядка. Постройте диаграмму данного отношения. Найдите минимальный, максимальный, наименьший и наибольший элементы.
31. Перечислите всевозможные линейные порядки на множестве
1,2, на множестве 1,2,3. Выскажите предположение о числе линей-
ных порядков на множестве из 𝑛 элементов.
32. Какие из графов из задачи 5.22 являются отношениями порядка?
33. Сколько различных отношений порядка
можно задать на
трехэлементном множестве? Сколько из них линейных порядков?
34. Какие из следующих отношений, определенных на множестве
целых чисел ℤ, являются отношениями порядка?
а) 𝑹
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙𝒚;
𝟏
:
б) 𝑹
в) 𝑹
г) 𝑹
д) 𝑹
е) 𝑹
ж) 𝑹
35. На множестве 𝑨𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙𝒚;
𝟐
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙𝒚;
𝟑
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙𝟐𝒚
𝟒
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙𝒚;
𝟓
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔𝒙 делится на 𝒚;
𝟔
:
𝒙, 𝒚∈𝑹𝟏⇔НОД𝒙, 𝒚 𝟏.
𝟕
𝟐
;
постройте все возможные отношения порядка с двумя минимальными и двумя максимальными элементами.
36. Пусть 𝑨𝒂, 𝒃. Образует ли отношение включения ⊆ на мно-
жестве ℘𝑨
этого отношения. А если
отношение порядка? Если да, то нарисуйте диаграмму
𝑨𝒂, 𝒃, 𝒄
?
37. Если упорядоченное множество конечное, то всегда ли суще-
ствует минимальный элемент? А наименьший?
38. Если упорядоченное множество бесконечное, то всегда ли суще-
ствует минимальный элемент? А наименьший?
39. Придумайте пример множества, имеющего один минимальный
элемент, но не имеющего наименьшего элемента.
44
Глава 4
ГРАФЫ
4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим бинарное отношение 𝑅, определенное на конечном мно-
жестве людей
𝑋𝑥
где 𝑥
; 𝑥∈𝑅 тогда и только тогда, когда 𝑥
(сестра) для 𝑥
; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥,
.
Рис. 18. Изображение графа
– родитель или брат
Изобразим это отношение графически. Каждого человека будем
обозначать точкой, а стрелки, соединяющие эти точки, будут интер-
претировать наше отношение. Каждой паре 𝑥
45
; 𝑥, принадлежащей
отношению 𝑅, на чертеже соответствует единственная дуга. Получен-
ный чертеж (рис. 19) называется графом данного отношения R и обозна-
чается 𝐺𝑋, 𝑅.
Точки, изображающие людей, называются вершинами графа.
Стрелки, интерпретирующие родственные отношения, называются
дугами графа.
Если предположить, что каждый человек является братом или сестрой самому себе, то на графе мы получим
дуги, у которых начало и конец совпадают. Такие дуги называются петлями. Очевидно, что если человек x приходится братом или сестрой человеку y, то и y также приходится братом или сестрой для x. На рис. 19 это изображено парой дуг.
Чтобы упростить чертеж, каждую такую пару дуг можно заменить
одной дугой, и нет никакой необходимости указывать направления. Такие
дуги в дальнейшем будем называть ребрами. По этой же причине также
нет необходимости указывать и направление петли. Тогда наш граф существенно упрощается (рис. 20).
Рис. 21. Граф с ребрами
Граф, вершины которого соединены только дугами, называется ориентированным графом. Граф, вершины которого соединены только ребрами, называется неориентированным графом. Заметим, что любой
неориентированный граф можно модифицировать в ориентированный.
В рассматриваемом нами примере никакие две вершины не были соединены более чем одним ребром или дугой. Граф, обладающий этим
46
свойством, называют графом без кратных дуг. Однако можно построить граф, в котором некоторые пары вершин будут соединены более чем
одним ребром или дугой. Например, начертим граф, вершины которого
изображают дома трех друзей, а ребра – тропинки, которыми можно добраться от одного дома до другого (рис. 21). Такой граф в дальнейшем
будем
называть мультиграфом.
Рис. 21. Мультиграф
Заметим, что мультиграф нельзя воспринимать как интерпретацию
бинарного отношения. Однако он может интерпретировать некоторое
тринарное отношение 𝑆, определенное на декартовом произведении
𝑋𝑋ℕ, где X – множество вершин графа. Тройка 𝑥
, 𝑥, 𝑛 тогда
и только тогда принадлежит отношению 𝑆, когда ровно 𝑛 дуг исходит
из вершины 𝑥
и входит в вершину 𝑥
.
4.2. СМЕЖНОСТЬ, ИНЦИДЕНТНОСТЬ, СТЕПЕНИ
Если две вершины в графе соединены ребром или дугой, то они
называются смежными друг другу. Ребро (дуга), соединяющее смежные вершины, называется инцидентным этим вершинам, а каждая из
вершин инцидента этому ребру.
Множество всех вершин графа 𝐺𝑋,𝑅, смежных с данной вершиной 𝑎∈𝑋, называется окрестностью этой вершины и обозначается че-
рез 𝑉𝑎. Число вершин, смежных с вершиной 𝑎, называется степенью вершины 𝑎 и обозначается через 𝑑𝑒𝑔 𝑎.
Заметим, что при подсчете степени вершины не учитываются петли,
т. е. принято считать, что вершина не может быть смежной самой себе.
Утверждение 26. Сумма степеней всех вершин графа всегда является четным числом.
47
Доказательство. Каждое ребро графа инцидентно сразу двум вершинам, поэтому при подсчете суммы степеней вершин каждое ребро
учитывается дважды.
Следствие 7. В любом графе число вершин нечетной степени всегда
четно.
Вершину 𝑎 графа 𝐺𝑋, 𝑅 назовем изолированной, если 𝑑𝑒𝑔𝑎 0,
и назовем тупиковой, если 𝑑𝑒𝑔𝑎 1. Граф, все вершины которого
являются изолированными, называется пустым графом. Пустой граф с
множеством вершин 𝑎,…,𝑎 будем обозначать через 𝑂
.
Граф называют регулярным степени 𝑑 , если степень каждой его
вершины равна 𝑑.
Граф, в котором все вершины смежные, будем называть полным
графом. Полный граф с множеством вершин 𝑎,…,𝑎 будем обозна-
чать через 𝐾. Очевидно, что полный граф 𝐾
является регулярным,
если степень каждой его вершины равна 𝑛1.
Также нетрудно понять, что 𝐾𝑂
.
4.3. МАРШРУТЫ, ПУТИ, ЦИКЛЫ
Маршрутом в графе называется такая конечная последователь-
ность вершин 𝑎
,…,𝑎, что для любого 𝑖1, 𝑛1 вершины 𝑎 и 𝑎
смежные друг другу. Ребра, соединяющие вершины маршрута, называются ребрами маршрута. Говорят, что маршрут проходит через данные ребра, а количество ребер маршрута называют длиной маршрута.
Вершина 𝑎
маршрута. Если 𝑎
называется началом маршрута, а вершина 𝑎
𝑎
, то маршрут называется замкнутым.
– концом
Маршрут называется путем, если в нем никакая дуга не встречается
дважды. Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, называется простым.
Маршрут 𝑥
путем, так как дуга 𝑢
𝑥
; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥 для графа на рис. 23 является путем, но не простым
путем, так как он дважды проходит через вершину 𝑥
; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥; 𝑥 для графа на рис. 22 не является
в нем встречается дважды. Маршрут
.
Цикл – это замкнутый путь. Если все вершины цикла попарно различны, то цикл называется простым циклом.
48
Рис. 22. Пример маршрута,
не являющегося путем
Рис. 23. Пример не простого
пути
Утверждение 27. В любом маршруте, соединяющем две различные
вершины, содержится простой путь, соединяющий те же вершины.
Доказательство. Рассмотрим маршрут 𝑎; 𝑎;…;𝑎. Если он не
является путем, то по крайней мере через одну вершину он проходит
дважды, т. е. найдутся такие 𝑖, 𝑗∈1,𝑛, что 𝑎𝑎 где 𝑖𝑗. Удалим
из маршрута последовательность вершин 𝑎
ная последовательность 𝑎;…;𝑎; 𝑎
;…𝑎 также будет маршрутом.
; 𝑎
;…;𝑎. Получен-
Проделывая это сокращение до тех пор, пока в маршруте не останется
повторяющихся вершин, мы в итоге получим простой путь.
Следствие 8. В любом цикле, проходящем через некоторое ребро,
содержится простой цикл, проходящий через это ребро.
Утверждение 28. Если в графе степень каждой вершины не меньше 2,
то в нем есть цикл.
Доказательство. Зафиксируем некоторую вершину 𝑎
графа
𝐺𝑋, 𝑅. Так как ее степень не меньше двух, то найдутся по крайней
мере две вершины 𝑎 и 𝑎, являющиеся смежными вершине 𝑎
, т. е. по-
следовательность 𝑎; 𝑎; 𝑎 образует маршрут. Так как степень вершины 𝑎
еще одной вершине, отличной от 𝑎. Если вершина 𝑎
тоже не меньше двух, то она будет смежна по крайней мере
смежная вершине
𝑎, то мы получаем цикл 𝑎; 𝑎; 𝑎; 𝑎. В противном случае мы добав-
ляем в маршрут вершину 𝑎, смежную вершине 𝑎
. Таким образом, мы
получаем маршрут 𝑎; 𝑎; 𝑎; 𝑎, и так далее – мы или находим цикл,
49
если вершина 𝑎 смежная либо вершине 𝑎, либо вершине 𝑎
, или до-
писываем в маршрут новую вершину. Поскольку 𝐺𝑋, 𝑅 состоит из ко-
нечного числа вершин, то рано или поздно мы построим цикл.
4.4. СВЯЗНОСТЬ И КОМПОНЕНТЫ
Граф называется связным, если в нем для любых двух вершин име-
ется маршрут, соединяющий эти вершины. Вершина 𝑎 соединима с вершиной 𝑏, если существует соединяющий их маршрут.
Нетрудно показать, что отношение соединимости является отношением эквивалентности на множестве вершин графа. Следовательно, оно
разбивает множество вершин графа на классы эквивалентности, которые мы будем называть компонентами связности. На рис. 24 изображен граф, состоящий из трех компонент связности:
; 𝑎; 𝑎; 𝑎
𝑎
Рис. 24. Граф, состоящий
из трех компонент связности
,
𝑏
; 𝑏; 𝑏
,
𝑐
.
Вершина называется шарниром, если при ее удалении число компонент связности увеличивается. На рис. 25, a изображен граф, имеющий
один шарнир – вершину 𝑎. При ее удалении граф разбивается на три
компоненты связности (рис. 25, b).
Утверждение 29. Вершина 𝑎
тогда, когда в графе имеются такие отличные от 𝑎 вершины 𝑎 и 𝑎
что любой путь, соединяющий 𝑎 и 𝑎, проходит через 𝑎
является шарниром тогда и только
.
,
Ребро, при удалении которого увеличивается число компонент связности, называется перешейком. На графе, изображенном на рис. 26,
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]