Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Отображения и отношения. Учебное пособие
.pdf
3. 𝑅 симметрично, если 〈𝑎, 𝑏〉∈𝑅 влечет 〈𝑏, 𝑎〉∈𝑅. Например, от-
ношение «люди x и y работают в одной фирме» симметрично.
4. 𝑅 антисимметрично, если из того, что 〈𝑎, 𝑏〉∈𝑅 и 〈𝑏, 𝑎〉∈𝑅,
следует 𝑎𝑏. Например, отношение «человек x – начальник человека
» антисимметрично.
y
Как и в предыдущем случае, отношение 𝑅 может быть таким, что ни
свойство симметричности, ни свойство антисимметричности не выполняются.
5. 𝑅 транзитивно, если из условий 〈𝑎, 𝑏〉∈𝑅 и 〈𝑏, 𝑐〉∈𝑅 сле〈
дует
𝑎, 𝑐〉∈𝑅. Например, отношение «человек x моложе человека y»
транзитивно.
Отношение «человек x любит человека y» не является транзи-
тивным.
6. 𝑅 связанно (линейно), если для любых 𝑎, 𝑏∈𝐴 имеет место
〈
либо
𝑎, 𝑏〉∈𝑅, либо 〈𝑏, 𝑎〉∈𝑅. Например, отношение «человек x не ниже
ростом человека y» связанно: из двух людей обязательно либо один выше,
либо они
одного роста. Однако отношение «человек x родственник чело-
века y» не является связанным, так как не все люди родственники.
3.3. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Определение 11. Бинарное отношение 𝑅⊆𝐴
называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Например, отношение подобия на множестве треугольников является отношением эквивалентности. На самом деле каждый треугольник
подобен сам себе (рефлексивность); если треугольник ABC подобен тре-
угольнику KLM, то и треугольник KLM подобен треугольнику ABC
(симметричность), и, наконец, если треугольник
ABC подобен треугольнику KLM, а треугольник KLM подобен треугольнику PQR, то треугольник ABC будет подобен треугольнику PQR.
Пусть R – отношение эквивалентности. Тогда вместо
〈
𝑎, 𝑏〉∈𝑅 за-
пишем 𝑎~𝑏 и будем говорить, что элемент 𝑎 эквивалентен элементу 𝑏.
Определение 12. Классом эквивалентности, определенным элемен-
том 𝑎 (обозначается
𝑎), называется множество всех элементов, эк-
вивалентных элементу 𝑎, т. е.
𝑎 𝑥 |𝑥~𝑎
31
.
Утверждение 20. Классы эквивалентности образуют непересекаю-
щиеся множества.
Доказательство. Допустим, что классы эквивалентности 𝑎 и 𝑏
пересекаются. Тогда найдется такой элемент 𝑥, что 𝑥 ∈ 𝑎∩𝑏.
Возьмем произвольный элемент 𝑦 из класса 𝑎. Тогда по определе-
нию класса эквивалентности имеем
𝑦~𝑎, 𝑎~𝑥, 𝑥~𝑏.
Далее в силу свойства транзитивности получим
𝑦𝑏. Следова-
тельно, 𝑦∈𝑏. Тем самым мы показали, что 𝑎 ⊆ 𝑏. Аналогично до-
казывается, что 𝑏 ⊆ 𝑎.
Итак, мы доказали, что если классы эквивалентности пересекаются,
то они совпадают. Из этого можно сделать вывод, что классы эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются.
Определение 13. Пусть на множестве 𝐴 определено отношение эк-
вивалентности
отношения называется фактор-множеством и обозначается 𝐴/
~. Тогда множество классов эквивалентности данного
.
~
Рассмотрим следующий пример. Пусть 𝐴 – множество студентов
юридического факультета. Определим отношение 𝑅 так, что 𝑥; 𝑦∈ 𝑅
тогда и только тогда, когда студенты 𝑥 и 𝑦 учатся в одной группе. Оче-
видно, что данное отношение является отношением эквивалентности.
Тогда каждая студенческая группа будет представлять собой класс эквивалентности, а фактор-множество
– множество студенческих групп
данного факультета.
Определение 14. Пусть 𝐼 – множество индексов такое, что для
любого индекса 𝑖∈𝐼 имеем 𝐵
⊆𝐴
. Класс множеств
𝐵
∈
называ-
ется разбиением множества 𝐴, если выполнены следующие условия:
1)
⋃
∈
2) ∀𝑖, 𝑗 𝑖𝑗 𝐵
3) ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐵
𝐵
𝐴;
∅.
∩𝐵
∅;
Приведем несколько примеров разбиений.
1. Для любого множества 𝐴 можно определить разбиение, состоя-
щее из одного класса 𝐴.
32
2. Еще одно разбиение произвольного множества – это его разбие-
ние на всевозможные одноэлементные подмножества.
3. Семейство множеств 𝐵
1, 2, 5
, 𝐵
3
, 𝐵
4, 7, 8
, 𝐵
6, 9 является разбиением множества 𝐴 1,2,...,9 на четыре
класса.
4. Множество натуральных чисел ℕ можно разбить на три класса:
𝐵
, 𝐵 и 𝐵, где 𝐵
делении на 3 дают остаток 𝑖 𝑖 0, 1,2, т. е. 𝐵
1, 4, 7, 10, …
– это множество всех натуральных чисел, которые при
, 𝐵
2, 5, 8, 11, ….
0, 3, 6, 9, …
, 𝐵
Утверждение 21. Пусть 𝐴 – произвольное множество. Суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между множеством всех
отношений эквивалентности на множестве 𝐴 и множеством всех раз-
биений этого множества.
Доказательство. Пусть ~ – отношение эквивалентности, опреде-
ленное на множестве 𝐴. Тогда, очевидно, фактор-множество 𝐴/
обра-
~
зует разбиение.
Обозначим через 𝐸𝑞𝐴 множество всех отношений эквивалентности на 𝐴, а через 𝑃𝑎𝑟𝑡𝐴 – множество всех разбиений множества 𝐴.
Из сказанного на выше следует, что существует отображение
𝑓: 𝐸𝑞𝐴→𝑃𝑎𝑟𝑡𝐴. Проверим, что это отображение биективно.
Убедимся сначала в том, что 𝑓 разнозначное. Пусть ~
и ~ – раз-
личные отношения эквивалентности, определенные на множестве 𝐴.
Без ограничения общности можно считать, что существуют элементы
𝑥, 𝑦∈𝐴 такие, что 𝑥~
𝑦
, а с другой стороны – что
~
и 𝑓~ различны, и потому отображение 𝑓 разно-
𝑥
~
разбиения 𝑓~
𝑦, но 𝑥≁𝑦. Тогда, с одной стороны, имеем
𝑥
𝑦
~
. Следовательно,
~
значное.
Осталось проверить, что 𝑓 отображает 𝐸𝑞𝐴 на 𝑃𝑎𝑟𝑡𝐴. Рассмотрим разбиение Ψ 𝐵
| 𝑖∈𝐼 ∈ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝐴. Требуется указать эквива-
лентность ~ на 𝐴 такую, что 𝑓~Ψ. Определим бинарное отноше-
ние ~ на 𝐴 следующим правилом: 𝑥~𝑦 тогда и только тогда, когда
𝑥, 𝑦∈𝐵
для некоторого 𝑖∈𝐼. Очевидно, что отношение ~ рефлек-
сивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквива-
лентности. Из построения отношения ~ и определения отображения 𝑓
очевидно вытекает, что 𝑓~Ψ.
33
3.4. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА
Определение 15. Бинарное отношение называется отношением ча-
стичного порядка (а также отношением порядка, частичным поряд-
ком или просто порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично
и транзитивно.
В дальнейшем мы часто будем использовать символ для обозна-
чения произвольного отношения частичного порядка на любом множе-
стве. При этом если x<=y и 𝑥𝑦
, то мы будем писать 𝑥𝑦 или 𝑦𝑥.
Отношение на произвольном частично упорядоченном множестве
называется отношением строгого порядка или просто строгим порядком.
Например, отношение «человек x старше человека y» – отношение
строго порядка, так как ни один человек не может быть старше самого
себя. Отношение «человек x не моложе человека y» –
отношение нестрого порядка, так как слова «не моложе» означают «старше или ровесники».
Таким образом, отношение порядка называется строгим порядком,
если вместо свойства рефлексивности будет выполняться свойство
иррефлексивности.
Множество, на котором задано отношение частичного порядка, будем называть частично упорядоченным (или просто упорядоченным)
множеством, сокращенно ЧУМ. Таким образом, ЧУМ – это
пара, состо-
ящая из множества 𝐴 и заданного на нем отношения частичного порядка . Мы будем обозначать эту пару через 〈𝐴,
〉
.
Определение 16. Отношение порядка называется отношением
линейного порядка (или просто линейным порядком), если оно обладает свойством линейности, т. е. когда для любых двух элементов
, 𝑦∈𝐴 имеем 𝑥𝑦 или 𝑦𝑥.
𝑥
Множество, на котором задано отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным множеством (ЛУМ). Например, стан-
дартные отношения и на числовых множествах являются линейными порядками, а отношения равенства, делимости (на ℕ) и включе-
ния – не являются.
Определение 17. Пусть
〉
𝐴,
– произвольный
ЧУМ и 𝑥, 𝑦∈𝑆. Го-
〈
ворят, что 𝑦 покрывает 𝑥, если 𝑥𝑦 и не существует элемента 𝑧
такого, что 𝑥𝑧𝑦.
34
ЧУМы с небольшим числом элементов (а иногда и бесконечные,
но просто устроенные ЧУМы) удобно изображать с помощью так называемых диаграмм частично упорядоченных множеств (или диаграмм
Гессе). Диаграмма ЧУМа рисуется следующим образом: каждый эле-
мент ЧУМа изображается точкой. Если при этом 𝑦 покрывает 𝑥, то 𝑦
рисуется выше, чем 𝑥, и
соответствующие точки соединяют линией (как
правило, отрезком прямой).
На рис. 15 приведены примеры диаграмм Гессе для различных упорядоченных множеств.
a b c
Рис. 15. Примеры диаграммы Гессе
〈
Заметим, что если упорядоченное множество
𝐴,
〉
является
ЛУМом, то на диаграмме Гессе такое отношение изображается в виде
прямой или отрезка (рис. 15, a). Например, отношение «человек x выше
ростом человека y» – линейный порядок, так как является связанным.
Мы можем построить людей в одну шеренгу по росту, тем самым проимитировав
диаграмму Гессе.
3.5. МИНИМАЛЬНЫЕ, МАКСИМАЛЬНЫЕ,
НАИМЕНЬШИЕ И НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
〈
Пусть
〉
𝐴,
– частично упорядоченное множество. Введем не-
сколько определений.
Определение 18. Элемент 𝑎∈𝐴 называется наименьшим (наиболь-
шим), если для любого элемента 𝑏∈𝐴 имеем 𝑎𝑏 𝑏 𝑎.
35
Определение 19. Элемент𝑎∈𝐴 называется минимальным (мак-
симальным), если для любого элемента 𝑏∈𝐴, имеем 𝑏𝑎 ⟹
𝑏𝑎 𝑎 𝑏 ⟹𝑏𝑎.
Очевидно, что любое упорядоченное множество имеет не более одного наименьшего (наибольшего) элемента. Например, на рис. 15, b
изображено частично упорядоченное множество, наименьшим элемен-
том которого является элемент 𝑎
, а наибольшим – элемент 𝑎
.
В отличие от этого частично упорядоченное множество может иметь
более одного минимального (максимального) элемента. Например, на
рис. 15, с изображено частично упорядоченное множество, минималь-
ными элементами которого являются элементы 𝑎
, 𝑎
ными – 𝑎
.
, 𝑎
, а максималь-
Утверждение 22. Наибольший элемент всегда является максимальным, а наименьший элемент – минимальным.
Доказательство. Пусть
〈
𝐴, 〉 ЧУМ. Пусть 𝑎 – наибольший эле-
мент. Тогда для любого 𝑏∈𝐴 имеем 𝑏 𝑎. Следовательно, если
найдется такой элемент 𝑐∈𝐴, что 𝑐𝑎, то 𝑎 𝑐. Таким образом, по-
лучим, что 𝑎 –
максимальный элемент.
Аналогично доказывается для наименьшего.
Утверждение 23. Пусть дано
〈
𝐴, 〉ЧУМ, A конечно. Тогда для
любого 𝑎∈𝐴 найдутся такие 𝑏, 𝑐∈𝐴, что 𝑏𝑎𝑐 и 𝑏 минимальный,
𝑐 максимальный.
Доказательство. Докажем существование 𝑐. Если 𝑎 является максимальным, то 𝑐𝑎. Если 𝑎 не максимальный, то найдется 𝑎
кой, что 𝑎𝑎
мальный, то найдется 𝑎
найдется элемент 𝑎
. Если 𝑎 максимальный, то 𝑐 𝑎. Если 𝑎
∈𝐴 такой, что 𝑎𝑎
𝑐, а он найдется, так как 𝐴 конечно.
… и так далее, пока не
∈𝐴 та-
не макси-
Аналогично для 𝑏.
Утверждение 24. Пусть
〈
𝐴, 〉 – конечный ЧУМ и 𝑎∈𝐴. Тогда если
𝑎 – единственный максимальный элемент, то 𝑎 наибольший; если 𝑎
единственный минимальный, то 𝑎 наименьший.
Доказательство. Пусть 𝑎 единственный максимальный. Тогда для
любого 𝑏∈𝐴 имеем 𝑎𝑏, или 𝑏𝑎
, или 𝑎, 𝑏 несравнимы. Если 𝑎𝑏,
то 𝑎 не максимальный. Если 𝑎, 𝑏 несравнимы, то 𝑎 не единственный
максимальный. Следовательно, для любого 𝑏∈𝐴 имеем 𝑏𝑎, т. е.
𝑎 – наибольший элемент.
36
Следствие 4. В конечном ЧУМе элемент является наибольшим
(наименьшим) тогда и только тогда, когда он является единственным
максимальным (минимальным).
Следствие 5. Пусть
〈
𝐴, 〉 ЧУМ и 𝐴 конечно. В множестве 𝐴 су-
ществует наибольший (наименьший) элемент только тогда, когда в 𝐴
максимальный (минимальный) элемент единственный.
〈
〉
Утверждение 25. Пусть
ЛУМ и 𝑎∈𝐴.
𝐴,
1. 𝑎 наименьший тогда и только тогда, когда 𝑎 минимальный.
2.𝑎 наибольший тогда и только тогда, когда 𝑎 максимальный.
Доказательство. Если 𝑎 наименьший, тогда 𝑎 минимальный (из
определения).
Допустим, что 𝑎 минимальный. В силу линейности порядка для любого 𝑏∈𝐴 имеем 𝑎𝑏 или 𝑏𝑎. Следовательно,
поскольку 𝑎 мини-
мальный, то 𝑎𝑏, т. е. 𝑎 наименьший.
Следствие 6. В конечном ЛУМе всегда существует наименьший и
наибольший элемент.
3.6. УПРАЖНЕНИЯ
1. На множестве 𝑌𝑦 | 𝑦∈ℤ, 13 𝑦2
задано отношение R:
𝑥𝑅у ⟺ 𝑥2у.
Какие из следующих записей верны:
а) –6; –3∈𝑅;
б) –3; –6∈𝑅;
в) –4; –2∈𝑅;
г) –8; 4∉𝑅.
2. На множестве 𝑀
– 8;– 6; –4; – 2; 0; 2; 4
задано отношение 𝑅:
𝑥𝑅𝑦 ⇔ число 𝑥 кратно числу 𝑦.
а) Запишите множество 𝑅, перечислив все его элементы. Нарисуйте
граф этого отношения.
б) Принадлежит ли 𝑅 пара – 4;– 4?
в) Найдите отношение 𝑅. Нарисуйте граф этого отношения.
37
3. На рисунке изображен граф отношения «𝑎 брат 𝑏» на множестве
{А; Б; В; Г; Д; Е; Ж; 3; И}. Кто из них является мальчиком? Кто девочкой? О ком нельзя по этому графу ничего сказать? (Рис. 16.)
Рис. 16. Граф к упражнению 3
4. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков.
В нее входили Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию
быстрее Андрея, но медленнее Саши, Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как
распределились места на соревновании? (3адачу решите с помощью по-
строения графа соответствующего бинарного отношения.)
5. Найдите 𝑅
а) 𝑅
б) 𝑅
в) 𝑅
г) 𝑅
, 𝑅∘𝑅, 𝑅∘𝑅, 𝑅∘𝑅, 𝑅 отношений:
〈
𝑥, 𝑦〉 | 𝑥, 𝑦∈ℕ, 𝑥 делит 𝑦
〈
𝑥, 𝑦〉 | 𝑥, 𝑦∈ℕ, 𝑦 делит 𝑥
〈
𝑥, 𝑦〉 | 𝑥, 𝑦∈ℝ, 𝑥𝑦0
〈
𝑥, 𝑦〉 | 𝑥, 𝑦∈ℝ,2𝑥3𝑦
;
;
;
.
6. Рассмотрим следующие отношения между
– «быть отцом»,
𝑅
– «быть матерью»,
𝑅
– «быть ребенком»,
𝑅
– «быть братом»,
𝑅
– «быть сестрой»,
𝑅
– «быть мужем»,
𝑅
– «быть женой».
𝑅
Выразить через них следующие отношения:
38
людьми:
𝑄
– «быть родителем»;
𝑄
– «быть внуком»;
– «быть невесткой»;
𝑄
𝑄
– «быть тещей»;
𝑄
– «быть свекровью»;
𝑄
– «быть двоюродным братом».
7. Пусть 𝑅
– отношение «𝑥 является матерью 𝑦», а 𝑅
ние «𝑥 и 𝑦 – дети одной матери». Выразите 𝑅
, 𝑅
8. Пусть 𝑅
а)
б) 𝑅
в) 𝑅
𝑅
⊆𝑅 ⇒ 𝑅
⊆𝑅∘𝑅
– бинарные отношения. Доказать следующее:
𝑅;
∘𝑅
⊆𝑅
.
;
через 𝑅
.
– отноше-
9. Пусть 𝑅, 𝑆, 𝑇 – бинарные отношения. Доказать следующее:
а)
б)
в)
𝑅
𝑅∪𝑆
𝑅∩𝑆
𝑅
𝑅∪𝑆
𝑅∩𝑆
;
;
;
г) 𝑅∘𝑆∪𝑇𝑅∘𝑆∪𝑅∘𝑇;
д) 𝑅∘𝑆∩𝑇⊆𝑅∘𝑆∩𝑅∘𝑇.
10. При каком условии для отношения 𝑅 выполняется равенство
𝑅
𝑅 ?
11. Какие из следующих бинарных отношений являются рефлексив-
ными:
а) 𝑎𝑏, где 𝑎 и 𝑏 – натуральные числа;
б) 𝑎𝑏, где 𝑎 и 𝑏 – натуральные числа;
в) треугольник 𝑎 подобен треугольнику 𝑏;
г) площадь круга 𝑎 больше площади круга 𝑏;
д) студент 𝑎 написал письмо студенту 𝑏;
е) выражения
𝑎 и 𝑏 имеют одно и то же значение в множестве чис-
ловых выражений.
39
12. Какие из следующих бинарных отношений являются транзитив-
ными:
а) число 𝑎 равно числу 𝑏;
б) число 𝑎 меньше числа 𝑏 на 5;
в) число 𝑎 больше или равно числу 𝑏;
г) город 𝑎 находится южнее города 𝑏;
д) число 𝑎 не равно числу 𝑏;
е) студент 𝑎 является
врагом студента 𝑏;
ж) студент 𝑎 является другом студента 𝑏.
13. Укажите симметричные отношения:
а) студент 𝑎 похож на студента 𝑏;
б) в книге 𝑎 в два раза больше страниц, чем в книге 𝑏;
в) фраза 𝑎 имеет тот же смысл, что и фраза 𝑏;
г) студент 𝑎 и
студент 𝑏 имеют одинаковый рост;
д) дорога 𝑎 имеет ту же длину, что и дорога 𝑏;
е) Смирнов и Васильев живут на третьем этаже;
ж) поезд 𝑎 идет быстрее поезда 𝑏.
14. Укажите отношения, являющиеся одновременно транзитивными
и рефлексивными:
а) число 𝑎 равно числу 𝑏;
б) 𝑎 и
𝑏 – равновеликие треугольники;
в) число 𝑎 не больше числа 𝑏;
г) тетрадь 𝑎 дороже тетради 𝑏;
д) солдат 𝑎 и солдат 𝑏 служат в одном полку.
15. На множестве 𝐴𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
задайте произвольное бинарное от-
ношение, которое обладает следующим набором свойств:
а) не симметричность и не
антисимметричность;
б) рефлексивность, линейность, симметричность;
в) иррефлексивность, не линейность, антисимметричность;
г) рефлексивность, антисимметричность, транзитивность;
д) рефлексивность, не симметричность, транзитивность;
е) иррефлексивность, не симметричность, транзитивность;
ж) рефлексивность, симметричность, не транзитивность.
Для каждого из полученных отношений постройте соответствую-
щий граф.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]