Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
71
Амплитуда стационарных колебаний при этом определяется
1
2
2
2
p
A
m
em
0
p
p
2
p
d)t(sinsin
m
F
x
t
0
0
выражением
,
в котором параметр системы
На рис.27б представлено изменение амплитуды колебаний в
зависимости от отношения
Как видно, при
.
имеет место резонанс, а при p»
амплитуда стремится к значению
Остановимся подробнее на случае совпадения частот
(резонанс).
не зависит от частоты p.
.
Рис. 28 График движения
При этом интеграл (40) принимает вид:
.
72
После вычисления получим:
)cos(sin tttxx
ст
p
tpFtpFF
2211
sinsin
tpAtpAx
2211
sinsin
p
1
p
2
.
График этого движения показан на рис.28. Как видно, при
совпадении частот амплитуда нарастает по линейному закону и за
конечный промежуток времени не обращается в бесконечность. Из
этого вытекает принципиальная возможность перехода через
резонанс, так как в процессе разгона двигателей равенство
выполняется лишь одно мгновение и амплитуды при переходе
могут не достигнуть опасных величин.
5.1.6. Действие двух гармонических сил с близкими
частотами биения
Если система с одной степенью свободы испытывает
действие двух различных гармонических возмущающих сил, то
вследствие её линейности суммарный эффект может быть
определён путём сложения эффектов, вызываемых каждой из сил.
Так, возмущающая сила вида
вызовет сложные колебания
. (44)
Если частоты
и
близки одна к другой, то суммарное
движение принимает своеобразный характер и называется биением
(рис.29a). Особенностью биений является периодическое
73
изменение амплитуды колебаний. Для анализа этого явления
)
2
sin
1
(sin
2
21
)
2
sin
1
(sin
2
21
2
sin
21
sin
1
tptp
AA
tptp
AA
tpAtpAx
t
pp
t
pp
AAt
pp
t
pp
AA
2
cos
2
sin)(
2
sin
2
cos)(
2121
21
2121
21
t
pp
bt
pp
bx
2
cos
2
sin
21
2
21
1
;
2
cos)(
21
211
t
pp
AAb
.
2
sin)(
21
212
t
pp
AAb
1
2
b
b
arctg
)
2
sin(
21
2
2
2
1
t
pp
bbx
,p
1
2
p
b
1
2
b
)sin( ptAx
преобразуем сначала решение (44).
или
где
=
,
, (45)
Обозначая
, (45) перепишем в виде:
.
Вследствие того, что частоты
величины
,
и
меняются медленно. Таким образом,
близки друг другу,
движение можно описать выражением
,
74
где
2
pp
P
21
2
2
2
1
bbA
21
2
pp
Т
А
21
pp
21
4
ppT
ptF sin
0
среднее значение частоты;
медленно меняющаяся амплитуда колебаний;
медленно меняющаяся фаза.
Итак, движение будет носить почти синусоидальный
характер, причём амплитуда колебаний А есть медленно
изменяющаяся функция времени. Период изменения амплитуды А
(период биений) составляет
.
Так как разность
мала, то период ТА значительно
больше периода колебаний
.
Биения могут возникнуть и при действии одной
возмущающей силы
близка к собственной частоте
вблизи резонанса, когда частота p
. Из решения (41) видно, что в
данном случае колебания состоят из двух гармоник с близкими
частотами p и
. Преобразования, подобные выполненным выше,
приводят к выводу, что и здесь суммарные колебания носят
синусоидальный характер с переменной амплитудой. Однако этот
процесс не является стационарным; свободные колебания
вследствие затухания постепенно исчезают, и остаются только
вынужденные колебания, так что биения прекращаются (рис.29б).
75
Рис. 29 Характер движения
а) биение б) вынужденные колебания
5.1.7. Действие произвольной периодической возмущающей
силы (способ разложения на гармонические составляющие)
В практических приложениях часто встречаются
периодические возмущающие силы более сложного характера, чем
рассмотренные выше.
Так, на рисунке 30а показан закон изменения крутящего
момента, создаваемого четырёхтактным двигателем внутреннего
сгорания. Другой пример – периодические "безмассовые" удары –
показан на рисунке 30б.
Силы (моменты) рассматриваемого вида имеют чётко
выраженный период колебаний Т, но не описываются единым
аналитическим выражением. В подобных случаях чаще всего
76
пользуются разложением периодической нагрузки в ряд Фурье.
...,2sinsin...2coscos)(
21210
ptbptbptaptaatF
T
P
2
i
a
i
b
,)(
1
0
0
dttF
T
a
T
;cos)(
2
0
1
ptdttF
T
a
T
;sin)(
2
0
1
ptdttF
T
b
T
;2cos)(
2
0
2
ptdttF
T
a
T
;2sin)(
2
0
2
ptdttF
T
b
T
...
2
1
2sin2cos
1
sincos
2
22
2
2
110
p
c
ptbpta
p
c
ptbpta
c
a
x
При этом сила представляется в виде суммы гармонических
составляющих, а затем определяется эффект, вызываемый каждой
из составляющих; после этого полученные частные эффекты
суммируются.
Периодическую силу F(t) можно представить в виде ряда
Фурье:
где
основная частота возмущения.
Коэффициенты
и
вычисляются по формулам
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Опираясь на решение (43), полученное для одной гармоники,
находим:
(46)
77
c
a
0
Рис. 30 Периодические возмущающиеся силы сложного порядка
а) закон изменения крутящего момента
б) периодические «безмассовые» удары
Это решение состоит из постоянного слагаемого
соответствующего среднему значению возмущающей силы, и ряда,
соответствующего гармоническим колебаниям с частотами p, 2p, ....
Если собственная частота совпадает с частотой какой-либо одной
гармоники np (n=1,2,...), то соответствующее слагаемое в (46)
стремится к бесконечности. Следовательно, в общем случае
периодической возмущающей силы резонанс наступает не только
тогда, когда собственная частота
равна основной частоте
возмущающей силы p, но и когда кратно p (в некоторых частных
случаях в (46) пропадают некоторые слагаемые, и резонанс
наступает не при любой кратности).
,
78
Рассмотренный способ чётко выявляет условия наступления
резонанса. Недостатком этого способа является сложность
вычислений, необходимых для учёта большого числа слагаемых в
(46). Так, возмущающую силу, показанную на рисунке 30a, для
достаточной точности необходимо заменить примерно десятью
гармониками.
ЛИТЕРАТУРА
1 Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем /
А.П. Филиппов. М., Машиностроение, 1970. 734 с.
2 Сурьянинов Н.Г., Дащенко А.Ф., Белоус П.А.
Теоретические основы динамики машин / Н.Г.
Сурьянинов, А.Ф. Дащенко, П.А. Белоус. Одесса,
ОГПУ, 2000. 306 с.
3 Бидерман В.Л. Теория механических колебаний / В.Л.
Бидерман. М., Высшая школа, 1980. 408 с.
4 Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. М.,
Наука, 1968. 560 с.
79
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................... 3
1.1. Упругость звеньев и потенциальная энергия системы. 3
Силы упругости и демпфирующие сопротивления .............. 3
3.1. Способы образования механических моделей с
конечным числом степеней свободы ........................................... 15
3.2. Классификация сил, действующих при колебаниях 18
3.3. Классификация колебаний .......................................... 22
4. Свободные колебания ............................................................ 25
4.1. Общие сведения о свободных колебаниях ................ 25
4.2 Свободные колебания системы с одной степенью
свободы без трения ........................................................................ 33
4.3. Свободные колебания системы с одной степенью
свободы при наличии трения ............................................................ 38
4.3.1 Вязкое трение ................................................................. 38
4.3.2. Сухое трение .............................................................. 44
4.3.3.Позиционное трение................................................... 48
5. Вынужденные колебания ....................................................... 52
5.1. Системы с одной степенью свободы при отсутствии
трения .................................................................................................. 52
5.1.1.Силовое возбуждение колебаний ............................. 52
5.1.2. Кинематическое возбуждение колебаний .............. 55
80
5.1.3. Общее решение стандартного уравнения ............... 56
5.1.4. Действие непериодической возмущающей силы .. 60
5.1.5. Действие гармонической силы ................................ 67
5.1.6. Действие двух гармонических сил с близкими
частотами биения ........................................................................... 72
5.1.7. Действие произвольной периодической
возмущающей силы (способ разложения на гармонические
составляющие) ................................................................................ 75
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]