Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
31
чтобы стрелка пришла в это положение достаточно быстро,
вводится демпфирирование. Чрезмерно сильное трение является
столь же вредным, как и недостаточное трение, поскольку в этом
случае стрелка перемещается в положение отсчёта слишком
медленно.
Существует много способов искусственного введения трения
в систему. Это может быть осуществлено, например,
электрическим способом, но чаще используются чисто
механические методы демпфирования. Перечислим основные
методы.
1. Вязкое трение в жидкости. Простейшим примером
является гидравлический демпфер, который состоит из поршня,
перемещающегося в цилиндре; трение возникает при
перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется
воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой цилиндра. В
некоторых других устройствах используются лопасти,
движущиеся в масле или силиконовой жидкости.
2. Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии. При
ударе по "колоколу", изготовленному из специального сплава
меди и марганца, вместо звона слышится глухой стук. В
амортизирующих опорах часто используют резину; это связано с
её высокими демпфирующими характеристиками. Лопатки
компрессоров иногда изготавливают из волокнистых полимерных
материалов, обладающих значительным внутренним трением.
3. Демпфирующие покрытия панелей. Существуют такие
материалы, нанесение которых на поверхность металлических
32
панелей приводит к тому, что при ударе по панели вместо
характерного для металлов звука слышится глухой стук.
4. Сухое трение, возникающее при взаимном скольжении
поверхностей в процессе вибрации. Этот способ используется,
например, в некоторых компрессорах газовых турбин, где
осуществлено шарнирное крепление лопаток к ротору. Кроме
того, сухое трение возникает, когда в некоторые пружины с
целью демпфирования вставляются пучки металлической
проволоки.
5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из тонких
металлических листов, разделённых тонким слоем вязкоупругого
материала, обладают хорошими звукоизолирующими
свойствами.
6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Например,
электрические лампочки, упакованные в такие прокладки, можно
без всякого риска бросать с большой высоты на твёрдый пол.
Таким образом, существуют два вида демпфирования:
искусственно вводимое и связанное с естественными силами
трения. Если искусственно вводимое трение чаще всего допускает
теоретическую оценку, то естественное трение, как правило, не
поддается расчёту и должно определяться экспериментально.
Появление трения или его увеличение не приводит к
заметным изменениям частоты и формы собственных колебаний.
Поэтому исследование свободных колебаний вначале удобно
проводить без учёта трения.
33
4.2 Свободные колебания системы с одной степенью
0cxxm
)fx(cmgxm
ст
свободыбез трения
В большинстве упругих систем при достаточно малых
перемещениях сила упругости линейно зависит от перемещения x.
Если начало отсчёта смещения x выбрать так, что при x=0: F=0, то
для линейной системы F=cx, где с коэффициент жесткости
системы.
Дифференциальное уравнение движения системы с одной
степенью свободы (рис. 10а) таково:
. (1)
Вид дифференциального уравнения не меняется при
действии на систему постоянных сил (например, сил тяжести), если
смещение тела отсчитывать от положения его статического
равновесия.
Рис.10Одномассовые системы
Действительно, уравнение движения тела массой m (рис.11а),
находящегося под действием силы тяжести и совершающего
свободные колебания, имеет вид
, (2)
34
где
c
mg
f
ст
0cJ
tsinCtcosCx
21
m
c
0
x
01
xC
0
2
x
C
удлинение пружины от силы тяжести груза.
Следовательно, слагаемыеmg иc в уравнении (2) взаимно
уничтожаются, и уравнение (2) совпадает с (2).
Уравнение движения одномассовой системы, совершающей
крутильные свободные колебания (рис. 1б), записывается
аналогично:
,
где
угол поворота тела, рад;
J момент инерции массы m относительно продольной оси
вала, кг∙м
2
;
с крутильная жесткость упругой связи, кг/с2.
Решение уравнения (1) имеет вид
где
частота, рад/с;
С
и С2 постоянные интегрирования, определяемые из
1
, (3)
угловая частота колебаний, или собственная
начальных условий.
Обозначая смещение и скорость в начальный момент
времени t0=0 черезx
и
0
соответственно, после подстановки в (3)
находим
,
. (4)
Выражение (3) можно записать иначе:
35
)tsin(Ax
, (5)
2
0
2
0
2
2
2
1
x
xCCA
0
0
2
1
x
x
C
C
tg
2
c
m
2
2
2
1
c
mg
f
ст
где
,м;
.
Таким образом, движение груза при свободных колебаниях
одномассовой системы без трения описывается синусоидальным
законом с амплитудой колебаний А, периодом
фазой
(рис.11).
Период колебаний
определяется из условия:
и начальной
,
откуда
. (6)
Число колебаний в единицу времени (техническая частота,
измеряемая в герцах):
. (7)
В практическом отношении иногда оказывается удобным
связать частоту и период колебаний со статической деформацией
f
упругой связи, вызванной силой, равной весу груза,
ст
.
36
Рис.11 График свободных колебаний
ст
f
g
ст
f
g
2
1
g
f
2
ст
)tcos(Ax
t
При этом справедливы формулы:
;
;
. (8)
Так как величина fствведена в (5) формально, то очевидна их
справедливость независимо от того, совпадает или не совпадает
направление силы тяжести с направлением движения груза.
Для анализа свободных колебаний удобно использовать
изображение закона движения системы на фазовой плоскости, или
так называемый фазовый портрет. Фазовым портретом движения
называется графическое изображение зависимости скорости
движения от смещения. Для получения фазового портрета
продифференцируем выражение (5) по t:
(9)
Уравнение движения (5) и выражение (9) представляют собой
уравнение фазовой траектории в параметрической форме.
Исключая параметр
, получим
37
2
2
2
2
A
x
x
. (10)
A
Уравнение (10) является уравнением эллипса с полуосями,
равными А и
(рис. 12а). Верхняя полуплоскость соответствует
возрастанию смещения, нижняя - убыванию. Размеры эллипса
зависят от начальных условий, определяющих амплитуду
колебаний А.
Рис.12Фазовый портрет движения
Все возможные свободные колебания одномассовой системы
изображаются семейством эллипсов, каждый из которых
соответствует определённому уровню энергии. Чем больше
амплитуда колебаний А, тем больше полная энергия системы. Если
значения энергии откладывать по оси, перпендикулярной чертежу,
то получится поверхность (параболоид), нижняя точка которой
соответствует нулевому энергетическому уровню. Точка,
изображающая значения смещения и скорости в данный момент
времени (изображающая точка), перемещается по горизонтали этой
поверхности.
38
Если изменить масштаб построения фазовой траектории и
x
xkR
откладывать по оси абсцисс х, а по оси ординат
траектория (рис. 12б) будет представлять собой окружность
радиусом А, причём изображающая точка будет равномерно
двигаться по этой окружности с угловой скоростью, равной частоте
собственных колебаний
При наличии рассеяния энергии изображающая точка
перемещается по спирали, приближаясь к началу координат.
4.3. Свободные колебания системы с одной степенью свободы
.
при наличии трения
4.3.1 Вязкое трение
, то фазовая
В этом случае возникает сопротивление движению, которое
пропорционально его скорости. При этом сила сопротивления
описывается выражением:
, (11)
где k коэффициент пропорциональности.
Примером системы, работающей в условиях вязкого трения,
может служить гидравлический амортизатор (рис.13), который
создаёт сопротивление движению поршня, зависящее не от
перемещения (как это свойственно упругим связям), а от скорости
и пропорционально её первой степени (11). Подобные устройства
применяются, например, в конструкциях автомобильной подвески.
Гидравлический амортизатор состоит из одного или нескольких
цилиндров с поршнями или из камеры, в которой может вращаться
39
крыльчатка. Цилиндры и камера наполнены амортизационной
0xkcxxm
0xxn2x
2
m2
k
n
m
с
2
жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость
продавливается через калиброванные отверстия; этим создаётся
сопротивление, по характеру близкое к вязкому. В формуле (11) R
это сила, действующая на амортизатор, а вязкая реакция
амортизатора на колеблющееся тело имеет противоположное
направление.
Дифференциальное уравнение движения в рассматриваемом
случае таково:
или
где
Рис.13 Гидравлический амортизатор
;
.
, (12)
, (13)
Для рассматриваемого линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое
уравнение имеет вид:
40
02
22
nss
,
22
nins
1
22
n
)sincos(
1211
tCtCex
tn
)cos(
1
tAex
tn
2
2
2
1
CCA
2
1
C
C
tg
1
.
Обозначим
.
Тогда решение уравнения (16) определяется формулой:
(14)
или
, (15)
где
;
.
Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза
описывается непериодическим законом (рис. 14).
Тем не менее, часто это движение называют периодическими
затухающими колебаниями, несмотря на очевидную
невозможность совмещения понятий "периодические" и
"затухающие".
Под периодом
этих колебаний понимают время между
двумя максимальными смещениями:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]