Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
11
Третий закон (закон равенства действия и
противодействия) – силы, с которыми действуют друг на друга
две материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по
одной прямой (соединяющей данные точки) в противоположные
стороны.
Модули ускорений, сообщаемых друг другу двумя
материальными точками, обратно пропорциональны массам этих
точек: a1/a2=m2/m1.
Четвертый закон (закон независимости действия сил) –
ускорение, получаемое материальной точкой при одновременном
действии на нее нескольких сил, равно геометрической сумме тех
ускорений, которые получила бы эта точка под действием каждой
из данных сил в отдельности:
ma=F,
где F – равнодействующая системы сил, приложенных к
данной точке, равная их геометрической сумме (равнодействующая
всех сил, действующих на точку).
Основные единицы: длины – м, времени – с, силы или
массы – Н= кг∙м/с2 или кг.
Принцип Даламбера: Векторную величину, равную по
модулю произведению массы точки на ее ускорение и
направленную противоположно этому ускорению, называют силой
инерции точки. (иногда даламберовой силой инерции).
Принцип Даламбера для материальной точки: Если в
каждый момент времени к фактически действующим на точку
силам (внешним и внутренним) прибавить силу инерции, то
12
полученная система сил будет уравновешенной, т.е. F=0. Это
положение эквивалентно второму закону Ньютона.
Принцип Даламбера для системы: Если в любой момент
времени к каждой из точек системы, кроме фактически
действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить
соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет
находиться в равновесии и к ней можно применять все уравнения
статики.
Для применения принципа Даламбера необходимо знать
значение и направление всех сил, действующих на систему, всех
ускорений масс системы, а также значения и направления реакций
связей. Во многих случаях затруднительно определить значения и
направления ускорений и реакций связей.
Уравнения Лагранжа.Метод Лагранжа основан на понятии
обобщенных координат. Обобщенные координаты, как и
декартовы, являются независимыми, полностью определяющими
положение системы. При изучении колебаний в качестве
обобщенных координат обычно принимают изменение длины, если
расчетная схема составлена для линейных колебаний, или
изменение угла, если МС совершает крутильные колебания. В
сложных МС иногда необходимо в качестве обобщенных
координат одновременно принимать длину и угол.
Обобщенная координата определяет понятие обобщенной
силы. Произведение обобщенной силы на приращение обобщенной
координаты равно работе. Следовательно, если обобщенную
13
координату обозначить через х, а обобщенную силу через Q, то
Qx=A,
где A – работа силы Q на перемещении x.
Обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам
при приращениях обобщенных координат в выражении полной
элементарной работы действующих на систему сил.
Единица обобщенной силы определяется из уравнения. Если в
качестве обобщенной координаты принято линейное перемещений,
то обобщенная сила измеряется в Ньютонах. Если в качестве
обобщенной координаты принят угол закручивания какой-либо
массы МС, то обобщенной силой будет крутящий момент (Н∙м).
Числом степеней свободы механической системы называется
число независимых координат, однозначно определяющих
положение всех её материальных точек. В задачах динамики
положение точек системы меняется с течением времени,
следовательно, координаты точек являются функциями времени.
Основная задача динамики состоит в определении этих
функций или, как говорят, в определении движения системы. После
этого по известным формулам сопротивления материалов
определяются внутренние усилия, напряжения и деформации в
элементах колеблющегося тела.
Состояние сложной МС с несколькими массами
определяется несколькими обобщенными координатами. Число
обобщенных координат равно числу степеней свободы системы.
Например, свободное твердое тело, не подчиненное никаким
внешним связям, имеет шесть степеней свободы, свободная
14
материальная частицы – три степени свободы, неизменяемый
,
i
i
p
i
k
i
k
Q
q
Е
q
E
q
E
dt
d
отрезок – пять степеней свободы, тело, принужденной оставаться
на поверхности – три степени свободы.
Следовательно, количество уравнений Лагранжа второго рода
должно быть равно числу степеней свободы МС. Уравнение
Лагранжа второго рода имеет вид:
(i=1, 2 …,n)
где Е
Е
р
qi, Qi – соответственно обобщенная координата, сила;
n – число обобщенных координат.
Эти уравнения представляют собой систему n обыкновенных
уравнений второго порядка с n неизвестными функциями времени
q1,…,qn.
Уравнения Лагранжа применимы только для МС с
идеальными связями, силы трения не учитываются, если учет сил
трения необходим, то эти силы рассматривают как активные или
выделяют соответствующие механизмы из манипуляционной
– кинетическая энергия МС;
к
– потенциальная энергия МС;
системы и рассматривать их особо.
Кинетическая энергия робота определяется как сумма
кинетических энергий всех его звеньев, при этом каждое звено
рассматривается как твердое тело, совершающее пространственное
движение.
15
Для определения обобщенной силы Qs необходимо
определить работу всех активных сил на возможном перемещении
системы, соответствующем изменению обобщенной координаты qs
на малую величину qs.
3. Основные понятия и определения
3.1. Способы образования механических моделей с
конечным числом степеней свободы
Любая реальная механическая система состоит из
бесконечного числа материальных точек, связи между которыми не
являются абсолютно жёсткими, поэтому число степеней свободы
реальной механической системы бесконечно велико. Решение
задачи о колебаниях таких систем представляет собой весьма
сложную проблему. Получить точное аналитическое решение, как
правило, невозможно, а часто и нецелесообразно, поэтому при
переходе от реального объекта исследования к расчётной схеме
приходится вводить упрощения, связанные с ограничением числа
степеней свободы системы.
Можно указать три основных способа образования
механических моделей с конечным числом степеней свободы
системы.
Первый способ состоит в том, что относительно менее
массивные части системы полагаются совсем невесомыми
элементами (при этом они могут считаться как жёсткими, так и
деформируемыми), а наиболее массивные части принимаются за
16
абсолютно твёрдые тела, которые, в случае их сравнительно
небольших размеров, считаются материальными точками.
Например, пружина (рис. 1а) и балка (рис. 1б) считаются
безмассовыми и упругими, а полосы (рис. 1в) - безмассовыми и
жёсткими. В качестве обобщённой координаты приняты
горизонтальное (рис. 1а) и вертикальное (рис. 1б,в) перемещения.
Все указанные модели представляют собой системы с одной
степенью свободы.
Рис.1 Механические модели с одной степенью свободы:
а) пружина б) балка в) полосы
Аналогичным образом можно образовывать модели с любым
конечным числом степеней свободы.
Второй способ состоит в том, что распределённые по всему
объёму системы свойства податливости сосредотачиваются в
конечном числе точек или линий. При этом система представляется
в виде совокупности упруго- сочленённых жёстких элементов.
Например, упругая балка с непрерывно распределённой
массой может быть приближённо заменена рядом жёстких звеньев,
соединённых упругими шарнирами, количество которых
определяется требуемым уровнем точности решения задачи (рис.2).
17
Рис. 2 Упругая балка
)t(x),t(x),t(x
321
1312
xxxx
)t(x
1
),x(f)t(q)t,x(y
Третий способ основан на некоторых предположениях об
изменении конфигурации системы в процессе колебаний.
Например, для системы грузов, соединённых пружинами
(рис. 3) можно принять, что отношение между перемещениями
неизменны во времени, а отношение
заранее назначается.
Рис. 3 Система грузов
В результате движение системы полностью описывается
одной функцией времени, например
, через которую
выражаются перемещения всех точек системы. Таким образом,
реальный объект приведён к механической модели с одной
степенью свободы.
Аналогично для балки на двух опорах можно принять, что
форма изогнутой оси остается неизменной в любой момент, а
изменяется только её масштаб. Тогда вертикальное перемещение
точек балки при её колебаниях, представляющее собой функцию
двух переменных, можно представить в виде
18
где f(x)-постоянная функция формы, а q(t)переменная функция
времени, являющаяся единственной неизвестной величиной задачи.
Одна и та же реальная механическая система может быть
приведена к модели с одной или несколькими степенями свободы
любым из трёх перечисленных способов.
3.2. Классификация сил, действующих при колебаниях
При определённых допущениях все разнообразные по своей
природе внешние и внутренние силы, действующие в
колеблющейся системе, можно разделить на несколько
характерных групп.
Обобщенные вынуждающие (возмущающие) силы это
внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, не
зависящие от движения системы, но влияющие на него. Причины
возникновения этих сил весьма разнообразны. Например, при
работе электродвигателя, установленного на балке или на каком-
либо фундаменте, вследствие неуравновешенности ротора
возникает центробежная сила инерции, вертикальная составляющая
которой вызывает колебания опорной конструкции. Этот вид
возбуждения колебаний называется инерционным. Возможны
другие причины возникновения вынуждающих сил, например,
периодические изменения давления в цилиндрах двигателей
внутреннего сгорания или периодические изменения сил
притяжения электромагнитов, питаемых источником переменного
тока.
19
Все перечисленные случаи представляют собой силовое
возбуждение вынужденных колебаний. В некоторых случаях
возбуждение колебаний задаётся кинематически, например
автомобиль, движущийся по неровной дороге. Такое возбуждение
всегда можно заменить эквивалентным силовым возбуждением.
Весьма разнообразны законы изменения возмущающих сил
во времени. Наиболее часто встречаются периодические
вынуждающие силы. Особую роль здесь играет гармоническая
вынуждающая сила, т.е. сила, которая изменяется во времени по
закону синуса или косинуса. Такая сила возникает при работе
машин с равномерно вращающимися роторами. Машины с
кривошипо-шатунными механизмами также вызывают появление
периодической возмущающей силы, которая, однако, не является
гармонической.
Возможны также колебания, обусловленные действием
непериодических вынуждающих сил, представляющих собой
случайные функции времени - случайные процессы. К последним
относится, например, уже упоминавшееся воздействие неровной
дороги на движущийся автомобиль.
Обобщенные позиционные силыэто силы, зависящие от
положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое
значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые
возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти
силы обусловливают способность системы совершать свободные
колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются
силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой
20
системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна
xkR
отклонению системы. Свойства упругих связей при этом
определяются коэффициентом жесткости, который представляет
собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное
единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и
отклонением существует нелинейная зависимость. При этом
упругие свойства связей невозможно определить одним
коэффициентом и приходится использовать так называемую
упругую характеристику, уравнение которой F=F(x)
иллюстрируется графиком в координатах x, F. Упругая
характеристика строится расчетным путём или экспериментально.
Наряду с силами упругости восстанавливающими свойствами
обладают также сила плавучести и в определенных случаях сила
тяжести.
Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей
и направлены противоположно движению. Эти силы совершают
необратимую работу, что приводит к диссипации (рассеянию)
механической энергии, поэтому иногда их называют
диссипативными силами. Обычно силы трения препятствуют
движению; исключение составляют автоколебательные системы.
Диссипативные свойства описываются при помощи
характеристиктрения, которые представляют собой графические
зависимости вида
. В ряде случаев характеристика трения
может быть нелинейной или разрывной.
Силы смешанного характера могут развиваться в сложных
механических системах. Характерной особенностью таких сил
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]