Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
51
Характер движения при позиционном трении показан на рис.
21
12
11
4
2
4
2
21
11
22
1
2
20. Из полученных формул следует, что при силе трения,
пропорциональной смещению, логарифмический декремент
колебаний постоянен и, следовательно, точно так же, как и при
вязком трении, последовательные амплитуды составляют
геометрическую прогрессию.
Рис. 20Характер движения при позиционном трении
Как видно из рисунка 21, период рассматриваемых
затухающих колебаний:
Соответствующая этому периоду угловая частота:
.
.
Частоты
и
определяются выражениями
52
2
1
C2
CC
1
m
C
m
С
0
0
2101
1
;
2
1
C2
CC
1
m
C
m
С
0
0
2102
2
mС
00
2
1
2
1
41
2
2
0
),t(FF
,
где
собственная частота соответствующей
системы без трения.Тогда:
.
При небольших логарифмических декрементах колебаний
это выражение отличается от собственной частоты колебаний
соответствующей системы без трения на величину второго порядка
малости. Поэтому подобно вязкому и сухому трению позиционное
трение практически не влияет на собственную частоту колебаний.
5. Вынужденные колебания
5.1. Системы с одной степенью свободы при отсутствии
трения
5.1.1.Силовое возбуждение колебаний
Независимо от природы вынуждающих сил будем исходить
из того, что каждая из них задана в виде некоторой функции
времени
где
1,2,...,n порядковый номер
материальной точки.
53
Рассмотрим простейшую систему (рис.21а) с одной степенью
F(t)
x
с
а
б
m
m
F(t)
cx
),t(Fcxxm
.
m
)t(F
xx
2
t
свободы, которая совершает колебания под действием
вынуждающей силы F(t). В любой момент времени на груз массой
m действуют две силы: сила упругости пружины,
пропорциональная смещению груза X, и возмущающая сила F(t),
изменяющаясявовремени по некоторому, заранеезаданному закону
(рис.21б).
Рис. 21 Система с одной степенью свободы под действием
вынуждающей силы
Дифференциальноеуравнениедвижениягруза:
где С жесткость пружины,
или
(26)
Это уравнение иногда называют стандартным, так как к нему
можно прийти и при рассмотрении других систем с одной степенью
свободы, имеющих совершенно иной конструктивный вид.
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях,
вызываемых единичным толчком, т.е. внезапно приложенной в
момент времени
и затем постоянно действующей силой F = 1
(рис. 22а).
54
При
t
.
m
1
xx
2
0x
0x
t
tcosCtsinCx
211
,
C
1
m
1
x
2
2
.
C
1
tcosCtsinCxxx
2121
C
cos
C;
C
sin
C
21
.
C
)t(cos1
x
c/2x
max
дифференциальное уравнение движения имеет вид
Решение уравнения должно удовлетворять начальным
условиям
и
при
и представляет собой сумму общего
решения соответствующего однородного уравнения
и частного решения заданного уравнения
т.е.
Используя начальные условия, определим постоянные
интегрирования С
и С2:
1
и тогда
Этот закон движения показан на рис. 22б. Максимальное
значение смещения x составляет
, т.е. в два раза
превышает перемещение, вызванное статическим действием силыF
= 1.
55
c
2
2
t x t
1
F
а)
б)
Рис. 22 Вынужденные колебания:
0=)xC(+xm f
.
m
)t(C
xx
2
f
а) единичная сила б) закон движения
5.1.2. Кинематическое возбуждение колебаний
К такому же стандартному уравнению можно привести
задачу о вынужденных колебаниях, вызываемых кинематическим
способом. Рассмотрим вновь одномассовую систему, но
предположим, что причиной колебаний груза m являются
колебания точки крепления пружины (рис. 23). Пусть закон
движения этой точки задан в виде f = f(t). Удлинение пружины в
текущий момент времени равно x - f, а на груз действует сила
упругости пружины - С(x - f), и дифференциальное уравнение
движения
,
или
56
x
f(t)
,tcosCtsinCx
21
Рис. 23 Одномассовая модель
Произведение Сf(t) можно считать приведенной
возмущающей силой F(t), и тогда уравнение движения принимает
стандартный вид (26).
5.1.3. Общее решение стандартного уравнения
Известны несколько методов решения уравнения (26).
Рассмотрим наиболее часто используемый метод метод вариации
произвольныхпостоянных, применение которого позволяет
получить результат, пригодный для любых законов изменения
возмущающей силы.
Идея метода состоит в том, что частное решение уравнения
(26) ищется в виде
(27)
соответствующем решению однородного уравнения, но здесь
величины С
и С
1
следует считать не постоянными, а переменными.
2
В результате задача определения функции x(t) заменяется задачей
определения двух функций C1(t) и C2(t). Так как для этого имеется
только одно уравнение (27), то функции C1(t) и C2(t) можно связать
еще одной произвольной зависимостью.
57
Составим выражение скорости:
tcosCtsinCtsinCtcosCx
2121
C
1
C
2
,0tcosCtsinC
21
,tsinCtcosCx
21
.tsinCtcosCtcosCtsinCx
21
2
2
2
1
.
m
)t(F
tsinCtcosC
21
)t(C
1
)t(C
2
tsin
m
)t(F
C ;tcos
m
)t(F
C
21
t
t
BdF
m
C
BdF
m
C
0
22
0
11
;sin)(
1
;cos)(
1
и свяжем
и
соотношением
тогда скорость запишется в форме
а ускорение
Подставляя (27) и (29) в (26), получим
(28)
(29)
Из (83) и (85) можно найти производные
Интегрируя, получим
(30)
и
.
(31)
где B1 и B2 постоянные величины.
58
(26)
,cossin
sin)(coscos)(sin
1
21
0 0
tBtB
dFtdFt
m
x
t t
tsin
tcos
t
0
21
.d)t(sin)(F
m
1
tcosBtsinBx
t
0
21
.d)t(cos)(F
m
1
tsinBtcosBx
00
V=x ,xx
.xB ;
V
B
02
0
1
t
0
0
0
.d)t(sin)(F
m
1
tsin
V
tcosxx
Подставляя (31) в (27), получим общее решение уравнения
(32)
или, внося
и
под знаки интегралов и объединяя их,
Соответственно для скорости
(33)
Значения постоянныхB1 и B2 можно определить только после
того, как указаны начальные условия движения. Если
при t=0, то из (32) и (33) найдем
Тогда решение принимает вид
Здесь первые два слагаемых описывают свободные
колебания, вызванные начальными возмущениями x0 и V
, а третье
0
слагаемое характеризует вынужденные колебания, вызванные
действием возмущающей силы F(t).
59
В случае нулевых начальных условий, когда движение
t
0
.d)t(sin)(F
m
1
x
u.=)F( ;dVd)t(sin
.)d(F=du ;
)t(cos
V
Cm
2
.)(cos)(
1cos)0()(
)(cos)(
1
)(cos
)(1
)(sin)(
1
0
0
0
0
t
t
t
dtF
CC
tFtF
dtFt
F
m
dtF
m
x
t
0
cm
,d)t(cos)(F
C
1
xx
начинается при x0 = 0 и V0 = 0,
(34)
В некоторых случаях удобнее использовать другую форму
решения, которую получим, интегрируя по частям решение (34).
Положим
Тогда
Заменяя
, по формуле интегрирования по частям
получим
(35)
Если в начальный момент времени F(0)=0, то решение принимает
вид
(36)
60
где
C)t(Fx
cm
.d)t(sin)(x
t
0
f
t
0
.d)t(cos)()(x ff
:a)t(F
.tsin
C
a
xx
cm
t
c
a
t
x
F
а
б
переменное «статическое» перемещение,
вычисляемое в предположении, что силы инерции отсутствуют.
Применим полученные результаты к случаю
кинематического возбуждения колебаний (рис.23). Полагая
F(t)=Cf(t), основное решение (89) запишем в виде
Аналогично вместо формулы (90) при F(0)=0 получим
(37)
5.1.4. Действие непериодической возмущающей силы
1. Действие линейно возрастающей силы (рис.24а)
Используем выражение (36), полагая
График этого движения показан на рис.24б.
Рис. 24 Действие линейно возрастающей силы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]