Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
21
является принципиальная невозможность их разложения на
x
tsinFF
0
sin)sin(
0
tFmgM
)t,(M
)t(M)(M
)x,x(FF
)x(F
вышеперечисленные составляющие типа F(t), F(x), F(
). В качестве
примера рассмотрим параметрическую систему - маятник, на
который действует вертикальная сила
(рис. 4). Момент
внешних сил относительно оси шарнира равен сумме моментов
силы веса mg и силы F:
.
Рис. 4 Маятник
Этот восстанавливающий момент M зависит не только от
смещения
представить в виде суммы
, но и от времени t, причём выражение
, т.е. невозможно выделить
нельзя
восстанавливающую и возмущающую составляющие общего
момента. В автоколебательных системах возможно действие сил
вида
составляющие типа F(x) и
, также неразложимых на элементарные
.
22
3.3. Классификация колебаний
)t()t(
)sin(
tАy
T
2
t
Все многообразие окружающих нас колебательных
процессов можно классифицировать по ряду характерных
признаков.
В соответствии с законом, по которому величина,
характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени,
различают периодические и непериодические колебания.
Периодические колебания подчиняются закону:
f(t + T)=f(t),
где величина T называется периодом колебаний. Кроме того,
имеется широкий промежуточный класс почти периодических
колебаний, для которых
,
где
встречающимися являются гармонические колебания (рис.5),
которые описываются уравнением
почти период,
сколь угодно малая величина.
Простейшими и в то же время наиболее часто
,
гдеА амплитуда колебаний;
круговая (или циклическая, или угловая) частота;
фаза колебаний;
сдвиг фазы;
23
Величина, обратная периоду колебаний, называется секундной
T
f1
частотой и измеряется в герцах:
.
1 Гц соответствует одному циклу изменения за 1 с.
Рис. 5 Гармонические колебания
Часто встречаются периодические, но негармонические
колебания (рис. 6). Их всегда можно рассматривать как сумму
простых гармонических колебаний. Процесс разложения
периодических негармонических колебаний на простые
гармонические составляющие (гармоники) называется
гармоническим анализом и выполняется при помощи рядов Фурье.
Рис. 6 Негармонические колебания
24
Кроме того, часто встречаются следующие виды колебаний:
затухающие (рис. 7а), нарастающие (рис. 7б), биения (рис. 7в).
Рис. 7 Виды колебаний:
а)затухающие б)нарастающие в)биения
Все рассмотренные (рис.7) виды колебаний происходят с
постоянной частотой при монотонном изменении амплитуды.
Возможны также колебания с переменной частотой и постоянной
амплитудой или переменными частотой и амплитудой.
Колебания могут происходить относительно нулевого
отсчетного уровня, смещённого и переменного.
По способу возбуждения различают 4 типа колебаний:
свободные,вынужденные, параметрические и автоколебания.
Свободными (или собственными) называются колебания,
возникающие в изолированной системе вследствие внешнего
возбуждения, вызывающего у точек системы начальное отклонение
от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря
наличию упругих внутренних сил, восстанавливающих равновесие.
Вынужденными называются колебания упругой системы,
происходящие при действии на неё в течение всего процесса
колебаний внешних периодически изменяющихся вынуждающих
сил.
25
Параметрическими называются такие колебания упругой
системы, в процессе которых периодически изменяются
физические параметры системы величины, характеризующие её
массу или жесткость.
Автоколебаниями упругой системы называются
незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними
силами, характер взаимодействия которых определяется самим
колебательным процессом.
Классификацию колебаний проводят также по виду
деформации, возникающей в элементах колеблющейся системы. В
частности, применительно к стержневым системам различают
продольные, поперечные (изгибные) и крутильные колебания.
4. Свободные колебания
4.1. Общие сведения о свободных колебаниях
Прежде чем перейти к строгому математическому описанию
поведения различных систем при свободных колебаниях,
остановимся подробно на природе их возникновения.
Известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое
начальное возмущение, после удаления причины этого возмущения
продолжает совершать колебания. Эти свободные колебания
играют важнейшую роль не только в плане проверки системы на
резонанс, т.е. на выявление совпадения одной из собственных
частот колебаний с частотой действующих на систему постоянно
вибрационных нагрузок. Дело в том, что поведение системы при
свободных колебаниях характеризует её "динамическую
26
индивидуальность", которая определяет поведение системы при
всех других условиях.
Рассмотрим некоторые примеры возникновения свободных
колебаний. После того как по струне рояля ударяет один из
молоточков, струна некоторое время продолжает самостоятельно
совершать колебания - свободные колебания. Это становится
возможным, во-первых, потому, что струна имеет массу и при
движении накапливает кинетическую энергию, а во-вторых,
потому, что при отклонении от положения равновесия струна
накапливает потенциальную энергию.
Точно так же обычный маятник может совершать колебания
благодаря тому, что, во-первых, его гиря обладает массой и, во-
вторых, при подъёме гири относительно своего низшего положения
она накапливает потенциальную энергию.
Аналогично приведенным примерам корабли, летательные
аппараты, здания, машины, люди и вообще все тела могут
накапливать энергию за счёт изменения формы. Так как все тела
обладают ещё и массой, то после тех или иных начальных толчков
они могут совершать свободные колебания.
Идеальным объектом исследования свободных колебаний
может служить подвешенная за один конец велосипедная цепь.
Пусть свободно висящая цепь первоначально находится в
состоянии покоя. Свободные колебания можно вызвать, если
отклонить цепь каким-либо образом, а затем отпустить или резко её
ударить (но так, чтобы боковое перемещение любой точки цепи
27
было малым по сравнению с длиной цепи). При этом можно
наблюдать следующее:
1. Развитие движения во времени зависит от того, как оно
началось.
2. Движение постепенно затухает.
3. При своем движении цепь не имеет какой-либо
определённой формы; с течением времени форма цепи
изменяется, однако в конце движения колебания часто
характеризуются более или менее отчетливой формой.
4. Невозможно указать "частоту" колебаний, но с течением
времени движение может принять определённую частоту.
Кажущийся хаотический характер колебаний можно
упорядочить, если надлежащим образом задать начальные условия
движения. В этом случае удаётся получить колебания цепи с
неизменной формой и определённой частотой. Проще всего этого
можно добиться следующим образом. Подвесим цепь к кулисному
механизму (рис. 8).
Рис.8Велосипедная цепь
28
При вращении кривошипа точка подвеса перемещается в
горизонтальном направлении по синусоидальному (т.е.
гармоническому) закону. Если при этом регулировать скорость
двигателя, приводящего механизм в движение, то можно изменять
частоту колебаний точки подвеса. При очень низких частотах цепь
будет просто перемещаться из стороны в сторону, сохраняя более
или менее вертикальное положение. Однако при возрастании
частоты наступает момент, когда цепь начинает интенсивно
раскачиваться с частотой, равной частоте возбуждения (рис. 9а).
Эти колебания не являются свободными, так как цепь находится
под действием вибрационной нагрузки. Но если внезапно
остановить двигатель, т.е. удалить внешнюю нагрузку, то
последующие колебания будут свободными и при этом совершенно
не такими, как при случайно заданных начальных условиях. Эти
колебания будут затухать, но всё время будут сохраняться форма и
частота колебаний цепи. Иначе говоря, характер движения с
течением времени остаётся неизменным. Можно показать, что
существует целый ряд частот начального возбуждения, для каждой
из которых характер движения будет иным, но также неизменным
во времени. Так, при постепенном увеличении частоты колебаний
механизма можно возбудить колебания, во время которых цепь
принимает форму, показанную нарис. 9б.
После резкой остановки точки подвеса такие колебания
постепенно затухают, сохраняя при этом свою частоту и форму.
При еще более высоких частотах можно получить другие формы
колебаний (рис. 9в,г).
29
Таким образом, цепь обладает рядом форм свободных
колебаний, которые называются собственными формами. Каждой
собственной форме соответствуют определённая частота и скорость
затухания колебаний.
Собственные частоты системы (разумеется, любой системы,
а не только подвешенной цепи), её собственные формы и скорости
затухания являются индивидуальными характеристиками системы;
они не связаны ни с какими внешними воздействиями.
Рис.9 Формы колебаний
Экспериментальные исследования показывают, что
увеличение массы системы приводит к снижению, а увеличение
жёсткости - к возрастанию всех её собственных частот. При этом
различные частоты изменяются в разной степени.
Собственные формы колебаний системы обладают
следующими свойствами: любая возможная конфигурация системы
может быть представлена в виде суперпозиции (наложения)
некоторого числа таких конфигураций, каждая из которых
соответствует одной собственной форме колебаний. Таким
образом, если задать системе некоторую статическую деформацию,
а затем освободить систему, то возникнут свободные колебания по
30
всем соответствующим формам; каждое из таких колебаний будет
происходить с соответствующей собственной частотой независимо
от остальных движений. Любая комбинация двух собственных
форм колебаний также является собственной формой.
Теперь перейдём к рассмотрению такой особенности
свободных колебаний, как их затухание.
Эффект затухания колебаний объясняется наличием трения;
иногда его называют демпфированием. Звук колокола слышен в
течение длительного времени после удара, так как нет
значительных сил трения, которые привели бы к рассеянию
механической энергии за счёт её перехода в тепловую энергию, а
рассеяние энергии за счёт излучения звуковых волн происходит
весьма медленно. С другой стороны, если раскачать кузов
автомобиля, а затем отпустить его, то колебания быстро затухнут.
Это объясняется действием специально установленных демпферов.
Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной
системе. Известно, например, что при вибрациях самолёта часть
энергии рассеивается в панелях обшивки за счёт трения в
заклёпочных соединениях. Значительным демпфированием должны
обладать конструкции зданий, что очень важно с точки зрения
поведения здания при землетрясении.
Иногда, если это особенно желательно, можно искусственно
вводить трение; так, например, на автомобилях устанавливают
демпферы колебаний. Прибор, стрелка которого безостановочно
колеблется около положения, соответствующего истинному
показанию, доставляет большое неудобство в работе. Поэтому,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]