Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
41
22
1
1
n
22
. (16)
1
1
1
n
k
k
e
A
A
1
n
e
Рис.14 Периодические затухающие колебания
Величину
называют угловой частотой затухающих
колебаний.
Отношение двух последовательных максимальных
отклонений от положения равновесия
. (17)
Значит, последовательные максимальные отклонения
системы от равновесного положения (амплитуды колебаний)
представляют собой члены геометрической прогрессии со
знаменателем, равным
. Чаще рассматривают не отношение
42
двух последовательных амплитуд, а логарифм этого отношения,
1
1
ln
n
A
A
k
k
1kk
AA
A
A
AA
AA
A
A
k
k
2
2
lnln
1
1
kk
AAA
2)(
1kk
AAA
1
22
1
1
22
n
nn
n
1
22
22
2
1
1
2
1
n
который называют логарифмическим декрементомколебаний:
. (18)
В металлических конструкциях без специально введенных
элементов трения логарифмический декремент составляет обычно
от нескольких сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух
последовательных амплитуд
близко к единице,то
,
где
;
.
Таким образом, при малом затухании логарифмический
декремент примерно равен отношению изменения амплитуды
колебаний за период
к амплитуде А.
Так как логарифмический декремент колебаний:
,
то
.
43
Подставляя значение n
1
1
2
2
22
1
4
1
n
1
693,02ln
1
1
0
x
1210
CnCx
1
00
2
nxx
C
2
в формулу для
, установим связь
между величинами
,
и
:
.(19)
Из (19) следует, что даже при значительном затухании
частота
затухающих колебаний мало отличается от частоты
собственных колебаний соответствующей системы без трения.
Например, при сравнительно большом затухании, когда каждый
следующий размах вдвое меньше предыдущего (
частота
лишь на 0,6 % меньше, чем
. Таким образом, можно
),
считать, что трение практически не влияет на частоту колебаний и
.
Определим постоянные интегрирования в решении
уравнения затухающих колебаний (14). Обозначим смещение и
скорость в начальный момент времени t0=0 через x
и
0
соответственно. После подстановки в (14)получим
x0=C1;
,
тогда
C1=x0;
,
и решение уравнения (13) , удовлетворяющее начальным
условиям, имеет вид
44
)tsin
nxx
tcosx(ex
1
1
00
10
tn
(20)
0Rcxxm
0
0xsgnRcxxm
0
4.3.2. Сухое трение
Рассмотрим движение упруго закрепленного тела массой m
по шероховатой поверхности. Как уже отмечалось, в этом случае
говорят, что имеет место сухое трение (рис.17). Сила трения,
действующая на массу m, постоянна по величине и направлена в
сторону, противоположную движению. Уравнение свободных
колебаний такой системы имеет вид:
, (21)
где знак плюс соответствует этапу движения, на котором
скорость положительна, а знак минус этапу движения, на котором
скорость отрицательна.
Зависимость полной действующей на груз силы F=cxR
от
0
смещения x показана на рис. 15а.
Рис. 15 Движение упруго закрепленного тела
по шерховатой поверхности
Перепишем уравнение (24) в виде:
. (22)
45
Функция sgn
x
x
x
x
x
x
x
0x
0
x
0Rcxxm
0
axx
22
m
с
2
a
c
R
0
есть единичная функция, имеющая знак
аргумента (рис. 15б); sgn
=1 при
>0; sgn
=-1 при
<0; sgn=0 при
=0.
Уравнение (22) содержит нелинейное слагаемое. Тем не
менее, можно найти решение, если рассмотреть последовательные
интервалы движения, на каждом из которых скорость
имеет
постоянный знак.
Отклоним массу m в крайнее правое положение на величину
А и отпустим ее без начальной скорости. В этом случае
x0=A ;
. (23)
Под действием натяжения пружины на этом этапе груз
двигается влево (
<0) и уравнение движения
,
или
, (24)
где
;
.
Коэффициента представляет собой отклонение груза под
действием максимально возможной силы трения. При отклонении
массы m на величину, меньшую или равную а, движение не
начнётся, так как силы упругости пружины недостаточно для
46
преодоления силы трения. Полоса -а<x<a называется зоной застоя.
tsinCtcosCax
21
tcos)aA(ax
x
tsin)aA(x
1
t
)а2А(cos)aA(ax
Поэтому уравнение (27) имеет место при А>a.
Рис. 16Зависимость полной действующей на груз силы от
смещения x
Общее решение уравнения (24) имеет вид
Определяя постоянные интегрирования из начальных
условий (26) получим
Закон движения (25) справедлив до тех пор, пока
как
, то скорость движения будет
отрицательной до момента времени t
. В этот момент масса m остановится, смещение x равно
.
. (25)
<0. Так
, определяемого из условия:
1
,
т. е. под влиянием трения отклонение массы mуменьшилось
по абсолютной величине на 2а.
47
После остановки масса mначнёт двигаться вправо. Повторяя
2
приведенные выше расчёты, можно показать, что движение слева
направо также продолжается в течение времени
Максимальное отклонение вправо равно А-4а. Процесс движения
будет продолжаться до тех пор, пока масса m не остановится в зоне
застоя. Зависимость смещения xот времени t на каждом этапе
движения представляет собой косинусоиду, смещённую по оси xна
величину а или -а, с амплитудой, уменьшающейся по закону
арифметической прогрессии (рис.16*).
.
Рис. 16*Зависимость смещения xот времени t
Время между двумя соседними максимумами отклонения,
которое условно можно назвать периодом колебаний,
.
Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.
Фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим
трением представлен на рис.17.
48
В координатах
,
а
а
а
0
а
22
а
0
аа
изображается дугами окружностей.
гармонический закон движения
Если в (24) ввести новую переменную
уравнение гармонических колебаний без трения. Это движение на
фазовой плоскости изображается полуокружностью радиусом
с центром в точке
, уравнение движения
рассматриваться как уравнение гармонических колебаний со
смещением
движения получаем полуокружность с центром в точке
так до тех пор, пока кривая при
.
. На фазовой плоскости на втором этапе
. На втором этапе движения, когда
не попадёт в зону застоя
, то получится
может
. И
Рис. 17Фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим
трением
4.3.3.Позиционное трение
Так называется вид трения, при котором сила трения
пропорциональна смещению. Рассмотрим систему, состоящую из
груза массой m, закреплённого на рессоре, листы которой собраны
без предварительного натяга (рис. 19а). Сила трения листов
49
рессоры друг от друга пропорциональна контактному давлению,
2
2
СС
21
0
которое, в свою очередь, пропорционально смещению
. Зави-
симость между реакцией рессоры, действующей на груз, и
смещением груза F=
для рассматриваемой системы
представлена на рис. 19б.
Обозначим жёсткость системы при увеличении смещения
по модулю через С1, а жёсткость при уменьшении абсолютного
значения смещения через С
. Жёсткость упругого элемента
системы при отсутствии трения:
С
.
а б
Рис. 19: а) груз, закреплённый на рессоре
б) зависимость между реакцией рессоры, действующей на груз, и
смещением груза
На каждой четверти периода характеристика системы
прямолинейна, поэтому движение массы m описывается
синусоидой. При переходе через равновесное положение частота
50
собственных колебаний меняется от
m
С
2
2
m
С
1
1
0
0
2
22
24
2
1
С
11
24
12
.прав
max
2
1
2
2
2
2
2
1
ln
2
1
C
C
ln
21
СС
0
С
0
21
21
0
21
0
2
1
C
CC
2
CC
C
2
CC
C
ln
C
C
ln
до
Отклоним массуm в крайнее правое положение, при этом её
.
скорость в этот момент
. Если груз отпустить, то он начнёт
двигаться влево под действием силы упругости, уменьшенной на
величину сил трения. Частота собственных колебаний груза будет
, а время движения до равновесного положения
Скорость груза в равновесном положении станет равной
Дальнейшее движение (влево) определяется жёсткостью
, а
крайнего левого положения груз достигает через время
. Наибольшее смещение влево равно
.
Максимальное отклонение вправо в конце полного периода
движения вычисляется по формуле
.
.
=
следовательно, логарифмический декремент колебаний:
=
.
При малом затухании, когда разность жесткостей
существенно меньше средней жёсткости
, получим:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]