Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
61
Перемещения нарастают по сложному закону,
x-
е
)1()(
tv
ehtf
представляющему собой сумму синусоиды и линейной функции.
Дополнительное синусоидальное колебание тем существеннее, чем
быстрее нарастает сила F, т.е. чем больше а.
Колебания подрессоренного груза при движении по неровной
дороге (рис.25)
Пусть профиль дороги задан уравнением
=h(1-
),
где h - предел, к которому стремится высота профиля; - параметр,
характеризующий кривизну профиля.
Рис. 25 Колебания подрессоренного груза при движении по
неровной дороге
Обозначим через V скорость движения груза массой m и
примем начало отсчёта времени в мгновение, когда опорная точка
проходит начало неровности. Тогда х=Vt и движение опорной
точки по вертикали определяется законом
.
Дифференцируя, находим
62
tv
vhe)t(f
.
dtvhetfz
v
t
cos)(
0
dtcosvhe)t(f)t(
v
t
0
tcoscosecosh
tv
v
tg
2
.tcoseh
tv
На основании (37) получим закон движения груза по
вертикали:
.
Так как важным является не абсолютное изменение
положения груза, а его колебания относительно опорной точки, то
рассмотрим разность, определяющую дополнительную
деформацию пружины
Интегрируя, находим
где
стремится к
определяется соотношением
Отсюда следует, что при весьма малой скорости параметр
.
,
.
, а разность z-f к нулю. Наоборот, при весьма
большой скорости (а также при весьма большом значении
параметра
приближённо описываются законом
) параметр
стремится к нулю, и колебания
63
2. Действие медленно изменяющихся сил
tF
tF
max
F
2
TF
d)t(cos)(F
max
t
0
2
T
F
max
C
FF
x
max
Рассмотрим полученное выше решение задачи о
вынужденных колебаниях (36). Первое слагаемое представляет
собой статическое отклонение, вызванное силой F(t). Второе
слагаемое - это поправка к статическому отклонению, причём эта
поправка зависит от скорости изменения силы
.
При малой скорости нарастания внешней нагрузки
динамическая поправка к статическому решению относительно
мала и нагружение практически можно рассматривать как
статическое.
А.Н.Крылов дал оценку динамической поправки для общего
случая возмущающей силы. Если кривая F(t) имеет один максимум
(рис.26а), то, обозначая максимальное значение
через
(рис.26б), имеем
.
Произведение
представляет собой максимально
возможное приращение возмущающей силы за промежуток
времени, равный полупериоду свободных колебаний; обозначая это
произведение через
F
, получим
max
.
64
Рис. 26 Возмущающаяся сила
0
max
t
F
F
0
max
max
t2
TF
F
0m ax
max
t2
T
F
F
Если сила возрастает равномерно в течение времени t
, то
0
и динамическая "добавка" составляет
.
Её относительная величина
.
Отсюда следует, что если период свободных колебаний мал
по сравнению с продолжительностью действия силы, то она может
считаться медленно изменяющейся, а её действие можно
рассчитывать без учёта динамичности, т.е. считать силу
приложенной статически.
3. Действие быстро исчезающих сил
Пусть возмущающая нагрузка действует в течение весьма
короткого промежутка времени. Даже значительная нагрузка может
65
оказаться безопасной, если длительность её действия мала по
2
)
2
sin(
2
sin
2
)(sin
0
a
t
a
C
F
dt
m
F
х
a
T
aa
2
sin2
max ст
хх
sin2
х
х
cт
max
сравнению с периодом свободных колебаний системы.
Рассмотрим действие силы F, которая внезапно
прикладывается в момент времени t=0, действует в течение
некоторого промежутка времени а,а затем также внезапно исчезает.
Можно показать, что если a<
, то максимальное отклонение
системы достигается после исчезновения силы. В таком случае для
t>à, согласно решению (34), имеем
. (38)
Обозначим отношение промежутка времени а к периоду
свободных колебаний Т через
, тогда
.
Максимальное отклонение в соответствии с (38):
.
Следовательно, динамический коэффициент:
Значения динамического коэффициента
силы малой продолжительности приведены в табл. 1.
при действии
66
Таблица 1
0
0,01
0,02
0,03
0,05
0,10
0,15
0,25
0,5
0
0,062
0,126
0,188
0,313
0,618
0,908
1,413
2,000
d)t(sin)(F
m
1
х
a
0
a
0
a
0
dsin)(Ftcosdcos)(Ftsin
m
1
x
a
0
a
0
d
Т
2
sin)(Ftcosd
Т
2
cos)(Ftsin
m
1
T
T
a
T
d)(F
m
tsin
x
a
0
Из приведенной таблицы видно, что если сила действует в
течение малой доли периода свободных колебаний, то эффект
такой кратковременной силы во много раз меньше статического.
Аналогичный вывод можно сделать и в случае, когда возмущающая
сила представляет собой одну половину синусоиды.
Покажем, что действие кратковременной силы приближённо
можно оценить её импульсом. Для t>à решение имеет вид
или
=
Но так как отношение
малое число.
Тогда приближённо можно записать
,
меньше отношения
=
, то
.
есть
.
67
Входящий сюда интеграл есть импульс силы F(t), т.е.
dtpt
m
F
x
t
)(sinsin
0
0
p
)sin(sin
22
0
t
p
pt
pm
F
x
Cm
2
cn
0
x
C
F
)sin(sin
1
2
2
t
p
pt
p
x
x
ст
движение системы определяется величиной импульса
кратковременной силы, причём подробности изменения силы за
промежуток времениа не играют роли.
5.1.5. Действие гармонической силы
Случай, когда возмущающая сила изменяется по
гармоническому закону
F=F0 sinpt, (39)
где F0 амплитуда силы;
p её частота, является наиболее распространённым в практике.
Описание колебательного процесса, вызываемого такой
силой, при нулевых начальных условиях можно получить при
помощи (89):
. (40)
Вычисляя интеграл, при
находим
. (41)
Заменим
и обозначим
(прогиб, вызванный
статически приложенной постоянной силой F0), тогда
. (42)
68
Из (42) следует, что при нулевых начальных условиях
pt
p
x
x
ст
sin
1
2
2
2
2
1
p
x
a
ст
ст
x
ст
x
a
возникают сложные колебания, состоящие из двух частей:
колебаний, происходящих с частотой p возмущающей силы, и
колебаний, происходящих с собственной частотой . Обычно
первые колебания называют вынужденными, а вторые
свободными. Такая терминология является условной. Дело в том,
что и вторые колебания вызваны действующей возмущающей
силой, и их амплитуда зависит от этой силы; в этом смысле вторые
колебания также являются вынужденными. Указанные
наименования получили широкое распространение потому, что
первое слагаемое имеет частоту возмущающей силы, а второе
меняется с собственной частотой системы.
Составляющая, названная выше свободными колебаниями,
быстро исчезает, поэтому достаточно ограничиться изучением
стационарной, незатухающей части решения
. (43)
Амплитуда вынужденных колебаний
(44)
отличается от прогиба
статического действия силы F
, подсчитанного в предположении
. Отношение
0
можно назвать
динамическим коэффициентом
69
2
2
1
1
p
. (45)
p
p
p
p
p
Динамический коэффициент
частот
отношения
зависит только от отношения
. На рис.27a приведена кривая зависимости от
.
Рис. 27 а) кривая зависимости
от отношения
б)изменение амплитуды колебаний в зависимости от
отношения
.
При малой частоте возмущающей силы динамический
коэффициент близок к единице. С ростом частоты p динамический
коэффициент быстро увеличивается и при
обращается в
бесконечность. Это соответствует состоянию резонанса, когда
амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности
(если учесть силы неупругого сопротивления, то амплитуда при
резонансе окажется хотя и ограниченной, но обычно настолько
значительной, что состояние резонанса всё равно следует считать
опасным).
70
Если частота p больше собственной частоты
2
p
p
ptepmF sin
2
0
m
0
p
epm
2
0
2
p
p
)sin(sin
)(
22
2
0
t
p
pt
pm
epm
x
, то
амплитуды становятся конечными; при
динамический
коэффициент становится меньше единицы, т.е. динамический
эффект слабее соответствующего статического эффекта. При очень
больших значениях отношения
динамический коэффициент
становится весьма малым. Это означает, что сила высокой частоты
не вызывает ощутимых колебаний в упругой низкочастотной
системе, которая как бы "не успевает" отзываться на быстрые
изменения возмущающей силы.
В приведенных рассуждениях считалось, что амплитудное
значение возмущающей силы не связано с её частотой. Однако
чаще бывает обратное, например, при вращении
неуравновешенного ротора на опоры передаётся возмущающая
сила:
,
где
масса ротора;
e её эксцентриситет;
угловая скорость.
В данном случае амплитуда возмущающей силы
пропорциональна квадрату
, и вместо решения (41) при
следует принимать:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]