Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы вычислений в MathCAD. Учебное пособие.pdf
вектора v коэффициентов для функции polyroots(v). Ниже приведены
примеры использования перечисленных операторов.
Оператор численного расчета float (от floating point – плавающая
точка) позволяет получить приблизительное значение некоторого выра-
жения с нужной точностью в формате числа с плавающей точкой. Он
содержит два маркера: в левый заносится выражение или функция, в
правый – количество знаков после запятой, которые должен содержать
ответ. Точность результата может быть задана числом от 1 до 250. А это
означает, что можно получить ответ с точностью до 250 знаков [2]. Опе-
ратор будет полезен для упрощения результатов работы символьного
процессора. Ниже показан пример использования данного оператора.
Чтобы добавить в solve оператор float, необходимо курсором синего
цвета выделить имя переменной x, а затем ввести float с панели:
.
Довольно часто приходится производить замену переменных в
математических выражениях. В MathCAD это можно сделать с помощью символьного оператора substitute (заместить). Оператор имеет три
41
маркера для ввода выражения (его имени), заменяемой переменной и за-
мещающей переменной. При необходимости список замен, как показано
ниже, может расширяться с использованием запятой между его элементами и логического знака равенства (Ctrl =) для реализации каждой из
замен.
x
3
y
3
+
substitute x
α,
y
1
β
, α
3
1
β
3
+→
Пакет предоставляет также пользователю следующие средства
для проведения математического анализа.
Символьное дифференцирование и интегрирование производят
с помощью панели Математический анализ и символьного знака равенства →, набираемого совместным нажатием клавиш Ctrl+. (точка),
например так, как показано ниже.
С уже рассмотренной панели реализуют вычисление пределов
(примеры выполнения действий показаны на рисунке ниже).
Аналогичными действиями организуют вычисление суммы и
произведения членов некоторого ряда.
42
Взятие определенного и неопределенного интегралов:
0
1
xexsin x( )
⋅
⌠
⌡
d
1
−
2
exp 1( )⋅cos 1( )
⋅
1
2
exp 1( )⋅sin 1( )
⋅+
1
2
+→
0.909
=
x
1
1 e
a x
⋅
+
⌠
⌡
d
1
−
a
ln 1 exp a x
⋅
( )
+
( )
⋅
1
a
ln exp a x
⋅
( )( )
⋅+→
Вычисление производных:
x
asin x( )
d
d
1
1 x
2
−
( )
1
2
→
f x( ) e
2 x
⋅
sin x( )
⋅: =
2
x
f x( )
d
d
2
3 exp 2 x
⋅
( )⋅sin x( )⋅4 exp 2 x
⋅
( )⋅cos x( )
⋅+→
0x
sin x( )
x
lim
→
1
→
∞
k
0
k
n
1
2
n
∑
=
lim
→
2
→
Столь популярное в математике разложение в ряд Тейлора осу-
ществляют следующим образом. Определяют функцию, после чего вызывают оператор series (ряд) панели Символьные и заполняют маркеры
ввода. Второй из них предназначен для определения переменной, по ко-
торой производят разложение, и точки, в окрестности которой оно осу-
ществляется. По умолчанию производится разложение в окрестности
нулевой точки. В примере для другой функции показано, как задается
точка, отличная от нулевой, с помощью знака логического равенства. Из
рисунка видно, что замена функции рядом Фурье допустима при отно-
сительно небольших отклонениях t от заданной точки разложения.
43
Три вида интегральных преобразований: Фурье, Лапласа и Z-
преобразование, – производит символьный процессор пакета. Каждое из
них вызывается своим оператором – соответственно fourier, laplase,
ztrans. Преобразования служат для перехода от оригинала к его изобра-
жению. Например, переход от сигнала во временной области с помо-
щью преобразования Фурье к его изображению в частотной области
позволяет существенно упростить за счет этого последующую обра-
ботку. Каждое из названных прямых преобразований предполагает ис-
пользование обратного преобразования. Оно реализуется соответствующими операторами: invfourier, invlaplase, invztrans. Приведем ниже ил-
люстративный пример использования преобразования Фурье.
Следует заметить, что далеко не всегда преобразование может
быть выполнено столь просто, как показано в примере, или выполнено
вообще. Аналогичным образом выполняются два других интегральных
преобразования.
7. Программирование
Программа в пакете выступает как средство решения задачи, ко-
торая не может быть решена другими инструментальными средствами
MathCAD (или решается неэффективно). К подобным задачам относятся
итерационные вычислительные процессы, например такие, как вычисле-
44
ние интеграла заданным методом с установленной погрешностью,
уточнение корня алгебраического уравнения заданным методом с задан-
ной погрешностью и другие.
MathCAD содержит средства для написания программ. Его про-
граммы – это выражения, в которых используются конструкции
встроенного в пакет языка, подобные операторам других языков про-
граммирования высокого уровня. Начнем с примера вычисления суммы
бесконечного ряда. Программа возвращает результат последнего опера-
тора.
Составление программы начинается с задания имени результата.
Если результат зависит от параметра, то задают имя функции с указани-
ем этого параметра в скобках. Затем ставят символ оператора присваивания и выполняют оператор Add Line (добавить строку программы)
панели Программирование. Альтернативный вариант – добавление
строки нажатием клавиши <]> (закрывающая квадратная скобка). В ре-
зультате справа от оператора присваивания появляется вертикальная
черта с маркерами ввода строк программы. Количество строк (марке-
45
ров) можно увеличивать названной командой, используя ее в нужном
месте. Если при этом синий курсор ввода расположен углом влево, то
новая строка будет вставлена выше курсора, а при другой ориентации
курсора – ниже него. В примере левая вертикальная черта соответствует
строкам программы, а правая, короткая, – строкам цикла с преду-
словием. Начинается программа строками, в которых с помощью опера-
тора локального определения задают исходные значения пере-менным.
Его вводят из панели Программирование или сочетанием клавиш Shift+
[. Внутри программного блока можно использовать и переопределять
ранее определенные величины. Кроме оператора цикла с предусловием,
можно использовать оператор цикла с параметром for, причем его пара-
метр может изменяться не только с шагом 1, но и с другим, в том числе
и вещественным, шагом. Для организации ветвления в вычислительном
процессе служат операторы if и otherwise. Ниже приведены примеры
использования названных операторов:
Из примера видно, что слева от оператора if (если) должно быть
описано действие, выполняемое в случае справедливости условия, представленного справа от него. Слева от оператора otherwise (иначе) сле-
дует записать действие, выполняемое в случае невыполнения условия в
операторе if.
46
Операторы break (прервать) и continue (продолжить) позволяют
управлять процессом циклических вычислений следующим образом.
Оператор break вызывает прерывание выполнения цикла программы,
что обычно реализуют при наступлении некоторого условия в операторе
if. Оператор continue позволяет в аналогичной ситуации пропускать (не
выполнять) следующие за ним операторы и переходить к следующему
витку цикла. Ещё один оператор return реализует выход из программы
с присваиванием её имени результата, выражение которого надо занести
в маркер ввода этого оператора. Имена всех названных операторов сле-
дует вводить с помощью панели Программирование, во избежание сооб-
щения о том, что такая-то функция не определена. Ниже приведен при-
мер использования данных операторов.
8. Графические возможности пакета
Они далеко не исчерпываются возможностями отображения на
плоскости. Кроме уже рассмотренной графики в декартовой системе
координат, имеется возможность построения кривых в полярной систе-
ме. Типичный полярный график показывает зависимость радиуса от
угла поворота. Для его построения следует сначала определить угол как
дискретный аргумент, а затем описать радиус. После этого вызывают
шаблон полярного графика с помощью его пиктограммы на панели Гра-
фик (Ctrl+7) и вводят имена названных величин в позиции маркеров.
47
Двойным щелчком в области графика вызывают окно диалога для фор-
матирования рисунка: выбирают цвет и тип линий графика, а также ко-
личество и цвет линий сетки.
Следующим видом графика является график поверхности. Для
его построения потребуется матрица значений. Она создается на основе
функции двух переменных. Можно опять-таки использовать быстрый
метод построения, при этом шаг между узловыми точками графика,
диапазоны изменения параметров и си-
стема координат задаются автоматиче-
ски. Остается только ввести функцию
(или несколько) в позицию, отмечен-
ную маркером. Но в любом случае сна-
чала необходимо определить функцию,
как показано на рисунке слева. После
этого можно придать графику необхо-
димый вид с помощью меню, вызывае-
мого двойным щелчком левой клавиши
мыши в области рисунка. Пакет предо-
48
ставляет богатые возможности форматирования. Вкладка Данные бы-
строго графика меню позволяет задать для нескольких графиков диапа-
зоны изменения аргументов функций и системы координат: декартовы,
сферические и цилиндрические. Вкладка Оси служит для определения
параметров осей X, Y, Z. На вкладке Общие задают вид представления
графика и такие его важные характеристики, как поворот, наклон,
изгиб, масштаб. Имеется возможность цветовой раскраски поверхности
с учетом освещенности и прозрачности.
MathCAD содержит средства для осуществления анимации. Про-
цессом анимации управляет специальная системная переменная
FRAME (кадр), изменяющаяся от 0 до 9999. Описав с ее помощью
функцию, можно заставить изменяться график функции в темпе смены
кадров [2]. Ниже показан пример анимирования графика.
Выделяют, например, анимируемый график. В окне Запись ани-
мации, которое вызывается командой Анимация секции Вид, задают па-
раметры анимации. Создается анимация после нажатия кнопки «Анима-
ция» окна диалога. Если процесс прошел успешно, то появляется стан-
дартное окно Воспроизвести анимацию. В окне Запись анимации можно
49
сохранить кнопкой «Сохранить как» созданный клип для использова-
ния в других приложениях. Остается воспроизвести анимацию, щелкнув
по соответствующей кнопке одноименного окна диалога.
ПРАКТИКУМ
Ниже приводятся задания и примеры их выполнения по 6 темам.
Необходимо выполнить свой вариант задания и представить отчет об
этом в форме документа с титульным листом, целью выполнения, кон-
кретным заданием, реализацией соответствующих действий в среде
MathCAD и представлением полученных результатов. Оформление от-
чета должно производиться с привлечением компьютерной техники.
Тема 1. Основы работы с пакетом
Для всех вариантов задания выполнить следующие действия.
1. С относительной погрешностью 0,01 определить графически
амплитуду и длительность сигнала, представленного функцией, соот-
ветствующей варианту задания. При этом считать сигнал закончившим-
ся либо в момент пересечения им оси времени, либо на уровне 0,01 от
амплитудного значения (если сигнал не становится отрицательным).
2. Убедиться, что производная в точке максимума сигнала об-
ращается в ноль. Выполнить это с заданной погрешностью, подбирая
значение аргумента функции, описывающей сигнал.
3. Вычислить интеграл от заданной функции на интервале от 0 до
длительности сигнала и представить результат с пятью значащими циф-
рами после разделительной точки.
Функцию, описывающую сигнал, и ее параметры взять в соответ-
ствии с вариантом задания из таблицы, расположенной ниже.
Используемые в таблице формулы:
1)
)dt-exp(]
b
)tb(sh
-
a
)ta(sh
[)t(s
π
ππ
=
, t = [0, 4.5],
где
)k1/(4-da
2
+=
,
)k-1/(4-db
2
=
;
50